勾股定理逆定理导学案.docx
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勾股定理逆定理导学案
单元程序导学案
编号课题勾股定理的逆定理
(一)主备教师徐斌学科组长
一.学习目标
1.互逆命题与互逆定理;
2.勾股定理的逆定理的证明;
3.勾股定理的逆定理的运用.
二.重难点:
勾股定理的逆定理的证明与运用
三.课时安排(预习+展示)2课时
四.预习笔记要求(根据学科特点提出要求,学科组长检查签字)
从课本入手,由浅入深,自己写出每一题的过程.
导学案
一、自学(自学课本P73-P75上,完成下列练习)
1、以下各组数为边长,能组成直角三角形的是().
A.5,6,7B.10,8,4C.7,25,24D.9,17,15
2、以下各组正数为边长,能组成直角三角形的是().
A.a-1,2a,a+1B.a-1,2
,a+1
C.a-1,
,a+1D.a-1,
a,a+1
3、什么是命题?
什么是逆命题?
4、根据下列命题写出其逆命题,并判断正误
原命题:
猫有四只脚.
逆命题:
原命题:
对顶角相等
逆命题:
原命题:
线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等.
逆命题:
原命题:
角平分线上的点,到这个角的两边距离相等.
逆命题:
5.△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,如果△ABC是直角三角形,它应该与直角边是
a,b的直角三角形全等.实际情况是这样的吗?
我们画一个直角三角形A′B′C′,使B′C′=a,A′C′=b,∠C′=90°(课本图18.2-2),再将画好的△A′B′C′剪下,放到△ABC上,请同学们观察,它们是否能够重合?
试一试!
6、以下列各组线段为边长,能构成三角形的是____________(填序号),能构成直角三角形的是____________.
①3,4,5②1,3,4③4,4,6④6,8,10⑤5,7,2⑥13,5,12⑦7,25,24
二、自展:
(典型例题解析)
例1:
一个零件的形状如下图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量出了这个零件各边尺寸,那么这个零件符合要求吗?
例2:
若△ABC的三边a,b,c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判定△ABC的形状.
例3:
已知:
在△ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm.求证:
AB=AC.
三、自评:
1、请完成以下未完成的勾股数:
(1)8、15、_______;
(2)10、26、_____.
2、△ABC中,a2+b2=25,a2-b2=7,又c=5,则最大边上的高是_______.
3、以下各组数为三边的三角形中,不是直角三角形的是().
A.
+1,
-1,2
B.7,24,25
C.4,7.5,8.5D.3.5,4.5,5.5
4、一个三角形的三边长分别为15,20,25,那么它的最长边上的高是().
A.12.5B.12C.
D.9
5、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,那么斜边扩大到原来的()
A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍
6、下列各命题的逆命题不成立的是()
A.两直线平行,同旁内角互补B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C.对顶角相等D.如果a=b,那么a2=b2
7、五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是()
8、已知:
如图,∠ABD=∠C=90°,AD=12,AC=BC,∠DAB=30°,求BC的长.
9、已知:
如图,AB=4,BD=12,CD=13,AC=3,AB⊥AC,求证:
BC⊥BD.
10、在四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°,求四边形ABCD的面积
11、如图所示的一块地,已知AD=4m,CD=3m,AD⊥DC,AB=13m,BC=12m,求这块地的面积.
12、一个零件的形状如左图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示,这个零件符合要求吗?
13、下图中的
(1)是用硬纸板做成的形状大小完全相同的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c;下图中
(2)是以c为直角边的等腰直角三角形,请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明出勾股定理的图形.
(1)画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形.
(2)用这个图形推出a2+b2=c2(勾股定理).
(3)假设图中的
(1)中的直角三角有若干个,你能运用图中的
(1)所给的直角三角形拼出另一种能推出a2+b2=c2的图形吗?
请画出拼后的示意图.(无需证明)
14、如图,E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点,且AB=4,CE=
BC,F为CD的中点,连接AF、AE,问△AEF是什么三角形?
请说明理由.
15、勾股数又称商高数,它有无数组,是有一定规律的.比如有一组求勾股数的式子:
a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(其中m,n为正整数,且m>n).你能验证它吗?
利用这组式子,完成下表,通过表格,你会发现勾股数有哪些规律?
请查阅有关资料,相信你将有更多收获.
