江苏专用版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何98圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题教师用书文.docx
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江苏专用版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何98圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题教师用书文
第2课时 范围、最值问题
题型一 范围问题
例1 (2015·天津)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,FM=.
(1)求直线FM的斜率;
(2)求椭圆的方程;
(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.
解
(1)由已知,有=,
又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.
设直线FM的斜率为k(k>0),F(-c,0),则直线FM的方程为y=k(x+c).
由已知,有2+2=2,解得k=.
(2)由
(1)得椭圆方程为+=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c或x=c.
因为点M在第一象限,可得M的坐标为.
由FM==.
解得c=1,所以椭圆的方程为+=1.
(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,
得t=,即直线FP的方程为y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立消去y,
整理得2x2+3t2(x+1)2=6,
又由已知,得t=>,
解得-<x<-1或-1<x<0.
设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理得m2=-.
①当x∈时,有y=t(x+1)<0,
因此m>0,于是m=,得m∈.
②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0,
因此m<0,于是m=-,
得m∈.
综上,直线OP的斜率的取值范围是∪.
思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
(2016·扬州模拟)如图,已知椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,点M在PF1上,且满足=λ(λ∈R),PO⊥F2M,O为坐标原点.
(1)若椭圆的方程为+=1,且点P的坐标为(2,),求点M的横坐标;
(2)若λ=2,求椭圆离心率e的取值范围.
解
(1)因为椭圆的方程为+=1,
所以点F1的坐标为(-2,0),点F2的坐标为(2,0),
所以kOP=,kF2M=-,kF1M=,
所以直线F2M的方程为y=-(x-2),
直线F1M的方程为y=(x+2).
联立解得x=,
所以点M的横坐标为.
(2)设点P的坐标为(x0,y0),点M的坐标为(xM,yM),
因为=2,
所以=(x0+c,y0)=(xM+c,yM),
所以点M的坐标为(x0-c,y0),
=(x0-c,y0).
因为PO⊥F2M,=(x0,y0),
所以(x0-c)x0+y=0,即x+y=2cx0.
联立
消去y0,得c2x-2a2cx0+a2(a2-c2)=0,
解得x0=或x0=.
因为-a 所以0 又椭圆离心率e∈(0,1), 故椭圆离心率e的取值范围为(,1). 题型二 最值问题 命题点1 利用三角函数有界性求最值 例2 (2016·徐州模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是坐标原点,则AF·BF的最小值是________. 答案 4 解析 设直线AB的倾斜角为θ,可得AF=,BF=,则AF·BF=×=≥4. 命题点2 数形结合利用几何性质求最值 例3 (2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为________________________. 答案 解析 双曲线x2-y2=1的渐近线为x±y=0,直线x-y+1=0与渐近线x-y=0平行,故两平行线的距离d==.由点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,得c≤,故c的最大值为. 命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 例4 (2016·山东)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2. (1)求椭圆C的方程. (2)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B. ①设直线PM,QM的斜率分别为k,k′,证明为定值; ②求直线AB的斜率的最小值. (1)解 设椭圆的半焦距为c. 由题意知2a=4,2c=2. 所以a=2,b==. 所以椭圆C的方程为+=1. (2)①证明 设P(x0,y0)(x0>0,y0>0). 由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,-2m). 所以直线PM的斜率k==. 直线QM的斜率k′==-. 此时=-3.所以为定值-3. ②解 设A(x1,y1),B(x2,y2). 由①知直线PA的方程为y=kx+m,则 直线QB的方程为y=-3kx+m. 联立 整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0, 由x0x1=,可得x1=, 所以y1=kx1+m=+m. 同理x2=,y2=+m. 所以x2-x1=- =, y2-y1=+m--m =, 所以kAB===, 由m>0,x0>0,可知k>0, 所以6k+≥2,当且仅当k=时取“=”. 因为P(x0,2m)在椭圆+=1上, 所以x0=,故此时=, 即m=,符合题意. 所以直线AB的斜率的最小值为. 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法: 一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. (2016·苏州模拟)已知椭圆C: x2+2y2=4. (1)求椭圆C的离心率; (2)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值. 解 (1)由题意,椭圆C的标准方程为+=1, 所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2. 因此a=2,c=. 故椭圆C的离心率e==. (2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0. 因为OA⊥OB,所以·=0, 即tx0+2y0=0,解得t=-. 又x+2y=4, 所以AB2=(x0-t)2+(y0-2)2 =2+(y0-2)2=x+y++4 =x+++4 =++4(0 因为+≥4(0 故线段AB长度的最小值为2. 