湖北高考理科数学.docx
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湖北高考理科数学
2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(理工农医类)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分、在每小题给出的四个选项中,只有
一项是满足题目要求的。
A•4B•3C•2D•1
3•在ABC中,
a=15,b=10,A=60°
,贝ycosB=
2.2
A--
2.2
B-
c」
D至
3
3
3
3
A,“骰子向上的点
4•投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件
数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是
5173
ABCD-
122124
立,贝Um=
A•2B•3C•4D•5
6•将参加夏令营的600名学生编号为:
001,002,……600,采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003•这600名学生分住在三个营区,从001到300
A•26,16,8
C•25,16,9
数一次为
B•25,17,8
D•24,17,9
此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设sn为前n个圆的面积之和,贝ylimsn=
■-
8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是
A.152B.126C.90D.54
9.
B.
若直线y=x+b与曲线y=3-4x-X2有公共点,则b的取值范围是
1-2.2,122
D.1-2,3
10.记实数x1,X,,……Xn中的最大数为max'XjX?
……xn?
,最小数为minlx^x?
……xn?
。
已知ABC的三边长位a,b,c(a空b乞c),定义它的亲倾斜度为
fabc丨fabc
l二maxa,b,c.mina,b,c,则“1=1”是“厶ABC为等边三角形”的
bcabca
A.必要而不充分的条件
B.充分而不必要的条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分。
请将答案填在答题卡对应题号的位
置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写。
填错位置,书写不清,模凌两可均不得分。
11、在(x+^3y)20的展开式中,系数为有理数的项共有项。
讨匚x,
12.已知z=2x-y,式中变量x,y满足约束条件x•y_1,,则z的最大值
x乞2,
为.
13•圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与
圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径
是cm。
14•某射手射击所得环数的分布列如下:
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知'的期望E'=8.9,则y的值为.
2ab
15.设a>0,b>0,称为a,b的调和平均数。
如图,C为线段AB上
a+b
的点,且AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径做半圆。
过点
C作AB的垂线交半圆于D。
连结OD,AD,BD。
过点C作OD的垂线,垂足为E。
则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,线段的长度是a,b的几何平均数,线段的长度是a,b的调和平均数。
三、解答题:
本大题共6小题,共75分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
二二11
已知函数f(x)=cos(x)cos(x),g(x)sin2x--
3324
(I)求函数f(x)的最小正周期;
(n)求函数h(x)=f(x)—g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合。
17.(本小题满分12分)
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。
某幢
建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。
该建筑物每年
的能源消耗费用C(单位:
万元)与隔热层厚度x(单位:
cm)满足关系:
C(x)
k
=k(0乞x叨0),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元。
设f(x)为隔热层建造
3x5
费用与20年的能源消耗费用之和。
(I)求k的值及f(x)的表达式。
(n)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值。
18.(本小题满分12分)
如图,在四面体ABOC中,OC_OA,OC_OB,AOB=120。
,且OA=OB=OC=1
AB
(I)设为P为AC的中点,证明:
在AB上存在一点Q,使PQ_OA,并计算少的
AQ
值;
(n)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。
19(本小题满分12分)
已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(I)求曲线C的方程;
(H)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都
20.(本小题满分13分)
已知数列laj满足:
引=1,31+an+1)=2(1坦),可亦<0(nZ1)数列{bj满足:
21-K1-an+1
bn=a:
1-a:
(nJ).
()求数列fan?
/bn/的通项公式;
(二)证明:
数列fbj中的任意三项不可能成等差数列.
21.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=ax+-c(a>0)的图象在点(1,f
(1))处的切线方程为y=x-1.
x
()用a表示出b,c;
)若f(x)Inx在[1,+二)上恒成立,求a的取值范围;
111n
(川)证明:
1+—+—+…+—>1n(n+1)+(n>1)
23n2(n+1)
2010年高考试题——数学理
(湖北卷)答案与解析
1.【答案】D
【解析】观察图形可知z=3+i,则z=3^=2」,即对应点H(2,-1),故D正确.1+i1+i
2.[答案】A
22
[解析】画出椭圆xy1和指数函数y=3x图象,可知其有两个不同交点,记为
416
A1、A2,贝VA「B的子集应为.一A?
共四种,故选A.
3.[答案】D
[解析】根据正弦定理——可得二5型解得sinB3,又因为b:
a,则
sinAsinBsin60‘sinB3
B:
:
:
A,故B为锐角,所以cosB=.1—sin2B弓,故D正确.
3
4•[答案】C
[解析】用间接法考虑,事件A、B一个都不发生的概率为
1C45
P(AB)=P(A)LP(B)「1-
2C612
7
则所求概率=1-P(AB),故C正确。
12
5.[答案】
B
[解析】
由题目条件可知,
M为ABC的重心,连接AM并延长交BC于D,则
2H
AMAD
3
①,
因为AD为中线A
彳TT—1
BAC二2AD二mAM,
—1
—1
即2AD=mAM
②,联立①②可得
m=3,故B正确。
6.[答案】B
[解析】依题意可知,在随机抽样中,首次抽到003号,以后每隔12个号抽到一个人,
则分别是003、015、027、039……构成以3为首项,12为公差的等差数列,
故可分别求出在001到300中有25人,在301至495号中共有17人,则496到600中有8人,所以B正确。
7.【答案】C
【解析】依题意分析可知,图形中内切圆半径分别为:
b昨匚b弐h
r,cos30r;(*cos30)rcos30,(cos即0
则面积依次为:
二r2,3二r2,"9二r2,27二r2,
41664
故C正确.
