北师大版九年级数学上册第一章 11 菱形的性质与判定 同步练习题.docx
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北师大版九年级数学上册第一章11菱形的性质与判定同步练习题
北师大版九年级数学上册第一章1.1菱形的性质与判定同步练习题
第1课时 菱形的性质
一、选择题
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D)
A.两组对边分别相等
B.两条对角线相等
C.四个内角都是直角
D.每一条对角线平分一组对角
2.菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是(D)
A.1B.2C.3D.4
3.如图,四边形ABCD是边长为5cm的菱形,其中对角线BD与AC交于点O,BD=6cm,则对角线AC的长度是(A)
A.8cmB.4cmC.3cmD.6cm
4.如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,且E,F分别为BC,CD的中点,则∠EAF等于(A)
A.60°B.55°C.45°D.30°
二、填空题
5.如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是(-5,4).
6.如图,在菱形ABCD中,∠C=45°,DE是AB边上的高,BE=2,则AB的长是4+2
.
7.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=50°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连接DF,则∠CDF的度数为105°.
8.如图,点E,F在菱形ABCD的对角线BD上,BE=DF,∠ABC=60°,∠BAE=35°,那么∠ECF的度数是50度.
9.如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E,F同时由A,C两点出发,分别沿AB,CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过ts△DEF为等边三角形,则t的值为
.
三、解答题
10.如图,在菱形ABCD中,作BE⊥AD,CF⊥AB,分别交AD,AB的延长线于点E,F.
(1)求证:
AE=BF;
(2)若点E恰好是AD的中点,AB=2,求BD的值.
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,AD∥BC.
∴∠A=∠CBF.
∵BE⊥AD,CF⊥AB,
∴∠AEB=∠BFC=90°.
∴△AEB≌△BFC(AAS).∴AE=BF.
(2)∵点E是AD的中点,且BE⊥AD,
∴直线BE为AD的垂直平分线.∴BD=AB=2.
11.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,E,F分别是AB,AD的中点,DE,BF相交于点G,连接CG.
(1)求∠CBG的度数;
(2)求证:
BG+DG=CG.
解:
(1)连接BD.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=CB=CD,AD∥BC,AB∥CD,∠BCD=∠A=60°.
∴△ABD是等边三角形.
∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴DE⊥AB,BF⊥AD.∴DE⊥CD,BF⊥BC.
∴∠CDG=∠CBG=90°.
(2)证明:
在Rt△CDG和Rt△CBG中,
∴Rt△CDG≌Rt△CBG(HL).
∴∠DCG=∠BCG=
∠BCD=30°,BG=DG.
∴BG=DG=
CG.
∴BG+DG=CG.
12.如图1,在菱形ABCD中,点E,F分别为AB,AD的中点,连接CE,CF.
(1)求证:
CE=CF;
(2)如图2,若H为AB上一点,连接CH,使∠CHB=2∠ECB,求证:
CH=AH+AB.
证明:
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AB=BC=CD=AD.
∵点E,F分别为AB,AD的中点,
∴BE=
AB,DF=
AD.∴BE=DF.
在△BCE和△DCF中,
∴△BCE≌△DCF(SAS).
∴CE=CF.
(2)延长BA与CF相交于点G,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AF∥BC,AB∥CD.
∴∠G=∠FCD.
∵点F为AD的中点,
∴AF为△GCB的中位线.∴AG=AB.
∵△BCE≌△DCF,∴∠ECB=∠DCF.
∵∠CHB=2∠ECB,∴∠CHB=2∠G.
∵∠CHB=∠G+∠HCG,∴∠G=∠HCG.
∴GH=CH.
∴CH=AH+AG=AH+AB.
13.如图,AC,BD为菱形ABCD的对角线,∠BAD=60°,点E,F分别在AD,CD边上,且∠EBF=60°.
(1)求证:
△BEF是等边三角形;
(2)当∠ABE=15°时,AB=1+
,求BE的长.
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AB∥DC.
又∵∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,∠ADC=120°.
∴AB=BD,∠ABD=∠ADB=60°.
∴∠ABD=∠EBF=∠BDC=60°.
∴∠ABE=∠DBF,∠BAE=∠BDF=60°.
∴△ABE≌△DBF(ASA).
∴BE=BF.
∴△BEF是等边三角形.
(2)过点E作EH⊥AB于点H,在AB上截取GB=GE,∴∠EGH=30°.
设HE=x,
在Rt△GHE中,∠EGH=30°,
∴GE=BG=2x,HG=
x.
在Rt△AHE中,∠BAD=60°,∴AH=
x.
∵AB=AH+HG+BG=1+
,
∴
x+
x+2x=1+
.解得x=
.
∴HE=
,BH=
.
∵BE2=HE2+BH2,
∴BE2=(
)2+(
)2.∴BE=
.
