北师大版七年级第五讲两条直线的位置关系.docx
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北师大版七年级第五讲两条直线的位置关系
【专题讲义】北师大版七年级上册寒假精讲课程
第五讲:
两条直线的位置关系
【学生版】
知识详解
一、同一平面内两条直线的位置关系
同一平面内,两条直线的位置关系:
相交和平行.
要点诠释:
(1)平行线:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行,用符号“∥”表示.如下图,两条直线互相平行,记作AB∥CD或a∥b.
(2)互相重合的直线通常看做一条直线,两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.
(3)相交线:
若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线,这个公共点叫做交点.两条直线相交只有一个交点.
【例题】如图,在正方体中:
(1)与线段平行的线段_________;
(2)与线段
相交的线段______;
(3)与线段
既不平行也不相交的线段______.
【练习】1、下面说法中正确的是()
A.在同一平面内,两条直线的位置关系有相交、平行、垂直三种
B.在同一平面内,不垂直的两条直线必平行
C.在同一平面内,不平行的两条直线必垂直
D.在同一平面内,不相交的两条直线一定不垂直
2、下面说法中正确的是()
①在同一平面内不相交的两条直线必平行;②在同一平面内不相交的两条线段必平行;
③在同一平面内不平行的两条直线必相交;④在同一平面内不平行的两条线段必相交
A.1B.2C.3D.4
3、不重合的两条直线的位置关系有().
A.平行或垂直B.平行或相交C.不相交或相交D.平行、垂直或相交
2、对顶角、补角、余角
1.余角与补角
(1)定义:
如果两个角的和是180°,那么这两个角互为补角,简称互补,其中一个角叫做另一个角的补角.
类似地,如果两个角的和是90°,那么这两个角互为余角.简称互余,其中一个角叫做另一个角的余角.
(2)性质:
同角(等角)的余角相等.同角(等角)的补角相等.
要点诠释:
(1)互余互补指的是两个角的数量关系,而与它们的位置无关.
(2)一个锐角的补角比它的余角大90°.
2.对顶角
(1)定义:
由两条直线相交构成的四个角中,有公共顶点没有公共边(相对)的两个角,互为对顶角.
要点诠释:
(1)对顶角满足的条件:
①相等的两个角;②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
(2)只有两条直线相交时,才能产生对顶角.两条直线相交时,除了产生对顶角外,还会产生邻补角,邻补角满足的条件:
①有公共顶点;②有一条公共边,另一边互为反向延长线.(3)邻补角一定互为补角,但互为补角的角不一定是邻补角.
(2)性质:
对顶角相等.
【例1】如图所示,直线AB、CD相交于点O,∠1=65°,求∠2、∠3、∠4的度数.
【例2】如图,OA⊥OB,若∠1=55°,则∠2的度数是()
A.35°B.40°C.45°D.60°
【练习】
1、如图,∠1和∠2是对顶角的图形有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2、下列关于对顶角的语句中,正确的是()
A.对顶角不一定相等
B.两条直线相交所成的角是对顶角
C.有公共顶点并且相等的两个角是对顶角
D.两条直线相交所成的四个角中,有公共顶点,无公共边的两个角是对顶角
3、如图所示,两直线相交,已知∠l与∠2的度数之比为3:
2,求∠1与∠2的度数.
4、如图所示,已知OA⊥OB,OC⊥OD,则图中∠1和∠2的关系是()
A.互余B.互补C.相等D.以上都不对
三、垂线
1.垂线的定义:
两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就称这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.如下图.
要点诠释:
(1)记法:
直线a与b垂直,记作:
;
直线AB和CD垂直于点O,记作:
AB⊥CD于点O.
(2)垂直的定义具有二重性,既可以作垂直的判定,又可以作垂直的性质,即有:
CD⊥AB.
2.垂线的画法:
过一点画已知直线的垂线,可通过直角三角板来画,具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合,沿直线左右移动三角板,使另一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线,则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示).
要点诠释:
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时,指的是它所在直线的垂线,垂足可能在射线的反向延长线上,也可能在线段的延长线上.
(2)过直线外一点作已知直线的垂线,这点与垂足间的线段为垂线段.