1
2
3
4
5
6
…
2
3
4
5
6
…
…
…
…
…
…
…
…
单元程序导学案
编号课题勾股定理的逆定理
(二)主备教师徐斌学科组长
一.学习目标
1.勾股定理逆定理在方位角中的应用;
2.勾股定理逆定理在几何中的应用.
二.重难点:
勾股定理及逆定理在几何中的应用.
三.课时安排(预习+展示)2课时
四.预习笔记要求(根据学科特点提出要求,学科组长检查签字)
结合所学知识,自己认真写出每一题的过程.
导学案
一、自学(自学课本P75例2,完成下列练习)
1、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:
00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:
00,甲、乙二人相距多远?
还能保持联系吗?
2、小明向东走80m后,沿另一方向又走了60m,再沿第三个方向走100m回到原地.小明向东走80m后又向哪个方向走的?
3、一架25分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯足将滑动多少?
4、如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.
5、一个矩形的抽斗长为24cm,宽为7cm,在里面放一根铁条,那么铁条最长可以是.
6、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是
cm,则另一条直角边的长是()
A.4cmB.
cmC.6cmD.
cm
7、△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为( )
A.42B.32C.42或32D.37或33
8、在△ABC中,∠C=90°,
(1)已知a=2.4,b=3.2,则c=;
(2)已知c=17,b=15,则△ABC面积等于;(3)已知∠A=45°,c=18,则a=.
二、自展:
(典型例题解析)
例1:
问题:
A、B、C三地两两距离如下图所示,A地在B地的正东方向,C地在B地的什么方向?
例2:
如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?
例3:
有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声,它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起?
例4:
将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆从旗顶到地面的高度为320cm,在无风的天气里,彩旗自然下垂,如右图.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形(单位:
cm).
三、自评:
1、
如图,你能计算出各直角三角形中未知边的长吗?
2、一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为.
3、一个矩形的抽斗长为24cm,宽为7cm,在里面放一根铁条,那么铁条最长可以是.
4、在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12cm,S△ABC=30cm2,则AB= .
5、在△ABC中,
的对边分别为
,且
,则()
A.
为直角B.
为直角C.
为直角D.不能确定
6、放学后,小明先去同学小华家玩了一回,再回到家里。
已知学校C、小华家B、小明家A的两两距离如图所示,且小华家在学校的正东方向,则小明家在学校的()
A.正东方向B.正南方向C.正西方向D.正北方向
7、已知△ABC,在下列条件:
①∠A=∠B-∠C;②∠A:
∠B:
∠C=3:
4:
5;
③
;④
;⑤
(m、n为正整数,且m>n)中,使△ABC成为直角三角形的选法有()
A.2种B.3种C.4种D.5种
8、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:
小汽车在城街路上行驶速度不得超过
km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方
m处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为
m,这辆小汽车超速了吗?
9、如图,△ABC的三边BC=3,AC=4、AB=5,把△ABC沿最长边
AB翻折后得到△ABC′,则CC′的长等于()
A.
B.
C.
D.
10、给出一组式子:
32+42=52,82+62=102,152+82=172,242+102=262.
(1)你能发现上面式子的规律吗?
请你用发现的规律,给出第5个式子;
(2)请你证明你所发现的规律.
11、小红和小军周日去郊外放风筝,风筝飞得又高又远,他俩很想知道风筝离地面到底有多高,你能帮助他们吗?
12、如下图所示是一尊雕塑的底座的正面,李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB,但他随身只带了卷尺.
(1)你能替他想想办法完成任务吗?
(2)李叔叔量得AD的长是30厘米,AB的长是40厘米,BD的长是50厘米,AD边垂直于AB边吗?
(3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺,他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗?
BC边与AB边呢?
13、如图,长方形ABCD中,AD=8cm,CD=4cm.
⑴若点P是边AD上的一个动点,当P在什么位置时PA=PC?
⑵在⑴中,当点P在点P'时,有
,Q是AB边上的一个动点,若
时,
与
垂直吗?
为什么?
14、如图,南北向MN以西为我国领海,以东为公海.上午9时50分,我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海驶来,便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里,A、B两艇的距离是5海里;反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?
15、学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足
或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验!
(1)画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是
______mm;
_______mm;较长的一条边长
_______mm。
比较
(2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是
______mm;
_______mm;较长的一条边长
_______mm。
比较
(3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题,你猜想的结论是:
。
⑷对你猜想
与
的两个关系,任选其中一个结论利用勾股定理证明。
单元程序导学案
编号课题勾股定理的逆定理(三)主备教师徐斌学科组长
一.学习目标
勾股定理逆定理的综合应用
二.重难点:
勾股定理及逆定理所涉及的数学思想.