第2课时 菱形的判定
1.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有(C)
A.AC⊥BDB.AB=BC
C.AC=BDD.∠1=∠2
2.如图,顺次连接四边形ABCD各中点得四边形EFGH,要使四边形EFGH为菱形,应添加的条件是(D)
A.AB∥DCB.AB=DC
C.AC⊥BDD.AC=BD
3.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是(A)
A.AB=BCB.AC=BC
C.∠B=60°D.∠ACB=60°
4.如图,已知∠A,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AE,AF于点B,D;分别以点B,D为圆心,线段AB的长为半径画弧交于点C,连接BC,CD,则所得四边形ABCD为菱形,判定依据是四条边都相等的四边形是菱形.
5.如图,在△ABC中,AD,CD分别平分∠BAC和∠ACB,AE∥CD,CE∥AD.若从以下三个条件:
①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC中,选择一个作为已知条件,则能使四边形ADCE为菱形的是②(填序号).
6.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB=10,AC=12,当BD=16时,▱ABCD是菱形.
7.如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF.给出下列条件:
①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC,从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是③(只填写序号).
8.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=50cm,∠A=60°,点D从C点沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从A点沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设点D,E运动的时间是ts(0<t≤
),过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.当t=
_s时,四边形AEFD菱形.
9.在平面直角坐标系中,点A,B,C,D的坐标分别为(-3,0),(x,y),(0,4),(-6,z).若以点A,B,C,D为顶点的四边形是菱形,则z的值为4或
.
10.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,F分别是AB,BC上的点,AE=CF,并且∠AED=∠CFD.求证:
(1)△AED≌△CFD;
(2)四边形ABCD是菱形.
证明:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C.
在△AED和△CFD中,
∴△AED≌△CFD(ASA).
(2)∵△AED≌△CFD,∴AD=CD.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.
11.如图,在▱ABCD中,P是对角线BD上的一点,过点C作CQ∥DB,且CQ=DP,连接AP,BQ,PQ.
(1)求证:
△APD≌△BQC;
(2)若∠ABP+∠BQC=180°,求证:
四边形ABQP为菱形.
证明:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∴∠ADP=∠DBC.
∵CQ∥DB,∴∠BCQ=∠DBC.
∴∠ADP=∠BCQ.
又∵DP=CQ,∴△APD≌△BQC(SAS).
(2)∵CQ∥DB,且CQ=DP,
∴四边形CQPD是平行四边形.
∴CD=PQ,CD∥PQ.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.∴AB=PQ,AB∥PQ.
∴四边形ABQP是平行四边形.
∵△APD≌△BQC,∴∠APD=∠BQC.
∵∠APD+∠APB=180°,∠ABP+∠BQC=180°,∴∠ABP=∠APB.∴AB=AP.
∴四边形ABQP是菱形.
12.如图,在四边形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD,O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.求证:
(1)∠BOD=∠BCD;
(2)四边形OBCD是菱形.
证明:
(1)延长OA到E.
∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO.
又∵∠BOE=∠ABO+∠BAO,∴∠BOE=2∠BAO.
同理可得∠DOE=2∠DAO.
∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2(∠BAO+∠DAO),即∠BOD=2∠BAD.
又∵∠BCD=2∠BAD,∴∠BOD=∠BCD.
(2)连接OC.
∵BC=CD,OB=OD,OC=OC,
∴△OBC≌△ODC(SSS).
∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO.
∵∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO,
∴∠BOC=
∠BOD,∠BCO=
∠BCD.
又∵∠BOD=∠BCD,∴∠BOC=∠BCO.
∴BO=BC.
又∵OB=OD,BC=CD,∴OB=BC=CD=DO.
∴四边形OBCD是菱形.
13.如图,在△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,F是AD的中点,FG⊥BC于点G,与DE交于点H.若FG=AF,AG平分∠CAB,连接GE,GD.
(1)求证:
△ECG≌△GHD;
(2)小亮同学经过探究发现:
AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论;
(3)若∠B=30°,判断四边形AEGF是否为菱形?
并说明理由.
解:
(1)证明:
∵AF=FG,
∴∠FAG=∠FGA.
∵AG平分∠CAB,
∴∠CAG=∠FAG.
∴∠CAG=∠FGA.∴AC∥FG.
∵DE⊥AC,∴FG⊥DE.
∵FG⊥BC,∴DE∥BC.∴AC⊥BC.
∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED.
∵F是AD的中点,FG∥AE,∴H是ED的中点.
∴FG是线段ED的垂直平分线.
∴GE=GD,∠HDG=∠GED.
∴∠CGE=∠HDG.
∴△ECG≌△GHD(AAS).
(2)证明:
过点G作GP⊥AB于P,∴GC=GP.
又∵AG=AG,∴Rt△CAG≌Rt△PAG(HL).
∴AC=AP.
∵EG=DG,∴Rt△ECG≌Rt△DPG(HL).
∴EC=PD.
∴AD=AP+PD=AC+EC.
(3)四边形AEGF是菱形,
理由:
∵∠B=30°,∴∠ADE=30°.
∴AE=
AD.∴AE=AF=FG.
又∵AE∥FG,
∴四边形AEGF是菱形.
