学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数章末复习教学案新人教A版必修第一册.docx
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学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数章末复习教学案新人教A版必修第一册
第4章指数函数与对数函数
知识系统整合
规律方法收藏
1.指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质,在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化.
2.指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点,而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重,要熟知a在(0,1)和(1,+∞)两个区间取值时,函数的单调性及图象特点.
3.比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用,在具体比较时,可以首先将它们与零比较,分出正数、负数;再将正数与1比较,分出大于1还是小于1;然后在各类中两两相比较.
4.求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时,首先要考虑指数函数、对数函数的定义域,再由复合函数的单调性来确定其单调区间,要注意单调区间是函数定义域的子集.其次要结合函数的图象,观察确定其最值或单调区间.
5.函数图象是高考考查的重点内容,在历年高考中都有涉及.考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题.函数图象形象地显示了函数的性质.在解方程或不等式时,特别是非常规的方程或不等式,画出图象,利用数形结合能快速解决问题.
6.方程的解与函数的零点:
方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点.
7.零点判断法:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
注意:
由f(a)f(b)<0可判定在(a,b)内至少有一个变号零点c,除此之外,还可能有其他的变号零点或不变号零点.若f(a)f(b)>0,则f(x)在(a,b)内可能有零点,也可能无零点.
8.二分法只能求出其中某一个零点的近似值,另外应注意初始区间的选择.
9.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下:
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一、指数、对数函数的典型问题及求解策略
指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等,其中单调性是高考考查的重点,并且经常以复合函数的形式考查,求解此类问题时,要以已学函数的单调性为主,结合复合函数单调性的判断法则,在函数定义域内进行讨论.
1.求定义域
[典例1]
(1)函数y=
的定义域是( )
A.[-2,+∞)B.[-1,+∞)
C.(-∞,-1]D.(-∞,-2]
(2)函数f(x)=
+
的定义域为( )
A.[-2,0)∪(0,2]B.(-1,0)∪(0,2]
C.[-2,2]D.(-1,2]
解析
(1)由题意得
2x-1-27≥0,所以
2x-1≥27,即
2x-1≥
-3,又指数函数y=
x为R上的单调减函数,所以2x-1≤-3,解得x≤-1.
(2)要使函数式有意义,需
即
得x∈(-1,0)∪(0,2].
答案
(1)C
(2)B
2.比较大小问题
比较几个数的大小是指数、对数函数的又一重要应用,其基本方法是:
将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值,然后利用该类函数的单调性进行比较;有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法.
[典例2] 若0 A.3y<3xB.logx3 C.log4x x< y 解析 因为0 对于A,函数y=3x在R上单调递增,故3x<3y,错误. 对于B,根据底数a对对数函数y=logax的影响: 对于C,函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,故log4x 对于D,函数y= x在R上单调递减,故 x> y,错误. 答案 C [典例3] 比较三个数0.32,log20.3,20.3的大小. 解 解法一: ∵0<0.32<12=1,log20.3 解法二: 作出函数y=x2,y=log2x,y=2x的大致图象,如图所示,画出直线x=0.3,根据直线与三个函数图象的交点位置,即可看出log20.3<0.32<20.3. 3.与指数、对数函数相关的单调性问题 [典例4] 是否存在实数a,使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上单调递增? 如果存在,求出a的取值范围;如果不存在,请说明理由. 解 设g(x)=ax2-x,假设符合条件的a存在. 当a>1时,为使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上单调递增,只需g(x)=ax2-x在区间[2,4]上单调递增,故应满足 解得a> ,∴a>1.
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