高中数学《对数函数》教案32 新人教A版必修1.docx
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高中数学《对数函数》教案32 新人教A版必修1.docx
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高中数学《对数函数》教案32新人教A版必修1
2019-2020年高中数学《对数函数》教案32新人教A版必修1
教材分析:
1、对数函数及其性质为必修内容,而且对数函数及其相关知识历来是高考的重点,既有中档题,又能和其它知识相结合、综合性较强、考查也比较深刻。
2、对数函数是函数中一类重要的基本初等函数,它是在学生已经学过指数函数、对数与对数运算基础上引入的,是对上述知识的应用,也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解。
3、对数函数是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具,是学生今后学习对数方程,对数不等式的基础。
4、对数函数及其性质的学习使学生的知识体系更加完整、系统,同时又是对数和函数知识的拓展与延伸。
5、学生容易忽视函数的定义域,在进行对数函数定义教学时要结合指数式强调对数函数的定义域,加强对对数函数定义域为(0,)的理解。
在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图像和性质是本节课的教学重点,而理解底数a的值对于函数值变化的影响是教学的一个难点,教学时要充分利用图像,数形结合,帮助学生理解。
教学设计:
教学目标:
知识与技能:
理解对数函数的概念,并通过对数函数的图象分析得出函数性质,会求解对数函数定义域及比较对数值大小;
过程与方法:
通过对对数函数内容的学习,渗透数形结合的数学思想和经历从特殊到一般的过程;
情感、态度与价值观:
在教学过程中,通过对数函数有关性质的研究,培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力。
教学重点:
对数函数的定义、图象和性质。
教学难点:
底数a大小对对数函数图象与性质的影响。
教学过程:
一、引入课题
1.(知识方法准备)
学习指数函数时,对其性质研究了哪些内容,采取怎样的方法?
设计意图:
结合指数函数,让学生熟知对于函数性质的研究内容,熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质.
对数的定义及其对底数的限制.
设计意图:
为讲解对数函数时对底数的限制做准备.
2.(引例)教材P70:
处理建议:
在教学时,可以让学生利用计算器填写下表:
碳14的含量P
…
0.5
0.3
0.1
0.01
0.001
…
生物死亡年数t
…
…
然后引导学生观察上表,体会“对每一个碳14的含量P的取值,通过对应关系,生物死亡年数t都有唯一的值与之对应,从而t是P的函数”.(进而引入对数函数的概念)
二、新课教学
(一)对数函数的概念
1.定义:
函数,且叫做对数函数(logarithmicfunction)
其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:
对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别.如:
,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
对数函数对底数的限制:
,且.
(二)对数函数的图象和性质
问题:
你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研究对数函数性质的内容和方法吗?
研究方法:
画出函数的图象,结合图象研究函数的性质.
研究内容:
定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.
探索研究:
操作:
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象;(可用描点法,也可借助科学计算器或计算机)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
引申:
只画第一个函数图象,能否马上得到第二个函数图象?
利用换底公式,可以得到
自变量相同,函数值相反,故函数图象关于x轴对称.(从特殊到一般,总结规律)
探讨:
类比指数函数图象和性质的研究,研究对数函数的性质并填写如下表格:
图象特征
函数性质
函数图象都在y轴右侧
函数的定义域为(0,+∞)
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸
函数的值域为R
函数图象都过定点(1,1)
自左向右看,
图象逐渐上升
自左向右看,
图象逐渐下降
增函数
减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0
第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
图象特征部分:
由学生讨论、交流,教师引导总结出函数图象的特征,完成表单.
图象性质部分:
由学生仿造指数函数性质完成,教师适当启发、引导,完成表单.
思考底数是如何影响函数的.(学生独立思考或小范围内讨论,师生共同总结)
规律总结:
在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.
(设计意图)⑴通过图象的对比,使图象直观、准确,便于学生理解图象之间的共同点和不同点。
⑵通过问和分析,开拓学生的思路,使学生对问题的讨论不拘泥于某一点上,全方位的,多层次,多角度的考察对数函数的图象和性质,使问题的解决由粗到细,由无序到有序。
⑶符合学生的认知规律,由特殊到一般,从具体到抽象。
⑷充分发挥学的能动性,以学生为主体,展开课堂教学。
探究活动要点:
引导学生回顾需要研究函数的哪些性质,探讨对数函数的性质时强调数形结合即函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的应用,渗透概括能力的培养,注意独立研究和集体讨论的结合与分配;进行课堂巡视,视情况给予个别辅导,让学生表述自己的发现,及时评价学生、补充学生回答中的不足.
