1、江苏专用版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何98圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题教师用书文第2课时范围、最值问题题型一范围问题例1(2015天津)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，FM.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围解(1)由已知，有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，F(c,0)，则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有222，解得k.(2)由(1)得椭圆方程
2、为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由FM.解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即直线FP的方程为yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t，解得x1或1x0.设直线OP的斜率为m，得m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m2.当x时，有yt(x1)0，因此m0，于是m，得m.当x(1,0)时，有yt(x1)0，因此m0，于是m，得m.综上，直线OP的斜率的取值范围是.思维升华解决圆锥曲线中
3、的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围 (2016扬州模拟)如图，已知椭圆1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，点M在PF1上，且满足 (R)，POF2M，O为坐标原点(1)若椭圆的方程为1，且点P的坐标为(2，)，求点M的
4、横坐标；(2)若2，求椭圆离心率e的取值范围解(1)因为椭圆的方程为1，所以点F1的坐标为(2,0)，点F2的坐标为(2,0)，所以kOP，kF2M，kF1M，所以直线F2M的方程为y(x2)，直线F1M的方程为y(x2)联立解得x，所以点M的横坐标为.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，点M的坐标为(xM，yM)，因为2，所以(x0c，y0)(xMc，yM)，所以点M的坐标为(x0c，y0)，(x0c，y0)因为POF2M，(x0，y0)，所以(x0c)x0y0，即xy2cx0.联立消去y0，得c2x2a2cx0a2(a2c2)0，解得x0或x0.因为ax0a，所以x0(0，a)，所以0a2
5、ac.又椭圆离心率e(0,1)，故椭圆离心率e的取值范围为(，1)题型二最值问题命题点1利用三角函数有界性求最值例2(2016徐州模拟)过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则AFBF的最小值是_答案4解析设直线AB的倾斜角为，可得AF，BF，则AFBF4.命题点2数形结合利用几何性质求最值例3(2015江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_答案解析双曲线x2y21的渐近线为xy0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线的距离d.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立，得
6、c，故c的最大值为.命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4(2016山东)已知椭圆C：1(ab0)的长轴长为4，焦距为2.(1)求椭圆C的方程(2)过动点M(0，m)(m0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.设直线PM，QM的斜率分别为k，k，证明为定值；求直线AB的斜率的最小值(1)解设椭圆的半焦距为c.由题意知2a4,2c2.所以a2，b.所以椭圆C的方程为1.(2)证明设P(x0，y0)(x00，y00)由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，2m)所以直线PM的斜率k.直线
7、QM的斜率k.此时3.所以为定值3.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)由知直线PA的方程为ykxm，则直线QB的方程为y3kxm.联立整理得(2k21)x24mkx2m240，由x0x1，可得x1，所以y1kx1mm.同理x2，y2m.所以x2x1，y2y1mm，所以kAB，由m0，x00，可知k0，所以6k2，当且仅当k时取“”因为P(x0,2m)在椭圆1上，所以x0，故此时，即m，符合题意所以直线AB的斜率的最小值为.思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定
8、理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解(2016苏州模拟)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解(1)由题意，椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以AB2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x4
9、4(0x4)因为4(00，b0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P都有PF8aPF1(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是_答案(1,3解析由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得PF22aPF1，所以PF14a8a，所以PF12a，PF24a，在PF1F2中，PF1PF2F1F2，即2a4a2c，所以e3.又e1，所以10，得m22，1，即e，而0e11，e13，故填3.7已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于异于椭圆顶点的两点A，B，且2.(1)求椭圆的方程；(2)求
10、m的取值范围解(1)由题意，知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为1(ab0)，由题意，知a2，bc，又a2b2c2，则b，所以椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线l的斜率存在，设其方程为ykxm，与椭圆方程联立，即消去y，得(2k2)x22mkxm240，(2mk)24(2k2)(m24)0，由根与系数的关系，知又2，即有(x1，my1)2(x2，y2m)，所以x12x2.则所以22.整理，得(9m24)k282m2，又9m240时等式不成立，所以k20，得m20.所以m的取值范围为.8. (2016苏北四市联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1
11、(ab0)的离心率e，左顶点为A(4,0)，过点A作斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k0)都有OPEQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由(3)若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值解(1)因为左顶点为A(4,0)，所以a4，又e，所以c2.又因为b2a2c212，所以椭圆C的标准方程为1.(2)直线l的方程为yk(x4)，联立得1，化简，得(x4)(4k23)x16k2120，所以x14，x2.当x时，yk(4)，所以点D的坐标为(，)因为P为AD的中点，所以点P的坐
12、标为(，)，则kOP(k0)直线l的方程为yk(x4)，令x0，得点E的坐标为(0,4k)假设存在定点Q(m，n)(m0)，使得OPEQ，则kOPkEQ1，即1，所以(4m12)k3n0，所以解得因此定点Q的坐标为(3,0)(3)因为OMl，所以OM的方程可设为ykx，联立得点M的横坐标为x.由OMl，得()2，当且仅当，即k时取等号所以当k时，取得最小值为2. 9.已知椭圆1(ab0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.(1)若e，求椭圆的方程；(2)设直线ykx与椭圆相交于A，B两点，若0，且e，求k的取值范围解(1)由右焦点F2(3,0)，知c3，又e，所以a2.又由a2b2c2，解得b23.所以椭圆的方程为1.(2)由得(b2a2k2)x2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可知，x1x20，x1x2.又(3x1，y1)，(3x2，y2)，所以(3x1)(3x2)y1y2(1k2)x1x290，即90，整理得k21.由e及c3，知2a3，12a218.所以a418a2(a29)28172,0)，所以k2，则k或k，因此实数k的取值范围为.
