西安科技大学数学建模作业.docx
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西安科技大学数学建模作业.docx
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西安科技大学数学建模作业
1..某班准备从5名游泳队员中选4人组成接力队,参加学校的4×100m混合泳接力比赛,5名队员4种泳姿的百米平均成绩如下表所示,问应如何选拔队员组成接力队?
如果最近队员丁的蛙泳成绩有较大的退步,只有1′15"2;而队员戊经过艰苦训练自由泳成绩有所进步,达到57"5,组成接力队的方案是否应该调整?
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳
1′06"8
57"2
1′18"
1′10"
1′07"4
仰泳
1′15"6
1′06"
1′07"8
1′14"2
1′11"
蛙泳
1′27"
1′06"4
1′24"6
1′09"6
1′23"8
自由泳
58"6
53"
59"4
57"2
1′02"4
5名队员4种泳姿的百米平均成绩
解:
主要函数:
min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24+78*x31+67.8*x32+84.6*x33+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+69.6*x43+57.2*x44+67.4*x51+71*x52+83.8*x53+62.4*x54;
约束条件:
x11+x12+x13+x14<=1;
x21+x22+x23+x24<=1;
x31+x32+x33+x34<=1;
x41+x42+x43+x44<=1;
x11+x21+x31+x41+x51=1;
x12+x22+x32+x42+x52=1;
x13+x23+x33+x43+x53=1;
x14+x24+x34+x44+x54=1;
lingo模型程序和运行结果:
最优解为x14=1,x21=1,x32=1,x43=1,其余变量为0成绩为253.2(秒)=4′13"2
即:
甲—自由泳、乙—蝶泳、丙—仰泳、丁—蛙泳
2.某工厂用A1,A2两台机床加工B1,B2,B3三种不同零件,已知在一个生产周期内A1只能工作80机时,A2只能工作100机时。
一个生产周期内加工B1为70件,B2为50件,B3为20件。
两台机床加工每个零件的时间和加工每个零件的成本,分别如下所示
加工每个零件时间表(单位:
机时/个)
机床零件
B1
B2
B3
A1
1
2
3
A2
1
1
3
加工每个零件成本表(单位:
元/个)
机床零件
B1
B2
B3
A1
2
3
5
A2
3
3
6
问怎样安排两台车床一个周期的加工任务,才能使加工成本最低?
解:
设在A1机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为x11、x21、x31,在A2机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为x12、x22、x32,可建立以下线性规划模型:
主要函数:
min=2*x11+3*x21+5*x31+3*x12+3*x22+6*x32;
约束条件:
1*x11+2*x21+3*x31<=80;
1*x12+1*x22+3*x32<=100;
1*x11+1*x12=70;
1*x21+1*x22=50;
1*x31+1*x32=20;
lingo模型程序和运行结果:
最优解为x11=68,x21=0,x31=4,x12=2,x22=50,x32=16;最低成本价为408元。
即:
在A1机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为68、0、4,在A2机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为2、50、16。
3.某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资,可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示按照规定,市政证券的收益可以免税,其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制:
(1)政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元;
(2)所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小,信用程度越高);
(3)所购证券的平均到期年限不超过5年。
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益(%)
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
(1)若该经理有1000万元资金,应如何投资?
(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金,该经理应如何操作?
(3)在1000万元资金情况下,若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变?
若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应否改变?
解:
(1)设投资证劵A、证劵B、证劵C、证劵D、证劵E的金额分别为:
X1、X2、
X3、X4、X5(万元)
主要函数:
max=0.043*x1+0.054*x2*0.5+0.050*x3*0.5+0.044*x4*0.5+0.045*x5;
约束条件:
x2+x3+x4>=400;
6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;
4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;
x1+x2+x3+x4+x5=1000;
lingo模型程序和运行结果:
因此,最优解为X1=218.2,X3=73.64,X5=45.4最优解方案不投资证劵B和证劵D,投资证劵A为218.2万元,投资证劵C为736.4万元,投资证劵E为45.4万元;总收益为29.8万元。
(2)
主要函数:
max=0.043*x1+0.054*x2*0.5+0.050*x3*0.5+0.044*x4*0.5+0.045*x5;
约束条件:
x2+x3+x4>=400;
6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;
4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;
x1+x2+x3+x4+x5=1100;
lingo模型程序和运行结果:
X1=240,X3=810,X5=50
即应投资证劵A240万元,证劵C810万元,证劵E50万元。
此时收益总额为32.8万元,再减去所要支付的利息2.75万元,还剩30.05万元。
所以选择改变投资。
(3)若证券A的税前收益增加为4.5%:
30.27>29.83,投资改变。
若证券C的税前收益减少为4.8%:
30.09>29.83,投资改变。
4.某医院负责人每日至少需要下表数量的护士。
班次
时间
最少护士
1
6时—10时
60
2
10时—14时
70
3
14时—18时
60
4
18时—22时
50
5
22时—02时
20
6
02时—06时
30
每班的护士在值班开始时向病房报到,连续工作8小时,医院领导为满足每班所需要的护士数,最少需要用多少护士?