1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是__________. 答案 [-1,1] 解析 Q(-2,0),设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0, 由Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0, 解得-1≤k≤1. 2.已知P为双曲线C: -=1上的点,点M满足||=1,且·=0,则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为________. 答案 解析 由·=0,得OM⊥PM,根据勾股定理,求MP的最小值可以转化为求OP的最小值,当OP取得最小值时,点P的位置为双曲线的顶点(±3,0),而双曲线的渐近线为4x±3y=0,∴所求的距离d=. 3.已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,对于左支上任意一点P都有PF=8a·PF1(a为实半轴长),则此双曲线的离心率e的取值范围是__________. 答案 (1,3] 解析 由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义, 得PF2=2a+PF1,所以=PF1++4a=8a, 所以PF1=2a,PF2=4a, 在△PF1F2中,PF1+PF2≥F1F2, 即2a+4a≥2c,所以e=≤3. 又e>1,所以1 4.已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C: (x+1)2+(y-5)2=1上,则MA+MF的最小值是________. 答案 5 解析 依题意,由点M向抛物线x2=4y的准线l: y=-1引垂线,垂足为M1,则有MA+MF=MA+MM1,结合图形(图略)可知MA+MM1的最小值等于圆心C(-1,5)到y=-1的距离再减去圆C的半径,即6-1=5,因此MA+MF的最小值是5. 5.(2017·郑州第一次质量预测)已知椭圆C1: -=1与双曲线C2: +=1有相同的焦点,则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________. 答案 (,1) 解析 ∵椭圆C1: -=1, ∴a=m+2,b=-n,c=m+2+n, e==1+. ∵双曲线C2: +=1,∴a=m,b=-n,c=m-n, ∴由条件知m+2+n=m-n,则n=-1, ∴e=1-. 由m>0,得m+2>2,<,->-, ∴1->,即e>,而0 ∴ 6.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是________. 答案 3 解析 依题意不妨设A(x1,),B(x2,-),·=2⇒x1x2-=2⇒=2或=-1(舍去).当x1=x2时,有x1=x2=2,则S△ABO+S△AFO=2+=;当x1≠x2时,直线AB的方程为y-=(x-x1),则直线AB与x轴的交点坐标为(2,0).于是S△ABO+S△AFO=×2×(+)+×=+≥2=3(当且仅当=时取“=”),而>3,故填3. 7.已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴顶点为(0,2),它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于异于椭圆顶点的两点A,B,且=2. (1)求椭圆的方程; (2)求m的取值范围. 解 (1)由题意,知椭圆的焦点在y轴上, 设椭圆方程为+=1(a>b>0), 由题意,知a=2,b=c,又a2=b2+c2,则b=, 所以椭圆方程为+=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+m,与椭圆方程联立, 即消去y,得(2+k2)x2+2mkx+m2-4=0, Δ=(2mk)2-4(2+k2)(m2-4)>0, 由根与系数的关系,知 又=2,即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m), 所以-x1=2x2. 则所以=-22. 整理,得(9m2-4)k2=8-2m2, 又9m2-4=0时等式不成立, 所以k2=>0,得 所以m的取值范围为∪. 8.(2016·苏北四市联考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率e=,左顶点为A(-4,0),过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D,交y轴于点E. (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知P为AD的中点,是否存在定点Q,对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ? 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. (3)若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M,求的最小值. 解 (1)因为左顶点为A(-4,0), 所以a=4,又e=,所以c=2. 又因为b2=a2-c2=12, 所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)直线l的方程为y=k(x+4), 联立得+=1, 化简,得(x+4)[(4k2+3)x+16k2-12]=0, 所以x1=-4,x2=. 当x=时,y=k(+4)=, 所以点D的坐标为(,). 因为P为AD的中点, 所以点P的坐标为(,), 则kOP=-(k≠0). 直线l的方程为y=k(x+4),令x=0,得点E的坐标为(0,4k). 假设存在定点Q(m,n)(m≠0),使得OP⊥EQ, 则kOPkEQ=-1, 即-·=-1,所以(4m+12)k-3n=0, 所以 解得 因此定点Q的坐标为(-3,0). (3)因为OM∥l,所以OM的方程可设为y=kx, 联立得点M的横坐标为x=±. 由OM∥l, 得== ==· =(+)≥2, 当且仅当=,即k=±时取等号. 所以当k=±时,取得最小值为2. 9.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e. (1)若e=,求椭圆的方程; (2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,若·=0,且 解 (1)由右焦点F2(3,0),知c=3, 又e==,所以a=2. 又由a2=b2+c2,解得b2=3. 所以椭圆的方程为+=1. (2)由得(b2+a2k2)x2-a2b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可知, x1+x2=0,x1x2=-. 又=(3-x1,-y1),=(3-x2,-y2), 所以·=(3-x1)(3-x2)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0,即+9=0, 整理得k2==-1-. 由 知2≤a<3,12≤a2<18. 所以a4-18a2=(a2-9)2-81∈[-72,0), 所以k2≥,则k≥或k≤-, 因此实数k的取值范围为∪.
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