三.课时安排(预习+展示)2课时
四.预习笔记要求(根据学科特点提出要求,学科组长检查签字)
运用勾股定理及其逆定理的相关知识,认真完成下面每一题.
导学案
一、自学
1、下列说法正确的是( )
A.若a、b、c是△ABC的三边,则a2+b2=c2
B.若a、b、c是Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2
C.若a、b、c是Rt△ABC的三边,
,则a2+b2=c2
D.若a、b、c是Rt△ABC的三边,
,则a2+b2=c2
2、如图所示,在△ABC中,三边a,b,c的大小关系是()
A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c
3、直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为( )
A.121B.120C.90D.不能确定
4、如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为_______cm2.
5、在△ABC中,∠C=900,,BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发,以每分20cm的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点,需要分的时间.
6、有一个边长为1米的正方形洞口,想用一个圆盖盖住这个洞口,圆的直径至少
7、在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12cm,S△ABC=30cm2,则AB=________.
二、自展:
(典型例题解析)
例1:
(方程思想)有一个直角三角形,两直角边AC=5,BC=10,将这个三角形折叠,使B与A重合,折痕为DE,则CD长为多少?
例2:
(分类讨论思想)在△ABC中,AB=20,AC=15,BC边上的高为了12,求△ABC的面积.
例3:
(类比思想)分别以直角△ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你说明S1、S2、S3的关系。
若以直角△ABC三边向外作三个正方形,S1、S2、S3又是怎样的关系?
若以直角△ABC三边向外作三个等边三角形呢?
例4:
(转化思想)△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且DE⊥DF若BE=12,CF=5,求EF长。
三、自评:
1、等边△ABC的高为3cm,以AB为边的正方形面积为.
2、在△ABC中,∠C=90°,
(1)已知a=2.4,b=3.2,则c=;
(2)已知c=17,b=15,则△ABC面积等于;
(3)已知∠A=45°,c=18,则a=.
3、.如图,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲到达点B200m,结果他在水中实际游了520m,则该河流的宽度为_____m
4、欲登12米高的建筑物,为安全需要,需使梯子底端离建筑物5米,至少需多长的梯子?
5、.一根旗杆在离地面9m处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部12m处,旗杆折断之前有多高?
6、一个门框的尺寸如右图所示,一块长3m,宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?
为什么?
7、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点,一共爬了多少厘米?
(小方格的边长为1厘米)
8、如图,小李准备建一个蔬菜大棚,棚宽4m,高3m,长20m,棚的斜面用塑料薄膜遮盖,不计墙的厚度,请计算阳光透过的最大面积.
9、下面是数学课堂的一个学习片段,阅读后,请回答下面的问题:
学习勾股定理有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题:
“已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4,请你求出第三边.”
同学们经片刻的思考与交流后,李明同学举手说:
“第三边长是5”;王华同学说:
“第三边长是
.”还有一些同学也提出了不同的看法……
(1)假如你也在课堂上,你的意见如何?
为什么?
(2)通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?
(用一句话表示)
10.如图,在中,,,点为的中点,于点,求的长.
11、.一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?
12、一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点,那么沿哪条路爬最近?
你能帮它找出来吗?
(这个长方体的长为15厘米,宽为10厘米,高为20厘米,点B离点C5厘米)
13、如图所示,某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体,巳知物体A到平面镜的距离为6米,问B点到物体A的像A'的距离是多少?
14.如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒,规格为5×6×10(单位:
㎝),在上盖中开有一孔便于插吸管,吸管长为13㎝,小孔到图中边AB距离为1㎝,到上盖中与AB相邻的两边距离相等,设插入吸管后露在盒外面的管长为h㎝,则h的最小值大约为多少㎝?
(精确到个位,参考数据:
)
15、在平静的湖面上,有一棵水草,它高出水面3分米,一阵风吹来;水草被吹到一边,草尖齐至水面,已知水草移动的水平距离为6分米,问这里的水深是多少?
16、如图,折叠长方形的一边AD,点D落在BC上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的长.
17、台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力.如下图,据气象观测,距沿海城市A的正南方向260千米B处有一台风中心,沿BC的方向以15千米/时的速度向D移动,已知AD是城市A距台风中心的距离最短,且AD=100千米,求台风中心经过多长时间从B点移到D点?
18如图8,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长;
(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?
(3)根据
(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值.
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