第3课时 菱形的性质与判定的运用
1.下列说法中不正确的是(C)
A.四边相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.菱形的对角线互相垂直且相等
D.菱形的邻边相等
2.如图,E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点,且AB=CD,下列结论:
①EG⊥FH;②四边形EFGH是菱形;③HF平分∠EHG,其中正确的有(D)
A.0个B.1个C.2个D.3个
3.已知菱形ABCD,O是两条对角线的交点,AC=8cm,DB=6cm,则菱形的边长是5cm,面积是24cm2.
4.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是菱形,点C的坐标为(1,2),则菱形OABC的面积是2
.
5.如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起.若重叠部分构成的四边形ABCD中,AB=5,AC=4,则BD的长为2
.
6.如图,已知四边形ABCD的四边相等,等边△AMN的顶点M,N分别在BC,CD上,且AM=AB,则∠C=100°.
7.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且点O是BD的中点.若AB=AD=5,BD=8,∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面积为24.
8.如图,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是菱形,OB=OD=2,∠BOD=60°将菱形OBCD绕点O旋转任意角度,得到菱形OB1C1D1,则点C1的纵坐标的最小值为-2
.
9.如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E,F将对角线AC三等分,且AC=6,连接DE,DF,BE,BF.
(1)求证:
四边形DEBF为菱形;
(2)求菱形DEBF的面积.
解:
(1)证明:
连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OD=OB.
∵E,F为AC的三等分点,
∴AE=CF.∴OE=OF.
∴四边形DEBF是菱形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,∠DAC=
∠DAB=30°.
∵AE=EF=FC=2,OA=OC=3,
∴OE=OF=1,OD=OB=
.
∴S菱形DEBF=
EF·DB=
×2×2
=2
.
10.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC边的中点,连接DA,DF,且AD=2DF,过点B作AD的平行线交FD的延长线于点E.
(1)求证:
四边形ABED为菱形;
(2)若BD=6,∠E=60°,求四边形ABEF的面积.
解:
(1)证明:
在△ABC中,D,F分别是BC,AC边的中点,
∴DF∥AB,DF=
AB.
∵BE∥AD,
∴四边形ABED是平行四边形.
∵AD=2DF,∴AD=AB.
∴四边形ABED为菱形.
(2)过点B作BG⊥EF于点G,
∵四边形ABED为菱形,∴BE=DE.
∵∠E=60°,∴△BDE是等边三角形.
∴AB=BE=DE=BD=6.∴DF=3,EF=9.
∵BG⊥EF,∴DG=
DE=3.
∴BG=
DG=3
.
∴四边形ABEF的面积为
=
.
11.如图,在▱ABCD中,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,AE=CG,AH=CF,且EG平分∠HEF.
(1)求证:
四边形EFGH是菱形;
(2)若∠B=60°,CG=2,FC=6,求EF的长.
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠BCD,AB=CD,AD=BC,∠B=∠D.
在△AEH和△CGF中,
∴△AEH≌△CGF(SAS).
∴EH=FG,AE=CG,AH=CF.
∴BE=DG,BF=DH.
在△BEF和△DGH中,
∴△BEF≌△DGH(SAS).∴EF=GH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
∴HG∥EF.∴∠HGE=∠FEG.
∵EG平分∠HEF,∴∠HEG=∠FEG.
∴∠HEG=∠HGE.∴HE=HG.
∴四边形EFGH是菱形.
(2)过点F作FM⊥CD,交DC延长线于点M.
∵AB∥CD,∴∠B=∠FCM=60°.
∴∠CFM=30°.∴FC=2CM.
∴CM=3,GM=GC+CM=5.
∴FM=
=3
.
∴FG=
=2
.
∵四边形EFGH是菱形,
∴EF=FG=2
.
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AE平分∠CAB交CB于点E,CD⊥AB于点D,交AE于点G,过点G作GF∥BC交AB于点F,连接EF.
(1)求证:
CG=CE;
(2)判断四边形CGFE的形状,并证明;
(3)若BF=2AF,AC=3cm,求线段DG的长度.
解:
(1)证明:
∵AE平分∠CAB,∴∠CAE=∠BAE.
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠CAE+∠CEA=∠BAE+∠AGD=90°.
∴∠CEA=∠AGD=∠CGE.∴CG=CE.
(2)四边形CGFE是菱形,证明如下:
∵GF∥BC,∴∠AEC=∠EGF=∠CGE.
∴∠AGC=∠AGF.
又∵∠CAG=∠FAG,AG=AG,
∴△AGC≌△AGF(ASA).∴CG=FG.
∴CE=FG.
又∵CG=CE,CE∥FG,∴四边形CGFE是菱形.
(3)∵△AGC≌△AGF,∴AC=AF=3cm.
∴BF=2AF=6cm,AB=9cm.
∴BC=
=6
cm.
∵四边形CGFE是菱形,∴EF∥CG.
∵CD⊥AB,∴EF⊥AB.设CE=EF=x,
在Rt△EFB中,EF2+BF2=BE2,
∴x2+62=(6
-x)2.解得x=
.
∴CE=CG=
cm.
∵S△ABC=
AC·BC=
AB·CD,
∴CD=
=2
cm.
∴DG=CD-CG=2
-
=
(cm).
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