(三)典型例题
例1.(教材P71例7).
解:
(略)(讨论分析:
求对数型函数定义域的依据?
→师生共练→小结:
真数>0)
说明:
本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制,通过求对数函数的定义域加深对对数函数的理解,重点并非求函数的定义域,教学时不需加大此部分难度.
巩固练习:
(教材P75练习2).(个体练习为主,可让学生上讲台在黑板解题,强调格式)
例2.(教材P72例8)(讨论分析:
比大小的依据?
→师生共练→小结:
利用单调性比大小)
解:
(1)解法1:
用图形计算器或多媒体画出对数函数的图象.在图象上,横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方:
所以,
解法2:
由函数+上是单调增函数,且3.4<8.5,所以.
解法3:
直接用计算器计算得:
,
(2)与第
(1)小题类似
(3)注:
底数非常数,要分类讨论的范围.
解法1:
当>1时,在(0,+∞)上是增函数,且5.1<5.9.
所以,
当1时,在(0,+∞)上是减函数,且5.1<5.9.
所以,
解法2:
转化为指数函数,再由指数函数的单调性判断大小.
令令
当>1时,在R上是增函数,且5.1<5.9
所以,<,即<
当0<<1时,在R上是减函数,且5.1>5.9
所以,<,即>
说明:
本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法,熟悉对数函数的性质,渗透应用函数的观点解决问题的思想方法.
注意:
本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法,注重方法的探究,先从数形结合的方法入手再引申出利用函数单调性的方法,同时说明还可以用计算器计算比较大小的方法,强调知识的灵活运用,规范解题格式.
巩固练习:
(教材P73练习3).(个体练习为主,可让学生上讲台在黑板解题,强调格式)
三、归纳小结,强化思想
本节课的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质.在理解对数函数的定义的基础上,掌握对数函数的图象和性质是本节课的重点.
(1)提问学生本节课学会了什么知识;
(2)总结本节课主要学习内容:
四、作业布置
1.必做题:
教材P74习题2.2(A组)第7、8题.
2.选做题:
教材P74习题2.2(B组)第4题.
3.拓展题(选做):
1.已知函数的定义域为[-1,1],则函数的定义域为
2.求函数的值域.
3.已知<<0,按大小顺序排列m,n,0,1
4.已知0<<1,b>1,ab>1.比较
(设计意图)作业按循序渐进的原则布置,既巩固本节课所学知识,又培养自觉学习的习惯,在解题能力方面也得到锻炼。
五、板书设计
设计说明:
1、本节课的设计充分考虑学生获取知识时所遵循的“从特殊到一般,由浅入深,从具体到抽象,由易到难,循序渐进”的原则:
例如本节课中对数函数的图象和性质的得到,就是通过与指数函数图象的类比得到,又如例题的难易逐步递增,就是遵循上述原则,符合学生的认知水平和接受能力。
2、本节课借助电脑多媒体使教师的设计问题与活动的引导密切结合,注意了充分提高学生的学习数学的兴趣,强调学生“活动”的内化,以此达到使学生有效地对当前所学知识的意义建构的目的以及与科技发展相适应,及时更新教学内容与方式,逐步渗透现代教学思想。
2019-2020年高中数学《对数函数》教案33新人教A版必修1
教学目标
1.使学生掌握对数函数的定义,会画对数函数的图象,掌握对数函数的性质.
2.通过对数函数与指数函数互为反函数的教学,学生进一步加深对反函数概念及函数和反函数图象间的关系的认识与理解.
3.通过比较、对照的方法,学生更好地掌握两个函数的定义、图象及性质,认识两个函数的内在联系,提高学生对函数思想方法的认识和应用意识.
教学重点与难点
教学重点是对数函数的定义、图象及性质.难点是由对数函数与指数函数互为反函数这一关系,利用指数函数图象及性质得到对数函数的图象及性质.
教学过程设计
师:
在新课开始前,我们先复习一些有关概念.什么叫对数?
生:
若ab=N,则数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b.其中a为底数,N是真数.
师:
各个字母的取值范围呢?
生:
a>0巳a≠1;N>0;b∈R,
师:
这个定义也为我们提供了指数式化对数式,对数式化指数式的方法.请将bp=M化成对数式.
生:
bp=M化为对数式是logbM=p.
师:
请将logca=q化为指数式.
生:
logca=q化为指数式是cq=a.
师;什么是指数函数?
它有哪些性质?
(生回答指数函数定义及性质.)
师:
请大家回忆如何求一个函数的反函数?