&【答案】B
【解析】分类讨论:
若有2人从事司机工作,则方案有C|Y=18;若有1人从事司机
工作,则方案有C;2»启=108种,所以共有18+108=126种,故B正确
9.【答案】C
【解析】曲线方程可化简为(x-2)2•(y-3)2=4(1_y_3),即表示圆心为(2,3)半径为
2的半圆,依据数形结合,当直线b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)
到直线y=x+b距离等于2,解得b=122或b=1-2.2,因为是下半圆故可得
b=122(舍),当直线过(0,3)时,解得b=3,故1-2.2岂b岂3,所以C正确•
10.【答案】A
【解析】若厶ABC为等边三角形时,即a=b=c,则na,-a1nt己abE-—则|=1;
LbcaJbCaJ
若厶ABC为等腰三角形,如a=2,b=2,c=3时,
则maxa,b,C=—,mina,b,—=-,此时1=1仍成立但厶ABC不为等边三角
bca丿2Qca”3
形,所以A正确.
11.【答案】6
【解析】二项式展开式的通项公式为Tr1二C2°x20」(43y)r二c2o(43)rx2°」yr(O汀乞20)要
使系数为有理数,则r必为4的倍数,所以r可为0.、4、8、12、16、20共6种,故系数为有理数的项共有6项.
12.【答案】5
【解析】依题意,画出可行域(如图示)则对于目标函数y=2x-z,当直线经过A(2,—1)时,
Z取至U最大值,Zmax=5.
13.【答案】4
【解析】设球半径为r,则由3V球-V水二V柱可得34二r3•二r28=二「26r,解得r=4.3
14.【答案】0.4
【解析】由表格可知:
x0.10.3^9,7x80.190.310y=8.9
联合解得y=0.4.
15.【答案】CDDE
【解析】在Rt△ADB中DC为高,则由射影定理可得CD2=ACCB,故CD=10b,即
以ED=OD-OE=,故DE的长度为a,b的调和平均数
a+b
16.本小题主要考察三角函数的基本公式、周期和最值等基础知识,同事考察基本运算能
力。
(满分12分)
1,31.3
解:
(I)f(x)=cos(x)cos(x)=(cosxsinx)(cosxsinx)
332222
12321cos2x3-3cos2x11
=cosx—sinxcos2x-
448824
2TT
f(x)的最小正周期为—=7:
2
1
1J2
h(x)=f(x)-g(x)cos2xsin2x=
222
当2x・x=2k「:
(k・Z)时,h(x)取得最大值—.
42
[IT]
h(x)取得最大值时,对应的x的集合为(xx=k^——,k^Z卜
.8“
17•本题主要考察函数、导数等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。
(满分12分)
而建造费用为G(x)=6x
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
40800
f(x)=20C(x)G(x)=206x6x(0^x^10)
3x+53x+5
2400
f'(x)=6,令f'(x)=0,
(3x+5)
5
解得x=5,x(舍去).
3
f(x)
当0YxY5时,f'(x)V0,当5YxY10时,f'(x)>0,故x=
的最小值点,对应的最小值为心=65・器=70。
当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值为70万元。
事考察空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力•(满分12分)
解法一:
(I)在平面OAB内作ON_0A交AB于N,连接NC。
又0A_0C,0A_平面ONC
N8平面0NC
.0AN°C
取Q为AN的中点,贝UPQ[JNC°
.PQ_0A
在等腰LA0B中,.A0B=120〃,
.0AB»0BA=30〃
在RtLAON中,0AN=30;,0N二一AN二AQ
2
在L0NB中,■N0B=120-90=3^NB0,
二NB=0N=AQ
AQ
(n)
连接PNPO,
由OC_OA,OC_OB知:
OC_平面OAB.
又ONOAB,.OC_ON
又由ON_OA,ON_平面AOC。
.OP是NP在平面AOC内的射影。
在等腰RtCOA中,P为AC的中点,.AC_OP
根据三垂线定理,知:
•AC_NP
.■OPN为二面角O-AC-B的平面角
在等腰RtCOA中,OC=OA=1,OP二
在RtAON中,ON=OAtan30-
3
解法
.在RdPON中,PN
cosOPN工匹
PN
15
取O为坐标原点,分别以OA,OC所在的直线为x轴,z轴,建立空间直角坐标系
O-xyz(如图所示)
11
丫P为AC中点,.P(—,0,—)
22
设AQ「AB(「(o,i)),皿十?
乜°)。
22
CA=(1,b1)
n1-n3=0_
得<3恵,故可取n=(1,J3,1)
—n2+—%=0
L.22
又平面OAC的法向量为e二(0,1,0)。
cos5e_(1「3,1)(0,1,0)「3.