解:
设刚加入工作时的人数分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6;
主要函数:
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;
约束条件:
x1+x6>=60;
x2+x1>=70;
x3+x2>=60;
x4+x3>=50;
x5+x4>=20;
x6+x5>=30;
lingo模型程序和运行结果:
最优解为:
x1=40、x2=30、x3=30、x4=20、x5=0、x6=30,最少需要护士150人。
5.某海岛上有12个主要的居民点,每个居民点的位置(用平面坐标x,y表示,距离单位:
km)和居住的人数R如表下表所示,现在准备在岛上建一个服务中心为居民提供各种服务,那么服务中心应该建在何处?
解:
设该服务点坐标为(x,y)
主要函数:
min=@sum(VOR:
z*@sqrt(@sqr(xx-x)+@sqr(yy-y)));
条件:
VOR/1..12/:
x,y,z;
x,y,z=
00600
8.20.51000
0.54.9800
5.751400
0.776.491200
2.878.76700
4.433.26600
2.589.32800
0.729.961000
9.763.161200
3.197.21000
5.557.881100;
坐标为(3.6,6.5)距离坐标点11最近。
应该建在11点。
6.某厂向用户提供发动机,合同规定,第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台。
每季度的生产费用为
(元),其中x是该季生产的发动机台数,若交货后有剩余,可用于下季度交货,但需支付存储费,每台每季度c元。
已知工厂每季度最大生产能力为100台,第一季度开始无存货,设a=50,b=0.2,c=4,问工厂应如何安排生产计划,才能既满足合同有使总费用最低?
讨论a、b、c、变化对计划的影响,并作出合理的解释。
解:
设工厂第一季度生产x1台发动机,第二季度生产x2台发动机,第三季度生产x3台发动机。
主要函数:
min=50*x1+0.2*x1*x1+4*(x1-40)+50*x2+0.2*x2*x2+4*(x1-40+x2-60)+50*x3+0.2*x3*x3;
约束条件:
x1<=100;
x2<=100;
x3<=100;
x1>=40;
x1+x2>=100;
x1+x2+x3=180;
lingo模型程序和运行结果:
最优解为:
x1=50,x2=60,x3=70;
工厂第一季度生产50台发动机,第二季度生产60台发动机,第三季度生
产70台发动机。
可使总费用最低,总费用为11280.00元。
7.广告费用与效应。
某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆。
一般来说,随着彩漆售价的提高,预期销售量将减少,并对此进行了估算,见下表。
彩漆与预期销售量
售价(元)
预期销售量(桶)
售价(元)
预期销售量(桶)
2.00
41000
2.50
38000
3.00
34000
3.50
32000
4.00
29000
4.50
28000
5.00
25000
5.50
22000
6.00
20000
为了尽快收回资金并获得较多的盈利,装饰材料公司打算做广告。
投入一定的广告费用后,销售量将有一个增长,可由销售增长因子来表示。
例如,投入40000元的广告费,销售增长因子为1.95,即销售将是预期量的1.95倍。
根据经验,广告费与销售增长因子的关系见下表。
广告与销售增长因子
广告费(元)
销售增长因子
广告费(元)
销售增长因子
0
1.00
10000
1.40
20000
1.70
30000
1.85
40000
1.95
50000
2.00
60000
1.95
70000
1.80
现在的问题是装饰材料公司采取怎样的营销策略(每桶彩漆的售价和投入的广告费用)使得预期的利润最大?
