高中数学 15函数yAsinωx+ψ教案3 新人教A版必修4.docx
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高中数学15函数yAsinωx+ψ教案3新人教A版必修4
2019-2020年高中数学1.5函数y=Asin(ωx+ψ)教案3新人教A版必修4
●教学目标
(一)知识目标
1.“五点法”画y=Asin(ωx+)的图象;
2.图象变换的方法画y=Asin(ωx+)的图象;
3.振幅、周期、最值等.
(二)能力目标
1.会用“五点法”画y=Asin(ωx+)的图象;
2.会用图象变换的方法画y=Asin(ωx+)的图象;
3.会求一些函数的振幅、周期、最值等.
(三)德育目标
1.数形结合思想的渗透;
2.化归思想的渗透;
3.提高数学素质.
●教学重点
1.“五点法”画y=Asin(ωx+)的图象;
2.图象变换过程的理解;
3.一些相关概念.
●教学难点
多种变换的顺序
●教学方法
引导学生多思考,多体会,勤动手,勤动脑,多总结.(引导式)
●教具准备
投影片两张
第一张:
课本P64,图4—26
第二张:
课本P65,步骤1、2、3、4、5
●教学过程
Ⅰ.课题导入
师:
同时涉及到多种变换的函数
y=Asin(ωx+)(其中A>0,ω>0,≠0)的图象又该如何得到?
[例]画出函数y=3sin(2x+),x∈R的简图.
解:
(五点法)
由T=,得T=π令x=2x+
列表:
x
–
2x+
0
π
2π
3sin(2x+
0
3
0
–3
0
描点画图:
(打出幻灯片§4.9.3A)
师:
这种曲线也可由图象变换得到:
即:
y=sinxy=sin(x+)
y=sin(2x+)y=3sin(2x+)
一般地,函数y=Asin(ωx+),x∈R(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得到:
先把正弦曲线上所有的点向左(当>0时)或向右(当<0时=平行移动||个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变),再把所得各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变).
(打出幻灯片§4.9.3B)
师:
这一过程的步骤如图所示
师:
另外,注意一些物理量的概念
A称为振幅
T=称为周期
f=称为频率
ωx+称为相位
x=0时的相位称为初相
Ⅲ.课堂练习
生:
(口答)课本P664
(书面练习)课本P661.(7)(8)(9)(10)5.
Ⅳ.课时小结
师:
通过本节学习,要熟练掌握“五点法”画y=Asin(ωx+)的图象,理解图象变换法作图象的过程,体会它们之间的关系.
进一步掌握三角函数的基本性质,解决一些实际问题.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P682.(3)(4)3.4
(二)1.预习课本P69~P71
2.预习提纲
(1)正切函数的图象如何?
(2)正切函数有哪些性质?
●板书设计
课题
一、概念
y=Asin(ωx+)
A为振幅
为周期
ωx+为相位
为初相
二、例题讲解
课时小结
●备课资料
1.已知函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,0<<2π)图象的一个最高点(2,),由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6,0),试求函数的解析式.
解:
由已知可得函数的周期T=4×(6-2)=16
∴ω==
又A=
∴y=sin(x+)
把(2,)代入上式得:
=sin(×2+)·
∴sin(+)=1,而0<<2π
∴=
∴所求解析式为:
y=sin(x+)
2.已知函数y=Asin(ωx+)(其中A>0,||<)在同一周期内,当x=时,y有最小值
-2,当x=时,y有最大值2,求函数的解析式.
分析:
由y=Asin(ωx+φ)的图象易知A的值,在同一周期内,最高点与最低点横坐标之间的距离即,由此可求ω的值,再将最高(或低)点坐标代入可求.
