圆锥曲线中的最值范围问题.docx
- 文档编号:16167184
- 上传时间:2023-07-11
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:163.71KB
圆锥曲线中的最值范围问题.docx
《圆锥曲线中的最值范围问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《圆锥曲线中的最值范围问题.docx(16页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
圆锥曲线中的最值范围问题
圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法
(1)两种类型
1涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;
2求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.
(2)两种解法
1几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来
解决;
2代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,
再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.
[典例](2018武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,
直线y=kx(k>0)与直线AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.
(1)若ED—=6IdF,求k的值;
(2)求四边形AEBF的面积的最大值.
[思路演示]
2
解:
(1)由题设条件可得,椭圆的方程为X+y=1,直线AB的方程为x+2y—2=0.
4
设D(xo,kxo),E(X1,kx1),F(X2,kx?
),其中X1 2 解得X2=—x1=〒4F•① > 由ED—=6DF,得x0—x1=6(x2—x0), 2 1+2k 10 7.1+4k2' 化简,得 24k2—25k+6=0, 解得k=2或k=3. .5 ⑵根据点到直线的距离公式和①式可知,点E,F到AB的距离分别为d1=|X1+2kX12| =2(1+2k+寸1+4k2,a/5(1+4k2)' |X2+2kx2—2|21+2k-1+4k2 d2=: =J2, \5心(1+4k2) 又|AB|=22+12=5, •••四边形AEBF的面积为 1」1厂4(1+2k) S=2AB|(d1+d2)=2•5•51+40 通过变形,利用基本不等式求最值. 22 解: (1)设椭圆的方程为字+器=1(a>b>0). 依题意可知,2b=与^=4,所以b=2. 又c=1,故a2=b2+c2=5, 22 故椭圆c的方程为: +y=1. 54 ⑵由题意,圆P的方程为x2+(y—1)2=t2+1. 设Q(xo,yo),因为PM丄QM, 所以|QM|=|PQ|2-12-1=x0+yo—t2—t2—1 =p-揄+4tf+4+4代 1 若—4tW—2,即t>-, 当y°=—2时,|QM|取得最大值, |QM|max=4t+3=%2,解得t=8<-(舍去).若—4t>—2,即Ovtv2,当y0=—4t时,|QM|取最大值,且|QM|max=寸4+4『=^J2,解得t^-42.综上可知,当t=¥时,|QM|的最大值为冷2. 范围 问题 解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围; ⑵利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的 (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围; (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围. 22 xy [典例](2018•肥质检)已知点F为椭圆E: /+器=1(a>b>0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线x+y=1与椭圆E有且仅有一个交点M. 42 (1)求椭圆E的方程; ⑵设直线x+y=1与y轴交于P,过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,若开PM|2=|PA||PB|,求实数入的取值范围. [思路演示] 解: ⑴由题意,得a=2c,b=3c, 22 则椭圆E的方程为4^2+总=1. 22 x_+v_—c2 得x? —2x+4—3c? —0. 4十3=C,由 x+2—1 42 •••直线X+y—1与椭圆E有且仅有一个交点M, 42 •△—4—4(4—3c2)—0,解得c2=1, 22 •椭圆e的方程为x-+y—1. 43 •••直线x+y=1与y轴交于p(o,2), 42 25 •-|PM|2=- 当直线I与x轴垂直时, |PA||PB|=(2+.3)X(2—3)=1, 24 •••4PM|2=|PA||PB|? X=. 5 当直线I与x轴不垂直时, 设直线I的方程为y=kx+2,A(X1,y1),b(X2,y2), y=kx+2,22 由22消去y,得(3+4k2)x2+16kx+4=0, 3x2+4‘-12=0 r42 则X1X2=2,且△=48(4k—1)>0, 3+4k •|PA||PB|=仆+k2)x1X2=(1+k2)1+^2=入 •4=-1+缶, vk2f,•4< 综上可知,实数入的取值范围是-,1. [解题师说] 在关系式4PM|2=|PA||PB|中,P,M为已知定点,而A,B两点是动直线I与椭圆的 交点,故4与直线I的斜率有关,应考虑建立4关于k的函数关系式求解. [应用体验] 2•已知椭圆E的中心在原点,焦点Fi,F2在y轴上,离心率等于乎,P是椭圆E上 直线l的倾斜角的取值范围. c=乎,b=a2-c2=-. •••PF2丄F1F2. •••ipf2=a. >> T9PF1PF2=1, 之2 •••9|PF2|2= 爷=1. a2=9, 解得b2= 2 •・椭圆E的方程为£+x2=1. ⑵•.