勾股定理学案.docx
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勾股定理学案.docx
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勾股定理学案
探索勾股定理
(一)
学习目标:
1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程,进一步发展学生的合情推理意识,主动探究
的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、探索并理解直角三角形三边之间的数量关系,进一步发展说理和简单推理的意识及能力。
学习重点:
了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
学习难点:
勾股定理的发现。
学习过程:
一、复习巩固,引入新课
1.三角形的三边关系:
三角形的两边之和______第三边。
2.等腰三角形的边关系
3.直角三角形有什么特点
二、自主探究,学习新知
1.你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗?
结论1:
2.观察右面两幅图填表:
A的面积
(单位面积)
B的面积
(单位面积)
C的面积
(单位面积)
左图
右图
你是怎样得到正方形C的面积的?
与同伴交流.
结论2:
直角三角形两直角边为边的正方形面积和以斜边为边的正方形面积。
如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,用直角三角形的边长来表示上图中三个
正方形的面积
结论3:
直角三角形三边长度的平方之间存在的关系
三.例题精讲,扶正方向
如图所示,一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下,树顶落在离树根
24m处.大树在折断之前高多少?
四.课堂练习:
1、求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度。
2.直角三角形两边长为3和4,求第三边长的平方?
3.如图,小张为测量池塘A,B两点的距离,他在池塘边选定一点C,使∠ABC=90°,
并测得AC长26m,BC长24m,则A,B两点间的距离为 m.
4.如图,阴影部分是一个半圆,则阴影部分的面积为 .
5.底边长为16cm,底边上的高为6cm的等腰三角形的腰长为 cm.
五.课外作业:
6.一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行,另一艘轮船同时离开港口以12km/h
的速度向东南方向航行,它们离开港口半小时后相距多少km?
7.暑假中,小明和同学们到某海岛去探宝旅游,按照如图所示的路线探宝.他们登陆后先往
东走8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西走3km,再折向北走6km处往东一拐,仅走
1km就找到了宝藏,则登陆点到埋宝藏点的直线距离为 km.
六.拓展延伸:
8.一个长为10m为梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直高度为8m,梯子的顶端
下滑2m后,底端滑动多少m?
七.课后反思:
探索勾股定理
(二)
学习目标:
1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程,在数学活动发展学生的探究意识和
合作交流的习惯
2、掌握勾股定理和它的简单应用。
学习重点:
能熟练应用拼图法证明勾股定理.
学习难点:
用面积证勾股定理.
学习过程:
一、复习巩固,引入新课
1.勾股定理的内容是。
2.如上图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,
其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是 cm2.
二、自主探究,学习新知
拼图验证.准备的四个全等的直角三角形拼出正方形.
思考1:
你能由图1表示大正方形的面积吗?
能用两种方法吗?
能由此得到勾股定理吗?
图1
2:
你能由图2表示大正方形的面积吗?
能用两种方法吗?
能由此得到勾股定理吗?
图2
3、请利用图3验证勾股定理。
三.例题精讲,扶正方向
飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过了20秒,
飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每时飞行多少千米?
四.小组合作,讨论交流
观察书中图1—9,应用数格子方法判断图中的三角形的三边长是否满足
总结:
勾股定理存在于直角三角形中,不是直角三角形就不能使用勾股定理。
五.课堂练习:
1.若△ABC中,∠C=90°,
(1)若a=5,b=12,则c=;
(2)若a=6,c=10,
则b=;(3)若a∶b=3∶4,c=10,则a=,b=.
2.等腰三角形的腰长为13cm,底边长为10cm,则面积为().
A.30cm2B.130cm2C.120cm2D.60cm2
3.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏,它的高为2m,宽为1.5m,现需要在相对的顶点
间用一块木棒加固,木板的长为多少m?
4.一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:
4,求两直角边的长。
5.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发,他以6千米/时的速度向
东行走.1时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶00,甲、乙两人相距多远?
