1、西安科技大学数学建模作业1.某班准备从5名游泳队员中选4人组成接力队，参加学校的4100m混合泳接力比赛，5名队员4种泳姿的百米平均成绩如下表所示，问应如何选拔队员组成接力队？如果最近队员丁的蛙泳成绩有较大的退步，只有1152；而队员戊经过艰苦训练自由泳成绩有所进步，达到575，组成接力队的方案是否应该调整？甲乙丙丁戊蝶泳10685721181101074仰泳115610610781142111蛙泳1271064124610961238自由泳5865359457210245名队员4种泳姿的百米平均成绩解：主要函数：min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+57
2、.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24+78*x31+67.8*x32+84.6*x33+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+69.6*x43+57.2*x44+67.4*x51+71*x52+83.8*x53+62.4*x54;约束条件：x11+x12+x13+x14=1;x21+x22+x23+x24=1;x31+x32+x33+x34=1;x41+x42+x43+x44=1;x11+x21+x31+x41+x51=1;x12+x22+x32+x42+x52=1;x13+x23+x33+x43+x53=1;x14+x24+x34+x44+x54=1;lin
3、go模型程序和运行结果 ：最优解为x14=1,x21=1,x32=1,x43=1,其余变量为0 成绩为253.2(秒)=4132 即：甲自由泳、乙蝶泳、丙仰泳、丁蛙泳2.某工厂用A1，A2两台机床加工B1，B2，B3三种不同零件，已知在一个生产周期内A1只能工作80机时，A2只能工作100机时。一个生产周期内加工B1为70件，B2为50件，B3为20件。两台机床加工每个零件的时间和加工每个零件的成本，分别如下所示加工每个零件时间表（单位:机时/个）机床 零件B1B2B3A1123A2113加工每个零件成本表(单位：元/个)机床 零件B1B2B3A1235A2336问怎样安排两台车床一个周期的加
4、工任务，才能使加工成本最低？解：设在A1机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为x11、x21、x31，在A2机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为x12、x22、x32,可建立以下线性规划模型： 主要函数：min=2*x11+3*x21+5*x31+3*x12+3*x22+6*x32;约束条件：1*x11+2*x21+3*x31=80;1*x12+1*x22+3*x32=400;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5=400;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*
5、x529.83，投资改变。若证券C的税前收益减少为4.8%：30.0929.83，投资改变。4.某医院负责人每日至少需要下表数量的护士。班次时间最少护士16时10时60210时14时70314时18时60418时22时50522时02时20602时06时30每班的护士在值班开始时向病房报到，连续工作8小时，医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需要用多少护士？解：设刚加入工作时的人数分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6；主要函数：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;约束条件：x1+x6=60;x2+x1=70;x3+x2=60;x4+x3=50;x5+x4=20;x6+x5=30;
6、lingo模型程序和运行结果 ：最优解为：x1=40、x2=30、x3=30、x4=20、x5=0、x6=30，最少需要护士150人。5某海岛上有12个主要的居民点，每个居民点的位置（用平面坐标x,y表示，距离单位：km）和居住的人数R如表下表所示，现在准备在岛上建一个服务中心为居民提供各种服务，那么服务中心应该建在何处？解：设该服务点坐标为（x,y）主要函数：min = sum( VOR :z*sqrt(sqr(xx-x)+sqr(yy-y);条件：VOR/1.12/: x, y, z;x, y, z=0 0 6008.2 0.5 10000.5 4.9 8005.7 5 14000.77
7、6.49 12002.87 8.76 7004.43 3.26 6002.58 9.32 8000.72 9.96 10009.76 3.16 12003.19 7.2 10005.55 7.88 1100;坐标为（3.6 , 6.5） 距离坐标点11最近。应该建在11点。6.某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台。每季度的生产费用为(元)，其中x是该季生产的发动机台数，若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元。已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始无存货，设a=50，b=0.2，c=4，问工厂应如何安排生产计划，才
8、能既满足合同有使总费用最低？讨论a、b、c、变化对计划的影响，并作出合理的解释。解：设工厂第一季度生产x1台发动机，第二季度生产x2台发动机，第三季度生产x3台发动机。主要函数：min=50*x1+0.2*x1*x1+4*(x1-40)+50*x2+0.2*x2*x2+4*(x1-40+x2-60)+50*x3+0.2*x3*x3; 约束条件：x1=100;x2=100;x3=40;x1+x2=100;x1+x2+x3=180;lingo模型程序和运行结果：最优解为：x1=50,x2=60,x3=70; 工厂第一季度生产50台发动机，第二季度生产60台发动机，第三季度生产70台发动机。可使总费
9、用最低，总费用为11280.00元。7.广告费用与效应。某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆。一般来说，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见下表。彩漆与预期销售量售价（元）预期销售量（桶）售价（元）预期销售量（桶）2.00410002.50380003.00340003.50320004.00290004.50280005.00250005.50220006.0020000为了尽快收回资金并获得较多的盈利，装饰材料公司打算做广告。投入一定的广告费用后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。例如，投入40000元的广告费，销售增长因子为1.95，即销售将是预期