解:
由题意A=2,=-
∴T=π=,∴ω=2
∴y=2sin(2x+)又x=时y=2
∴2=2sin(2×+)
∴+=(<=
∴=
∴函数解析式为:
y=2sin(2x+)
3.若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位,得到函数y=sinx的图象,则有y=f(x)是()
A.y=sin(2x+)+1B.y=sin(2x-)+1
C.y=sin(2x-)+1D.y=sin(x+)+1
解析:
由题意可知
y=f[(x+)]-1=sinx
即y=f[(x+)]=sinx+1
令(x+)=t,则x=2t-
∴f(t)=sin(2t-)+1
∴f(x)=sin(2x-)+1
答案:
B
4.函数y=3sin(2x+)的图象,可由y=sinx的图象经过下述哪种变换而得到()
A.向右平移个单位,横坐标缩小到原来的倍,纵坐标扩大到原来的3倍
B.向左平移个单位,横坐标缩小到原来的倍,纵坐标扩大到原来的3倍
C.向右平移个单位,横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标缩小到原来的倍
D.向左平移个单位,横坐标缩小到原来的倍,纵坐标缩小到原来的倍
答案:
B
评述:
由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx+)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换.
途径一:
先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y=sinx的图象向左(>0)或向右(<0=平移||个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),便得y=sin(ωx+)的图象.
途径二:
先周期变换(伸缩变换)再平移变换.
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),再沿x轴向左(>0)或向右(<0=平移个单位,便得y=sin(ωx+)的图象.
5.由y=Asin(ωx+)的图象求其函数式
对于给定函数式y=Asin(ωx+),利用“五点法”作出其一个周期内的图象,同学们是较熟悉的.然而,对于这类问题的逆向问题,即给定函数y=Asin(ωx+)的图象而反求其函数式的问题,是同学们较少考虑但又确实存在的一种问题.
一般来说,在这类由图象求函数式的问题中,如对所求函数式中的A、ω、不加限制(如A、ω的正负,角的范围等),那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致),因此这类问题多以选择题的形式出现,我们解这类题的方法往往因题而异,但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中.
[例1]已知如图是函数y=2sin(ωx+)(||<=的图象,那么()
A.ω=,=
B.ω=,=-
C.ω=2,=
D.ω=2,=-
解析:
由图可知,点(0,1)和点(,0)都是图象上的点.
将点(0,1)的坐标代入待定的函数式中,得2sin=1,即sin=,又||<,∴=
又由“五点法”作图可知,点(,0)是“第五点”,所以ωx+=2π,即ω·π+=2π,解之得ω=2,故选C.
解此题时,若能充分利用图象与函数式之间的联系,则也可用排除法来巧妙求解,即:
解:
观察各选择答案可知,应有ω>0
观察图象可看出,应有T=<2π,∴ω>1
故可排除A与B
由图象还可看出,函数y=2sin(ωx+)的图象是由函数y=2sinωx的图象向左移而得到的
∴>0,又可排除D,故选C.
答案:
C
[例2]已知函数y=Asin(ωx+),在同一周期内,当x=时函数取得最大值2,当x=时函数取得最小值-2,则该函数的解析式为()
A.y=2sin(3x-)B.y=2sin(3x+)
C.y=2sin(+)D.y=2sin(-)
解析:
由题设可知,所求函数的图象如图所示,点(,2)和点(,-2)都是图象上的点,且由“五点法”作图可知,这两点分别是“第二点”和“第四点”,所以应有:
解得
答案:
B
●教学后记
2019-2020年高中数学1.5函数y=Asin(ωx+ψ)教案4新人教A版必修4
教学目标
1.掌握y=Asin(ωx+)的图象画法.
2.通过画y=Asin(ωx+)的图象认识函数性质.
3.通过学习函数y=Asin(ωx+)的图象,培养数形结合的思想及从特殊→一般→特殊的认识事物的规律.
教学重点与难点
函数y=Asin(ωx+)的图象.
教学过程设计(见下表)
表1教学过程与计算机辅助教学过程的对比及计算机
辅助教学对培养学生能力的作用
本节课教学过程
计算机辅助教学优势的说明
对培养学生能力的作用
1.引入
让学生观察屏幕上小球小角度摆动,这时教师告诉学生小球做的是简谐振动,它的运动方程为y=Asin(ωx+)——引出课题.
这种运动的画面会立刻吸引学生的注意力,使他们迅速进入教学情景.这段引入在以往的教学模式中是教师口述生活中常见的例子,与计算机演示相比,在生动形象方面要逊色很多.
有助培养学生对生活的观察力、想象力、对知识的迁移能力.
2.复习相关知识
(1)复习函数图象变化,在屏幕上显示图1,点动鼠标使上图中横线上的字依次出现.