生:
(1)先求原来函数的定义域和值域;
(2)把函数式y=f(x)
x与y对换,此反函数可记作x=f-1(y);(3)把x=f-1(y)改写成y=f-1(x),并写出反函数的定义域.
师:
好.为什么求一个函数的反函数时,要先求出这个函数的定义域和值域呢?
生:
求原来函数的定义域是为了求原来函数的值域,而原来函数的值域就是其反函数的定义域.
师:
很好.原来函数的定义域和值域,就是其反函数的值域和定义域.根据前面复习的求反函数的方法,请同学们求函数y=ax(a>0,a≠1)的反函数.
生:
函数y=ax(a>0,a≠1)的定义域x∈R,值域y∈(0,+∞).将指数式y=ax化为对数式x=logay,所以函数y=ax(a>0,a≠1)的反函数为y=logax(x>0).
师:
今天这节课我们介绍一下新的函数——对数函数,它是指数函数的反函数.
定义 函数y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数.
因为对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数,所以要说明以下两点:
(1)对于底数a,同样必须满足a>0且a≠1的条件.
(2)指数函数的定义域为R,值域为R+.根据反函数性质可知:
对数函数的定义域为R+,值域为R.
同指数函数一样,在学习了函数定义之后,我们要画函数的图象.应该如何画对数函数的图象呢?
生:
用描点法画图.
师:
对.我们每学习一种新的函数都可以根据函数的解析式,列表、描点画图.再考虑一下,我们还可以用什么方法画出对数函数的图象呢?
生:
因为对数函数是指数函数的反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称.因此,只要画出指数函数的图象,就可利用图象的对称性画出对数函数的图象.
师:
非常好.我们画对数函数图象,即可用描点法,也可用图象变换法.
师:
由于对数函数是指数函数的反函数,指数函数图象分a>1和0<a<1两类,因此对数函数图象也分a>1和0<a<1两类.现在我们观察对数函数图象,并对照指数函数性质来分析对数函数的性质.
生:
对数函数的图象都在y轴右侧,说明x>0.
生:
函数图象都过(1,0)点,说明x=1时,y=0.
师:
对.这从直观上体现了对数式的真数大于0且1的对数是0的事实.请继续分析.
生:
当底数是2和10时,若x>1,则y>0,若x<1,则y<
师:
对.由此可归纳得到:
当底数a>1时,若x>1,则y>0;若0<x<1,则y<0,反之亦然.当底数0<a<1时,看x>1,则y<0;若0<x<1,则y>0,反之亦然.这体现了真数的取值范围与对数的正负性之间的紧密联系.再继续分析.
生:
当底数a>1时,对数函数在(0,+∞)上递增;当底数0<a<1时,对数函数在(0,+∞)上递减.
师:
好.下边我们看一下指数函数与对数函数性质对照表.
名 称
指数函数
对数函数
解析式
y=ax(a>0,a≠1)
y=logax(a>0,a≠1)
定义域
(-∞,+∞)
(0,+∞)
值 域
(0,+∞)
(-∞,+∞)
单调性
当a>1时,ax是增函数;
当a>1时,logax是增函数;
当0<a<1时,ax是减函数
当0<a<1时,logax是减函数.
图象
y=ax的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称
师:
今天我们所要讲的有关概念就讲完了,现在我们通过例题进一步巩固理解这些概念.
例2 求下列函数的定义域:
生:
(1)因为x2>0,所以x≠0,即y=logax2的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
生:
(2)因为4-x>0,所以x<4,即y=loga(4-x)的定义域是(-∞,4).
师:
在这个函数的解析式中,不仅有对数式,还有二次根式,因此要求定义域,既要真数大于0,还要被开方数大于或等于0,从而得到不等式组,这个不等式组如何解,问题出在log0.5(3x-1)≥0上,怎么办?
生:
把0看作log0.51,即log0.5(3x-1)≥log0.51,因为0<0.5<1,所以此函数是减函数,所以
3x-1≤1.
师:
对.他是利用了对数函数的单调性.还有别的说法吗?
生:
因为底数0<0.5<1,而log0.5(3x-1)≥0,所以
3x-1≤1.
师:
对.他是利用了对数函数的第三条性质,根据函数值的范围,判断了真数的范围,因此只要解0<3x-1≤1,即可得出函数定义域.
例3 比较下列各组中两个数的大小:
(1)log23和log23.5;
(2)log0.71.6和log0.71.8.
师:
请同学们观察这两组数中两个数的特征,想一想应如何比较这两个数的大小.
生:
这两组数都是对数.每组中的对数式的底数相同,而真数不同,因此可根据函数y=log2x是增函数的性质来比较它们的大小.