五.课外作业:
6.一棵9m高的树被风折断,树顶落在离树根3m处,要查看断痕,要从树底开始爬多高?
7.如图,校园内有两棵树,相距12米,一棵树高13米,另一棵树高8米,一只小鸟从一
棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞多少米.
六.拓展延伸:
8.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是()
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对
七.课后反思:
能得到直角三角形吗
学习目标:
1、掌握直角三角形的判别条件,并能进行简单应用;
2、会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形,并会辨析哪些问题应用哪个结论.
学习重点:
探索并掌握直角三角形的判别条件。
学习难点:
运用直角三角形判别条件解题
学习过程:
一、复习巩固,引入新课
1、直角三角形有哪些性质?
①;
②;
③.
2、思考:
反过来,一个三角形,满足什么条件就是直角三角形呢
二、自主探究,学习新知
做一做:
下面四组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:
5,12,13;7,24,25;8,15,17;5,6,7.
这四组数都满足a2+b2=c2吗?
从“做一做”中你能猜想到什么结论呢?
直角三角形判定定理:
如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个
三角形是直角三角形.满足的三个正整数,称为.
三.例题精讲,扶正方向
一个零件的形状如下图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量出
了这个零件各边尺寸,那么这个零件符合要求吗?
四.课堂练习:
1、下列几组数能否作为直角三角形的三边长?
说说你的理由.
⑴9,12,15;⑵15,36,39;⑶12,35,36;⑷12,18,22.
2、已知∆ABC中BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为______三角形,______是最大角
.
3、满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是()
A.b2=c2-a2B.a∶b∶c=3∶4∶5C.∠C=∠A-∠BD.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
4.一个三角形的三边长的平方分别为:
32,42,x2,此三角形是直角三角形的x2的值是()
A.42B.
52C.7D.52或7
5.如图,以Rt△ABC的三边为边向外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,
且S1=4,S2=8,求AB的长为。
6.如图,供电所李师傅要安装电线杆,按要求,电线杆要与地面垂直,因此,
从离地面6m的处向地面拉一条长6.5m的钢绳,现测得地面钢绳固定点A
到电线杆底部B的距离为2.5m,请问:
张师傅的安装方法是否符合要求?
请说明理由.
五.课外作业:
7.下列几组数能否作为直角三角形的三边长?
说说你的理由.
(1)5、12、13
(2)7、24、25(3)8、15、17(4)9、40、41
8.如图:
折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的F点处,若AB=8cm,
BC=10cm,
求EC长.
9..如图:
要修建一个育苗棚,棚高h=1.8m,棚宽a=2.4m,棚的长为12m,现要在棚顶上覆盖
塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜?
六.拓展延伸
10.若直角三角形两直角边的长为8和15,求斜边上的高。
七.课后反思:
蚂蚁怎样走最近
学习目标:
1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.
2、学会观察图形,勇于探索图形间的关系,培养空间观念.
学习重点:
探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理,并用它们解决生活实际问题.
学习难点:
利用勾股定理及逆定理,解决实际问题.
学习过程:
一、复习巩固,引入新课
1.下列各组线段中,能构成直角三角形的是( )
A.2,3,4 B.3,4,6 C.5,12,13 D.4,6,7
2.三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是()
A.a:
b:
c=8∶16∶17B.a2-b2=c2C.a2=(b+c)(b-c)D.a:
b:
c=13∶5∶12
3.直角三角形的斜边为20cm,两条直角边之比为3∶4,那么这个直角三角形的周长为()
A.27cmB.30cmC.40cmD.48cm
二、自主探究,学习新知
1.猜想:
如果将直角三角形的三条边扩大相同的倍数,得到的三角形还是直角三角形吗?
2.填写下表,并验证你所填的数是否满足“勾股数”?
2倍
3倍
4倍
5倍
3,4,5
6,8,10
5,12,13
15,36,39
8,15,17
32,60,68
7,24,25
70,240,250
记一记:
满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.勾股数
扩大相同倍数后,仍为勾股数.