45145
19.本小题主要考察直线与抛物线的位置关系、抛物线的性质等基础知识,同事考察推理
运算的能力。
(满分12分)
解:
(I)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足:
•■(X-1)2y2-x=1(x>0)。
化简得y2=4x(x>0)
A(冷yJ,B(X2,y2)。
(n)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为
fx=tWm2
设I的方程为x=ty•m,由2得y-4ty-4m=0
ly2=4x
L=16(t2m)AO.
于是
又FA十1-1,yJ,FB=(X2-1,比
FAFBY0=(咅-1)(X2-1)yM二x^-(咅-X2)TyyY,0
2
又,于是不等式②等价于
4
2222
—2%丫2-(二二)10
4444
二(掣2)+y』2—丄(%+丫2)2—2y』2I+1V0③
164-」
由①式,不等式③等价于
-6m1Y:
4t2
对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式④对于一切t成立等价于
m2—6mU0,即3—2、,2 由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B 的任一直线,都有FA'FBy: 。 ,且m的取值范围是(3_2辽,3•2辽) 20.本小题主要考察等差数列、等比数列等基础知识以及反证法,同时考查推理论证能力。 (满分13分) 2 解: (i)由题意可知,1-a^(1-a;) 3 22 令Cn=1-a*,贝VCn-2Cn 32 c,二3,公比为-的等比数列,即 43 n-1 3 又c=1-a;=3,则数列心? 是首项为 4 n-1 又al=? A0,anan1Y° 故an 1 f(x)丄Inx(x丄1)。 (川)解法一: 由(n)知: 当a_—时, 2 11. 令a,有f(x)(x-)亠1nx(x亠1)22x 11, 当x>1时,一(x)卜Inx。 2x 111 即In(k1)-Ink(),k=1,2,3•…n 2kk+1 整理得 ....->ln(n1) n2(n1) 解法二: 用数学归纳法证明 k+2=ln(k1) 2(k+1) 1 由(n)知: 当a_时,有f(x)_Inx(x_1) 2 111 令a,有f(x)(x)-Inx(x_1) 22x k+21k+2k+1k+2 令x二一-,得: _(___)_In=ln(k2)_ln(k1) k+12k+1k+2k+1 In(k1)k-In(k2)k— 2(k+1)2(k+2) 假设数列1bn? 存在三项br,bs,bt(r: : : s: : : t)按某种顺序成等差数列,由于数 12 列tbnf是首项为一,公比为一的等比数列,于是有brbsbt,则只有可 n43rs 能有2br二bsbt成立 c12心 12r, 1一' 2 -1-1 亡一1 43 43 43 两边同乘3't2t-r ,化简得 3t-r+22t-r=2*2t-r3t-s 由于r: : s: : : t,所以上式左边为奇数,右边为偶数,故上上式不可能成立,导致矛盾。 故数列小昇中任意三项不可能成等差数列。 21•本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识,同事考察综合运用数学知识 b二a-1c=l_2a 进行推理论证的能力和分类讨论的思想。 (满分14分) b【f(l)=a+b+c=O 解: ⑴f'(xr—x一,则有.f'(|)*41,解得 (n)由(I)知,f(x)=ax•口,1-2a, x a—1r 令g(x)=f(x)-lnx=ax1-2a-lnx,x1,: : x .11_a, (i)当oa,1 2a 1—a 若1: : : x,则g'(x): : : 0,g(x)是减函数,所以g(x): : : g(l)=o a f(x)lnx,故f(x)一lnx在1,•上恒不成立。 (ii)a-一时,1—l 2 若f(x)Inx,故当x_1时,f(x)亠Inx ~1) 综上所述,所求a的取值范围为,址 忖丿 Whenyouareoldandgreyandfullofsleep, Andnoddingbythefire,takedownthisbook, Andslowlyread,anddreamofthesoftlook Youreyeshadonce,andoftheirshadowsdeep; Howmanylovedyourmomentsofgladgrace, Andlovedyourbeautywithlovefalseortrue, Butonemanlovedthepilgrimsoulinyou, Andlovedthesorrowsofyourchangingface; Andbendingdownbesidetheglowingbars, Murmur,alittlesadly,howlovefled Andpaceduponthemountainsoverhead Andhidhisfaceamidacrowdofstars. Thefurthestdistaneeintheworld Isnotbetweenlifeanddeath ButwhenIstandinfrontofyou Yetyoudon'tknowthat Iloveyou. Thefurthestdistanceintheworld IsnotwhenIstandinfrontofyou Yetyoucan'tseemylove Butwhenundoubtedlyknowingthelovefromboth Yetcannotbetogether. Thefurthestdistanceintheworld Isnotbeingapartwhilebeinginlove ButwhenIplainlycannotresisttheyearning Yetpretendingyouhaveneverbeeninmyheart. Thefurthestdistanceintheworld Isnotstrugglingagainstthetides Butusingone'sindifferentheart Todiganuncrossableriver Fortheonewholovesyou.
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