师:
对.针对
(1)中两个数的底数都是2,我们构造函数y=log2x,利用这个函数在(0,+∞)是单调递增的,通过比较真数的大小来决定对数的大小.请一名同学写出解题过程.
生:
(板书)
解:
因为函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,又因0<3<3.5,所以
log23<log23.5.
师:
好.请同学简答
(2)中两个数的比较过程.并说明理由.
生:
因为函数y=log0.7x在(0,+∞)上是减函数,又因0<1.6<1.8,所以
log0.71.6>log0.71.8.
师:
对.上述方法仍是采用“函数法”比较两个数的大小.当两个对数式的底数相同时,我们构造对数函数.对于a>1的对数函数在定义域内是增函数;对于0<a<1的对数函数在定义域内是减函数.只要比较真数的大小,即可得到函数值的大小.
例4 比较下列各组中两个数的大小:
(1)log0.34和log0.20.7;
(2)log23和log32.
师:
这两组数都是对数,但它们的底数与真数都不相同,不便于利用对数函数的单调性比较它们的大小.请大家仔细观察各组中两个数的特点,判断出它们的大小.
生:
在log0.34中,因为底数0<0.3<1,且4>1,所以log0.34<0;在log0.20.7中,因为0<0.2<1,且0.7<1,所以log0.20.7>0,故log0.34<log0.20.7.
师:
很好.根据对数函数性质,当底数0<a<1时,若x>1,则y<0;若0<x<1,则y>0.由此可以判定这两个数中,一个比零大,另一个比零小,从而比较出两个数的大小,这是采用了“中间量法”.请比较第
(2)组两个数的大小.
生:
在log23中,底数2>1,真数3>1,所以log23>0;在log32中,底数3>1,真数2>1,所以log32>0,…
师:
根据对数性质可判断:
log23和log32都比零大.怎么办?
生:
因为log23>1,log32<1,所以log23>log32.
师:
很好.这是根据对数函数的单调性得到的,事实上,log23>log22=1,log32<log33=1,这里利用了底数的对数为1,即log22=log33=1,从而判断出一个数大于1,而另一个数小于1,由此比较出两个数的大小.
请同学们口答下列问题:
练习1 求下列函数的反函数:
(1)y=3x(x∈R);
(2)y=0.7x(x∈R);
(3)y=log5x(x>0);
(4)y=log0.6x(x>0).
生:
y=3x(x∈R)的反函数是y=log3x(x>0).
生:
y=0.7x(x∈R)的反函数是y=log0.7x(x>0).
生:
y=log5x(x>0)的反函数是y=5x(x∈R).
生:
y=log0.6x(x>0)的反函数是y=0.6x(x∈R).
练习2 指出下列各对数中,哪个大于零?
哪个小于零?
哪个等于零?
并简述理由.
生:
在log50.1中,因为5>1,0.1<1,所以log50.1<0.
生:
在log27中,因为2>1,7>1,所以log27>0.
生:
在log0.60.1中,因为0.6<1,0.1<1,所以log0.60.1>0.
生:
在log0.43中,因为0.4<1,3>1,所以log0.43<0.
练习3 用“<”号连接下列各数:
0.32,log20.3,20.3.
生:
由指数函数性质可知0<0.32<1,20.3>1,由对数函数性质可知log20.3<0,所以log20.3<0.32<20.3.
师:
现在我们将这节课的内容小结一下,本节课我们介绍了对数函数的定义、图象及性质,请同学回答对数函数的定义及性质.
生:
(复述)……
师:
对数函数的定义,我们是通过求指数函数的反函数而得到的,从而揭示了指数函数与对数函数之间的内在联系,对于对数函数的图象及性质,都可以利用指数函数的图象及性质得到.对于对数函数的性质,可以利用对数函数图象记忆,也可以对照指数函数的性质记忆.
对于函数的定义域,除了原来要求的分母不能为0及偶次根式中被开方式大于或等于0以外,还应要求对数式中真数大于零,底数大于零且不等于1.如果函数中同时出现几种情况,就要全部考虑进去,求它们共同作用的结果.
例3、例4都是利用对数函数的性质,通过“函数法”和“中间量法”比较两个数大小的典型例子.
补充题比较下列各题中两个数值的大小:
(1)log30.7和log0.20.5;
(2)log0.64和log7.11.2;
(3)log0.50.6和log0.60.5;
(4)log25和log34.
比较下列各题中两个数值的大小:
(1)log30.7和log0.20.5;
(2)log0.64和log7.11.2;
(3)log0.50.6和log0.60.5;
(4)log25和log34.
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