3.小红要求△ABC最长边上的高,测得AB=8cm,AC=6cm,BC=10cm,她能算出最长边上的
高是多少吗?
结论:
直角三角形斜边上的高等于
三.例题精讲,扶正方向
例1.如图:
有一个圆柱,它的高为12厘米,底面半径为3厘米,在圆柱下底面的A点有一只
蚂蚁,它想吃到上底面相对的B点处的食物,沿圆柱侧面爬行最短路程是多少?
(∏取3)
B
A
四.课堂练习:
1、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是()
A.2,3,4B.10,8,4C.7,25,24D.7,15,12
2、已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是()
A.25B.14C.7D.7或25
3、以面积为9cm2的正方形对角线为边作正方形,其面积为()
A.9cm2B.13cm2C.18cm2D.24cm2
4、如图,直角△ABC的周长为24,且AB:
AC=5:
3,则BC=()
A.6B.8C.10D.12(第四题)
5.知识应用:
古代数学著作《九章算术》中记载了如下一个问题:
有一个水池,水面的边长
为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂
直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?
6.有一个小朋友拿着一根竹竿通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,
斜入就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺。
请求竹竿高与门高。
五.课外作业:
7.如图,一架云梯长25米,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,如果梯子的顶端下滑4米,
那么梯子的底部在水平方向上滑动了几米?
8.如图,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲到达点B200m,结果
他在水中实际游了520m,求该河流的宽度为多少?
六.拓展延伸
在直角三角形中,∠C=
,AC=3,将其绕B点顺时针旋转一周,则分别以BA,
BC为半径的圆形成一环,该圆环的面积为多少?
七.课后反思:
探索勾股定理练习一
一、选择题
1、等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为()
A。
56B。
48C。
40D。
21
2、如果Rt△的两直角边长分别为9,40,那么它的斜边长是()
A.41B。
43C。
44D.45
3、已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,
使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为()
A.6cm2B。
8cm2C。
10cm2D。
12cm2
4、已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距()
A。
25海里B。
30海里C。
35海里D。
40海里
二、填空题
5、在Rt△ABC中,∠C=90°,①若a=5,b=12,则c=__________;②若a=15,c=25,则b=_____;③若c=61,b=60,则a=______;④若a∶b=3∶4,c=10则SRt△ABC=________
6、已知x、y为正数,且│x2-4│+(y2-3)2=0,如果以x、y的长为直角边作一个
直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为___________。
7、在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。
另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高____________米。
三、解答题
8、小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池,已知其面积为48m2,其对角线长为10m,为建栅栏,要计算这个矩形鱼池的周长,你能帮助小明算一算吗?
9、如图,校园内有两棵树,相距12米,一棵树高13米,另一棵树高8米,一只小鸟从一
棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞多少米.
10、如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,
他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?
探索勾股定理练习二
1、等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为___.
2、一个三角形的三边之比为5∶12∶13,它的周长为60,则它的面积是___.
3.已知a,b,c为△ABC三边,且满足(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则它的形状为( )
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
4.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,爬行的最短路程
(
取3)是().
A、20cmB、10cmC、14cmD、无法确定
5.在Rt△ABC中,斜边AB=2,则AB2+BC2+AC2=_____.
6.Rt△一直角边的长为11,另两边为自然数,则Rt△的周长为( )
A、121B、120C、132D、不能确定
7.如图,阴影部分是一个正方形,此正方形的面积为
8.一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为。
9.在△ABC中,若∠C=90o,a:
b=3:
4,c=20,则a+b=.
10.有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线
AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?
11.如图,已知一等腰三角形的周长是16,底边上的高是4.求这个三角形各边的长.
12.如图,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底端C的
距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么梯足将向外移多少米?
13.一透明的圆柱状玻璃杯,底面半径为10cm,高为15cm,一根吸管斜放与杯中,吸管露出杯
口外5cm,则吸管长为多少cm?
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