3.垂线的性质:
(1)平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.简单说成:
垂线段最短.
要点诠释:
(1)性质
(1)成立的前提是在“同一平面内”,“有”表示存在,“只有”表示唯一,“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性.
(2)性质
(2)是“垂线段最短.”实际上,连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条,但只有一条最短,即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.
4.点到直线的距离:
定义:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
要点诠释:
(1)点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是距离;
(2)求点到直线的距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后计算或度量垂线段的长度.
【例1】下列语句中,正确的有()
①一条直线的垂线只有一条.
②在同一平面内,过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直.
③两直线相交,则交点叫垂足.
④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角.
A.0个B.1个C.2个D.3个
【练习】直线
外有一点P,则点P到直线
的距离是().
A.点P到直线
的垂线的长度.
B.点P到直线
的垂线段.
C.点P到直线
的垂线段的长度.
D.点P到直线
的垂线.
【例2】如图所示,直线AB、CD相交于点O,EO⊥AB于点O,
∠COE=55°.则∠BOD的度数为().
A.40°B.45°C.30°D.35°
【练习】如图,直线AB和CD交于O点,OD平分∠BOF,OE⊥CD于点O,∠AOC=40︒,
则∠EOF=_______.
【例3】如图所示,要把水渠中的水引到水池C,在渠岸AB的什么地方开沟,才能使沟最短?
画出图来,并说明原因.
【练习】
(1)用三角尺或量角器画已知直线
的垂线,这样的垂线能画出几条?
(2)经过直线
上一点A画
的垂线,这样的垂线能画出几条?
(3)经过直线
外一点B画
的垂线,这样的垂线能画出几条?
二、出门检测
1.下列说法正确的是()
A.不相交的两条直线是平行线.
B.如果线段AB与线段CD不相交,那么直线AB与直线CD平行.
C.同一平面内,不相交的两条射线叫做平行线.
D.同一平面内,没有公共点的两条直线是平行线.
2.(湖南邵阳)如图所示,已知O是直线AB上一点,∠1=40°,OD平分∠BOC,则∠2的度数是()
A.20°B.25°C.30°D.70°
3.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形共有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
4.如图,AB⊥CD于点O,直线EF经过点O,若∠1=26°,则∠2的度数是()
A.26°B.64°C.54°D.以上答案都不对
5.如图,直线a,b相交,∠1=60°,则∠2=________,∠3=________,∠4=________.
6.如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O,CD⊥AB,若∠COE=30°,则∠AOE=_____,∠AOF=______.
7.如图所示,已知直线AB、CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC=100°,则∠BOD的度数是.
8.如图,三条直线AB、CD和EF相交于一点O,∠COE+∠DOF=50°,∠BOE=70°,求∠AOD和∠BOD.
9.如图,OA⊥OB,OC⊥OD,OE是OD的反向延长线.
(1)∠AOC等于∠BOD吗?
请说明理由;
(2)若∠BOD=32°,求∠AOE的度数.
三、课下作业
1.如图,直线AB、CD相交于点O,OE、OF是过O的射线,其中构成对顶角的对数()
A.1对B.2对C.3对D.4对
2.如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CD,则图中与∠EOF相等的角还有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.如图,
,能表示点到直线(或线段)的距离的线段有()
A.五条B.二条C.三条D.四条
4.如图,三条直线a,b,c交于一点,∠1,∠2,∠3的大小顺序是________.
5.如图,∠AOB=90°,则ABBO;若OA=3cm,OB=2cm,则A点到OB的距离是________cm,点B到OA的距离是________cm;O点到AB上各点连结的所有线段中________最短.
6.如图,工厂A要把处理过的废水引入排水沟PQ,从工厂A沿________方向铺设水管用料最省,这是因为________.
7.如图,已知A、O、B三点在一直线上,∠AOC=120°,OD、OE分别是∠AOC,
∠BOC的平分线.
(1)判断OD与OE的位置关系;
(2)当∠AOC大小发生变化时,OD、OE仍分别是∠AOC、∠BOC的平分线,则OD与OE的位置关系是否改变?
请说明理由.
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