•直线x=-2与x轴垂直,且由已知得直线i与直线x=-号相交,•直线I不可能与x轴垂直, •设直线I的方程为y=kx+m,M(X1,y“,n(X2,y2), y=kx+m,q222 由22得(k2+9)x2+2kmx+(m2-9)=0. 9x+y=9 •••直线I与椭圆E交于两个不同的点M,N, 二△=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0, 即m2-k2-9<0. —2km 则X1+x2=丙亍. •••线段MN被直线2x+1=0平分, xi+X2口戸一2km •••2X-^2-+1=0,即齐9+=0. 22 jm—k—9<0,2 由I-2km得lk+9)-(k2+9)<0. 2「c+1=0I2k丿 k+9 2 2k+9 Tk+9>0,.・.=^-1<0,4k -k2>3,解得k>3或k<-3. •••直线I的倾斜角的取值范围为 12, 线段FiF2被抛物线y2=2bx的焦点 [升级增分训练] ⑴求椭圆的离心率; ⑵过点C(-1,0)的直线I交椭圆于不同两点A,B,且NCC=2©首,当△AOB的面积最 大时,求直线I的方程. 解: (1)由题意知,c+b=3c- 所以e=c -ar 所以b=c,a2=2b2, (2)设a(xi,yi),b(x2,y2), 直线AB的方程为x=ky-1(kz0), 因为AC=2CB,所以(一1—Xi,—yi)=2(x2+1,y2), 即2y2+y1=0.① 由 (1)知,a2=2b2,所以椭圆方程为x2+2y2=2b2. x=ky-1,222 222消去x,得(k2+2)y2-2ky+1-2b2=0, x+2y=2b 所以y1+y2=命•② 由①②知,y2=-命,y1=伞. 因为Saaob=2lyi1+2“2|, 即k=±2时取等号, 此时直线l的方程为x=2y-1或x=-2y—1, 即x—2y+1=0或x+_2y+1=0. 2. 22 xy (2018惠州调研)如图,椭圆C: a2+b2=1(a>b>0)的右顶点为A(2,0),左、右焦点分 别为F1,F2,过点A且斜率为舟的直线与y轴交于点P,与椭圆交于另一个点B,且点B在 x轴上的射影恰好为点F1. (1)求椭圆C的标准方程; 1 ⑵过点P且斜率大于1的直线与椭圆交于M,N两点(|PM|>|PN|),若S^ram: S^rbn=人求实数入的取值范围. a=b2, 由aa+c a2=b2+c2, 解: (1)因为BF1丄x轴,所以点B—C,—号, a=2, =2,解得b=3, [c=1, 22 (2)因为 PAM S^pbn 1 ? |PA||PM|sin/APM 1 2|PB||PN|sin/BPN |PM|入 品=厂2), 所以椭圆C的标准方程是x4+卷=1. 所以PM―=—扌PN—>. 由 (1)可知P(0,—1),设直线MN: y=kx—1k>1, M(X1,y1),n(x2,y2), y=kx—1, 联立x2y2消去y, x+y=1 43 化简得(4k2+3)x2—8kx—8=0. f丄8k (*) x1+x2=4kT3,则—8 x1x2=4k? T5. (1,4), 所以实数入的取值范围为(4,4+23). 22 3.(2018广西三市第一次联考)已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C: x2+占=1(a>b>0)过点 ab 1,3,且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点. (2)过点2,0作直线I与椭圆C交于E, F两点,线段EF的中点为M,点A是椭圆C (1)求椭圆C的方程; 的右顶点,求直线MA的斜率k的取值范围. 解: ⑴•••椭圆c过点1,2,•丰+49b2=1,① •••椭圆C关于直线X=c对称的图形过坐标原点,•••a=2c, Ta2=b2+c2,「.b2=3a2,② 4 由①②得a2=4,b2=3, 22 •椭圆C的方程为x+y=1. 43 (2)依题意,直线l过点 2,0且斜率不为零,故可设其方程为x=my+2 x=my+1, 由22消去x,并整理得4(3m2+4)y2+12my—45=0. x+y=1 43 设E(xi,yi),F(X2,y2),M(xo,yo), •-yi+y2=-3鸽4, •••yo=恃 3m 23m2+4, 3m+4 12.yom •-xo=myo+2=,…k=xo-2=4mr4. ①当m=0时,k=0; 1 ②当mz0时,k=, 44m+m m 4m+4=4|m|+8, mii|m| •ov|k|w-,•-kw-且kzo. 888 一一11综合①②可知,直线MA的斜率k的取值范围是—1,-. 88 22 4.已知圆x2+y2=1过椭圆字+生=1(a>b>o)的两焦点,与椭圆有且仅有两个公共点, 22 22xy—>—> 直线l: y=kx+m与圆x2+y2=1相切,与椭圆孑+十=1相交于A,B两点.记X=OA・OB, (1)求椭圆的方程; (2)求k的取值范围; (3)求厶OAB的面积S的取值范围. 解: (1)由题意知2c=2,所以c=1. 因为圆与椭圆有且只有两个公共点,从而b=1, 2 故a=-.2,所以所求椭圆方程为专+1. 所以原点O到直线l的距离为 (2)因为直线l: y=kx+m与圆x2+y2=1相切, y=kx+m, 即m2=k2+1.由x22 2+y=1 消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2—2=0. 设A(X1,y1),B(X2,y2), 2 —4km2m—2 2. 则xi+x2—2,X1X2— 1+2k1+2k —>—>22k2+123如1 入=OA-OB=X1X2+y1y2=(1+k)x1X2+km(x1+x2)+m=齐昴,由3三疋4,得2 即k的取值范围是 ⑶|AB|=1+k[X1+X2—4X1X2] 2 2k2+12, 由k2<1,得-2<|AB|w3. 设厶OAB的AB边上的高为d, …11 则S=2|AB|d=2|AB|, 所以譽sw2, 43 即厶OAB的面积S的取值范围是
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 圆锥曲线 中的 范围 问题