(2)复习y=sinx图象的几何画法(如图2).教师在单位圆上每隔10度取角的终边作正弦线并平移至坐标系相应位置,然后用平滑曲线连接.
八种不同的显示方式(例如:
从左到右、垂直渐现、掀开背景、水平新问题中要注意事物之间合拢、中心撕破、翻板显示、垂直合拢、推门显示)与传统的从左到右的书写形式相比形成了强烈的反差,深深吸引了学生的注意力.多彩的形式对学生的美感及想象力的培养也起着潜移默化的作用.
这种作图方式课本P167有插图及说明,教师的口授讲解学生大致可以明白,但因缺乏生动形象的展示,学生理解不够深刻,而用计算机却可以完全真实地展现y=sinx图象形成的全过程.这种动画过程强烈刺激学生的感官,使学生深刻理解了这一知识点,这是投影等其它方式所不能达到的效果.
事物是普遍联系的,在解决的联系,善于利用旧知识解决新的问题.
事物是运动的,运动的发展变化是有规律的,培训学生在运动变化的过程中发现规律、分析概括的能力.
续表
续表
本节课教学过程
计算机辅助教学优势的说明
对培养学生能力的作用
好,总认为ω>1应该伸,0<ω<1时应该缩.针对学生出现的问题,讲课时,一方面从对函数概念的理解上让学生懂得正确作法的道理,另一方面让学生仔细观察图象变化过程.
④研究y=sin(x+)图象变化.
⑤研究y=sin(ωx+)图象变化.
这两种问题都不是单一的变换,都存在先后顺序,都有中间一个过渡性的函数图象.
⑥研究A,ω,对于y=sinx图象的影响,即y=Asin(ωx+)图象.
计算机辅助教学可以利用计算机切换快的特点,让学生看到把y=sinx先横平移个单位,再纵伸缩至A倍,与先纵伸缩至A情再横平移个单位效果相同.而y=sin(ωx+)是先把y=sinx图象横向平移个单位得到y=sin(x+)图象后再横伸缩,或把y=sinx图象先横伸缩,得到y=sinωx图象后,再横平移个单位.当计算机把先后如何变化的全过程展现给学生时,学生们毫无疑问地对这一知识点的理解更具体、更深刻了.
培养学生对简单知识的综合运用能力.
4.
课
堂
练
习
讨论y=-3sin(2x+π/3)
计算机迅速演示作图过程.
进一步完善从特殊→一般→特殊的认识事物的规律.
5.
课
堂
教
学
小
结
再次让学生观察小球的运动.
通过画面快速回放,帮助学生回顾这节课的教学过程,巩固复习本节课的知识要点,以进一步达到总结数学思想方法及培养能力的目的.
这类图象画起来很繁琐,如果在黑板上完全演示画法的全过程,既耽误时间,又不够美观,用投影片也会带来同样的问题.而用计算机却能快速地将作图过程展现出来,而且图象清晰、色彩鲜明,大大提高课堂效率和教学效果。
附图
课堂教学设计说明
本节课的整体思路如下:
1.由一个物理现象引出课题.
2.复习相关知识.
(1)复习图象变换知识.
(2)复习y=sinx图象的几何画法.
3.新课讲授.
(1)研究y=sin(x+)的图象.
(2)研究y=Asinx的图象.
(3)研究y=sin(ωx)的图象.
(4)研究y=Asin(x+)的图象.
(5)研究y=sin(ωx+)的图象.
(6)研究y=Asin(ωx+)的图象.
4.课堂练习.
5.课堂小结.
这节课信息量大、内容抽象,图形繁杂,学生较难理解,又是本章的难点和重点.所以很有必要采用计算机辅助教学的形式.
新颖的教学形式强烈地吸引和感染着学生,使学生们注意力集中,从而使教学任务较好地完成.动画效果的展示形成对视觉的强刺激,把通常惯用的语言描述生动形象地刻画出来,使学生对重点难点的知识掌握较为容易.
本节课的设计思想中体现着从特殊到一般,再从一般到特殊的认识事物的规律.
通过对图象变换的认识,可以进一步分析函数性质的变化,树立数形结合的思想.
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