2021 第8章 86 862 直线与平面垂直.docx
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2021第8章86862直线与平面垂直
8.6.2 直线与平面垂直
学习目标
核心素养
1.了解直线与平面垂直的定义.(重点)
2.理解直线与平面垂直的判定定理,并会用其判断直线与平面垂直.(难点)
3.理解直线与平面所成角的概念,并能解决简单的线面角问题.(易错点)
4.能利用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明.(重点)
1.通过学习直线与平面垂直的判定定理和性质定理,提升直观想象、逻辑推理的数学素养.
2.通过学习直线与平面所成的角,提升直观想象、数学运算的数学素养.
木工要检查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次,如图.如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直.
问题:
(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗?
(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么?
1.直线与平面垂直的定义
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关
概念
直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,它们唯一的公共点P叫做垂足
画法
画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
图示
性质
过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
垂线段与点面距
过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
2.直线与平面垂直的判定定理
文字语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=P⇒l⊥α
图形语言
3.直线和平面所成的角
有关概念
对应图形
斜线
一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面α垂直,图中直线PA
斜足
斜线和平面的交点,图中点A
射影
过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
直线和平面所成的角
定义:
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角
规定:
一条直线垂直于平面,它们所成的角是90°;一条直线和平面平行或在平面内,它们所成的角是0°
取值范围
[0°,90°]
思考:
直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”?
[提示] 定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的,但是不可说成“无数条直线”,因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直.
4.直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒a∥b
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行
②作平行线
5.直线与平面、平面与平面的距离
(1)直线与平面的距离
一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.
(2)平面与平面的距离
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直.( )
(2)若直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线与平面垂直.
( )
(3)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底边所在的直线.( )
(4)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于两腰所在的直线.( )
[答案]
(1)×
(2)× (3)√ (4)×
2.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( )
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBCD.平面ABC
C [由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]
3.在四棱台ABCDA1B1C1D1中,若点A1到平面ABCD的距离为4,则直线A1B1到平面ABCD的距离为______,平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为________.
4 4 [根据直线与平面的距离、平面与平面的距离的概念可知,直线A1B1到平面ABCD的距离为4,平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离也为4.]
4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于________.
45° [如图所示,因为正方体ABCDA1B1C1D1中,
B1B⊥平面ABCD,所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影,∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角.由题意知,∠B1AB=45°,故所求角为45°.]
直线与平面垂直的判定
【例1】 如图,在三棱锥SABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.
(1)求证:
SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:
BD⊥平面SAC.
[证明]
(1)因为SA=SC,D是AC的中点,
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,
由已知SA=SB,
所以△ADS≌△BDS,
所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,AC,BD⊂平面ABC,
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB=BC,D为AC的中点,
所以BD⊥AC.由
(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC=D,SD,AC⊂平面SAC,所以BD⊥平面SAC.
证线面垂直的方法
(1)线线垂直证明线面垂直:
①定义法(不常用,但由线面垂直可得出线线垂直);
②判定定理最常用:
要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线);结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直,也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.
(2)平行转化法(利用推论):
①a∥b,a⊥α⇒b⊥α;
②α∥β,a⊥α⇒a⊥β.
1.如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,M是圆周上任意一点,AN⊥PM,垂足为N.
求证:
AN⊥平面PBM.
[证明] 设圆O所在的平面为α,
∵PA⊥α,且BM⊂α,
∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径,点M为圆周上一点,
∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM=A,
∴BM⊥平面PAM,而AN⊂平面PAM,
∴BM⊥AN.
∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直.
故AN⊥平面PBM.
直线与平面所成的角
[探究问题]
1.若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角,则需具备哪些条件?
[提示] 需要PA⊥α,A为垂足,OA为斜线PO的射影,这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角.
2.空间几何体中,确定线面角的关键是什么?
[提示] 在空间几何体中确定线面角时,过斜线上一点向平面作垂线,确定垂足位置是关键,垂足确定,则射影确定,线面角确定.
【例2】 在正方体ABCDA1B1C1D1中,
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
[证明]
(1)∵直线A1A⊥平面ABCD,
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角,
设A1A=1,则AC=
,
∴tan∠A1CA=
.
(2)连接A1C1交B1D1于O,
在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,
∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,
∴BB1⊥A1C1,
又BB1∩B1D1=B1,
∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角,
在Rt△A1BO中,
A1O=
A1C1=
A1B,
∴∠A1BO=30°,
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
在本例正方体中,若E为棱AB的中点,求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值.
[解] 连接AC交BD于点O,过E作EO1∥AC交BD于点O1,易证AC⊥平面BB1D1D,
∴EO1⊥平面BB1D1D,
∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影,
∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为a,
∵E是AB的中点,EO1∥AC,∴O1是BO的中点,
∴EO1=
AO=
×
=
,
B1O1=
=
=
,
∴tan∠EB1O1=
=
=
.
求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图:
作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算.
(2)证明:
证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
(3)计算:
通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
线面垂直性质定理的应用
【例3】 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:
MN∥AD1.
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形,
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
证明线线平行常用的方法
(1)利用线线平行定义:
证共面且无公共点;
(2)利用三线平行公理:
证两线同时平行于第三条直线;
(3)利用线面平行的性质定理:
把证线线平行转化为证线面平行;
(4)利用线面垂直的性质定理:
把证线线平行转化为证线面垂直;
(5)利用面面平行的性质定理:
把证线线平行转化为证面面平行.
2.如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,直线a⊂β,a⊥AB.求证:
a∥l.
[证明] 因为EA⊥α,α∩β=l,即l⊂α,所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB=E,
所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β,a⊂β,所以EB⊥a,
又a⊥AB,EB∩AB=B,
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理,得a∥l.
一、知识必备
线线垂直和线面垂直的相互转化
二、方法必备
1.证明线面垂直的方法:
(1)线面垂直的定义.
(2)线面垂直的判定定理.
(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.
2.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
1.已知直线a,b,平面α,且a⊥α,下列条件中,能推出a∥b的是( )
A.b∥αB.b⊂α
C.b⊥αD.b与α相交
C [由线面垂直的性质定理可知,当b⊥α,a⊥α时,a∥b.]
2.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能( )
A.平行B.相交
C.异面D.垂直
A [若l∥m,l⊄α,m⊂α,则l∥α,这与已知l⊥α矛盾.所以直线l与m不可能平行.]
3.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是( )
A.60°B.45°
C.30°D.120°
A [∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=
,即∠ABO=60°.故选A.]
4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,求证:
A1C⊥平面BC1D.
[证明] 如图,连接AC,
∴AC⊥BD,
又∵BD⊥A1A,AC∩AA1=A,
AC,A1A⊂平面A1AC,
∴BD⊥平面A1AC,
∵A1C⊂平面A1AC,
∴BD⊥A1C.
同理可证BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1=B,BD,
BC1⊂平面BC1D,
∴A1C⊥平面BC1D.
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