10、量的1.95倍。根据经验，广告费与销售增长因子的关系见下表。广告与销售增长因子广告费（元）销售增长因子广告费（元）销售增长因子01.00100001.40200001.70300001.85400001.95500002.00600001.95700001.80现在的问题是装饰材料公司采取怎样的营销策略（每桶彩漆的售价和投入的广告费用）使得预期的利润最大？解：设售货单价为x(元)，预期销售量为y(桶)，广告费为z(元)，销售增长因子为k。投入广告后实际销售量为s(桶)，获得的利润为P(元)。预期销售量y随售价x的增加而减小，可近似用线性关系表示y = a0 + a1x (1)其中，a0和a1是
11、待定常数。销售增长因子k随广告费用z先增后减，可用二次方程表示k = b0 + b1z + b2z2 (2)其中，b0，b1和b2也是待定常数。待定常数可根据表中数据拟合。 投入广告费之后，实际销售量为s = ky (3)利润是收入减支出，收入是售货单价x乘以销售量s；支出包括成本和广告费，成本是进货单价2乘以销售量s。因此利润为P = sx 2s - z = ky(x 2) - z = (b0 + b1z + b2z2)(a0 + a1x)(x 2) - z (4)这是二元函数，求最大利润就是二元函数的最大值。令，即kma1(xm 2) + (a0 + a1xm) = 0 (5) (b1 +
12、 2b2zm)(a0 + a1xm)(xm 2) 1 = 0 (6)由(5)得最大利润的单价 (7)由(6)得最大利润的广告费 (8)最大利润的销售增长因子为km = b0 + b1zm + b2zm2 (9)最大利润的预期销售量为ym = a0 + a1xm (10)投入广告费之后，最大利润的实际销售量为sm = kmym (11)最大利润为Pm = kmym(xm 2) - zm (12)算法先计算拟合常数，画出拟合曲线。再形成利润的矩阵，求出最大利润和下标，从而计算最大利润的售价和广告费。画出利润曲面，标记最大值。程序zqy2_3advertisement.m如下。%广告效应clear
13、%清除变量x=2:0.5:6; %售价y=41,38,34,32,29,28,25,22,20*1000; %预期销售量经验数据z=(0:7)*1e4; %广告费k=1,1.4,1.7,1.85,1.95,2,1.95,1.8; %销售增长因子经验数据figure %创建图形窗口subplot(2,1,1) %子图plot(x,y,rx) %画预期销售量曲线grid on %加网格fs=12; %字体大小title(预期销售量和售价的拟合线,FontSize,fs)%标题xlabel(售价(元),FontSize,fs) %横坐标ylabel(预期销售量(桶),FontSize,fs) %纵坐
14、标a=polyfit(x,y,1) %求系数xx=2:0.01:6; %售价yy=polyval(a,xx); %求拟合值hold on %保持图像plot(xx,yy) %画拟合线legend(经验值,拟合线) %图例 subplot(2,1,2) %子图plot(z,k,rx) %画广告费和销售增长因子曲线grid on %加网格title(销售增长因子和广告费的拟合曲线,FontSize,fs)%标题xlabel(广告费(元),FontSize,fs) %横坐标ylabel(销售增长因子,FontSize,fs) %纵坐标b=polyfit(z,k,2) %求系数zz=(0:0.01:7
15、)*1e4; %广告费kk=polyval(b,zz); %求拟合值hold on %保持图像plot(zz,kk) %画拟合线legend(经验值,拟合线,2) %图例 X,Z=meshgrid(xx,zz); %矩阵K=polyval(b,Z); %销售增长因子矩阵Y=polyval(a,X); %预期销售量矩阵P=K.*Y.*(X-2)-Z; %利润mi,i=max(P); %在单价一定的情况下求最大值向量和下标向量m,j=max(mi) %求最大利润和下标xm=xx(j) %最大利润的单价zm=zz(i(j) %最大利润的广告费km=polyval(b,zm) %求最大利润拟合销售增长
16、因子stem(zm,km,-) %画杆图text(zm,km,num2str(zm),num2str(km),FontSize,fs)%标记结果subplot(2,1,1) %子图ym=polyval(a,xm) %求最大利润拟合预期销售量stem(xm,ym,-) %画杆图text(xm,ym,num2str(xm),num2str(ym),FontSize,fs)%标记结果sm=km*ym; %最大利润的实际销售量text(2,2e4,最大利润的实际销售量:,num2str(sm),FontSize,fs)%标记结果 figure %创建图形窗口surf(xx,zz,P) %画利润曲面sh
17、ading interp %染色box on %加框title(利润与售价和广告费曲面,FontSize,fs)%标题xlabel(售价(元),FontSize,fs) %横坐标ylabel(广告费(元),FontSize,fs) %纵坐标zlabel(利润(元),FontSize,fs) %高坐标text(xm,zm,m,num2str(xm),num2str(zm),num2str(m),FontSize,fs)%标记结果format long %数值的长显示格式xm=1-a(2)/2/a(1) %最大利润的精确的单价(拟合系数按降幂排列)zm=(1./polyval(a,xm)./(xm
18、-2)-b(2)/2/b(1)%最大利润的精确的广告费km=polyval(b,zm) %求最大利润拟合销售增长因子ym=polyval(a,xm) %预期销售量矩阵sm=km*ym %最大利润的实际销售量Pm=km.*ym.*(xm-2)-zm %最大利润format short %数值的短显示格式命令窗口输出的结果为a = 1.0e+004 * -0.5133 5.0422b = -0.0000 0.0000 1.0188xm = 5.911255411255412zm = 3.311658444142216e+004km = 1.9072ym = 2.7779e+004sm = 3.829261076774162e+004Pm = 1.166555966350045e+005