解:
设售货单价为x(元),预期销售量为y(桶),广告费为z(元),销售增长因子为k。
投入广告后实际销售量为s(桶),获得的利润为P(元)。
预期销售量y随售价x的增加而减小,可近似用线性关系表示
y=a0+a1x
(1)
其中,a0和a1是待定常数。
销售增长因子k随广告费用z先增后减,可用二次方程表示
k=b0+b1z+b2z2
(2)
其中,b0,b1和b2也是待定常数。
待定常数可根据表中数据拟合。
投入广告费之后,实际销售量为
s=ky(3)
利润是收入减支出,收入是售货单价x乘以销售量s;支出包括成本和广告费,成本是进货单价2乘以销售量s。
因此利润为
P=sx–2s-z=ky(x–2)-z=(b0+b1z+b2z2)(a0+a1x)(x–2)-z(4)
这是二元函数,求最大利润就是二元函数的最大值。
令
,
即
km[a1(xm–2)+(a0+a1xm)]=0(5)
(b1+2b2zm)(a0+a1xm)(xm–2)–1=0(6)
由(5)得最大利润的单价
(7)
由(6)得最大利润的广告费
(8)
最大利润的销售增长因子为
km=b0+b1zm+b2zm2(9)
最大利润的预期销售量为
ym=a0+a1xm(10)
投入广告费之后,最大利润的实际销售量为
sm=kmym(11)
最大利润为
Pm=kmym(xm–2)-zm(12)
[算法]先计算拟合常数,画出拟合曲线。
再形成利润的矩阵,求出最大利润和下标,从而计算最大利润的售价和广告费。
画出利润曲面,标记最大值。
[程序]zqy2_3advertisement.m如下。
%广告效应
clear%清除变量
x=2:
0.5:
6;%售价
y=[41,38,34,32,29,28,25,22,20]*1000;%预期销售量经验数据
z=(0:
7)*1e4;%广告费
k=[1,1.4,1.7,1.85,1.95,2,1.95,1.8];%销售增长因子经验数据
figure%创建图形窗口
subplot(2,1,1)%子图
plot(x,y,'rx')%画预期销售量曲线
gridon%加网格
fs=12;%字体大小
title('预期销售量和售价的拟合线','FontSize',fs)%标题
xlabel('售价(元)','FontSize',fs)%横坐标
ylabel('预期销售量(桶)','FontSize',fs)%纵坐标
a=polyfit(x,y,1)%求系数
xx=2:
0.01:
6;%售价
yy=polyval(a,xx);%求拟合值
holdon%保持图像
plot(xx,yy)%画拟合线
legend('经验值','拟合线')%图例
subplot(2,1,2)%子图
plot(z,k,'rx')%画广告费和销售增长因子曲线
gridon%加网格
title('销售增长因子和广告费的拟合曲线','FontSize',fs)%标题
xlabel('广告费(元)','FontSize',fs)%横坐标
ylabel('销售增长因子','FontSize',fs)%纵坐标
b=polyfit(z,k,2)%求系数
zz=(0:
0.01:
7)*1e4;%广告费
kk=polyval(b,zz);%求拟合值
holdon%保持图像
plot(zz,kk)%画拟合线
legend('经验值','拟合线',2)%图例
[X,Z]=meshgrid(xx,zz);%矩阵
K=polyval(b,Z);%销售增长因子矩阵
Y=polyval(a,X);%预期销售量矩阵
P=K.*Y.*(X-2)-Z;%利润
[mi,i]=max(P);%在单价一定的情况下求最大值向量和下标向量
[m,j]=max(mi)%求最大利润和下标
xm=xx(j)%最大利润的单价
zm=zz(i(j))%最大利润的广告费
km=polyval(b,zm)%求最大利润拟合销售增长因子
stem(zm,km,'--')%画杆图
text(zm,km,[num2str(zm),',',num2str(km)],'FontSize',fs)%标记结果
subplot(2,1,1)%子图
ym=polyval(a,xm)%求最大利润拟合预期销售量
stem(xm,ym,'--')%画杆图
text(xm,ym,[num2str(xm),',',num2str(ym)],'FontSize',fs)%标记结果
sm=km*ym;%最大利润的实际销售量
text(2,2e4,['最大利润的实际销售量:
',num2str(sm)],'FontSize',fs)%标记结果
figure%创建图形窗口
surf(xx,zz,P)%画利润曲面
shadinginterp%染色
boxon%加框
title('利润与售价和广告费曲面','FontSize',fs)%标题
xlabel('售价(元)','FontSize',fs)%横坐标
ylabel('广告费(元)','FontSize',fs)%纵坐标
zlabel('利润(元)','FontSize',fs)%高坐标
text(xm,zm,m,[num2str(xm),',',num2str(zm),',',num2str(m)],'FontSize',fs)%标记结果
formatlong%数值的长显示格式
xm=1-a
(2)/2/a
(1)%最大利润的精确的单价(拟合系数按降幂排列)
zm=(1./polyval(a,xm)./(xm-2)-b
(2))/2/b
(1)%最大利润的精确的广告费
km=polyval(b,zm)%求最大利润拟合销售增长因子
ym=polyval(a,xm)%预期销售量矩阵
sm=km*ym%最大利润的实际销售量
Pm=km.*ym.*(xm-2)-zm%最大利润
formatshort%数值的短显示格式
命令窗口输出的结果为
a=
1.0e+004*
-0.51335.0422
b=
-0.00000.00001.0188
xm=
5.911255411255412
zm=
3.311658444142216e+004
km=
1.9072
ym=
2.7779e+004
sm=
3.829261076774162e+004
Pm=
1.166555966350045e+005
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