1、湖北高考理科数学2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。A 4 B 3 C 2 D 13在 ABC 中，a=15,b=10,A=60 ，贝y cosB =2.2A - -2.2B -cD至3333A, “骰子向上的点4投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件数是3”为事件B,则事件A , B中至少有一件发生的概率是5 1 7 3A B C D -12 2 12 4立，贝U m=A 2 B 3 C 4 D 56将参加夏令营的600名学生编号为：
2、001 , 002,600,采用系统抽样方法抽取一个容 量为50的样本，且随机抽得的号码为 003 这600名学生分住在三个营区，从 001到300A 26, 16, 8C 25, 16, 9数一次为B 25, 17, 8D 24, 17, 9此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设 sn为前n个圆的面积之和，贝y lim sn =-8、 现安排甲、乙、丙、丁、戌 5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、 导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他 三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A.152 B.126 C.90
3、D.549.B. 若直线y=x+b与曲线y = 3 - 4x - X2有公共点，则b的取值范围是1-2 .2,1 2 2D. 1 - 2,310.记实数x1, X, Xn中的最大数为 maxXjX?,xn?，最小数为 minlxx?,xn?。已知 ABC 的三边长位 a,b,c （ a空b乞c ）, 定义它的亲倾斜度为fa b c 丨 fa b cl二max a,b,c .min a,b,c ,则“1=1 ”是“厶ABC为等边三角形”的b c a b c aA.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分。请将答
4、案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。填错位置，书写不清，模凌两可均不得分。11、 在（x+ 3y ） 20的展开式中，系数为有理数的项共有 项。讨匚x,12.已知z = 2x -y ,式中变量x , y满足约束条件 x y _ 1,，则z的最大值x乞2,为 .13圆柱形容器内部盛有高度为 8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示) ，则球的半径是 cm。14某射手射击所得环数 的分布列如下:78910Px0.10.3y已知的期望E =8.9，则y的值为 .2ab15.设a0,b0,称 为a, b的调和平均数。
5、如图， C为线段AB上a +b的点，且AC=a , CB=b , O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于 D。连结OD , AD , BD。过点C作OD的垂 线，垂足为 E。则图中线段 OD的长度是a, b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。三、解答题：本大题共 6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题满分12分)二 二 1 1已知函数 f(x)= cos( x)cos( x), g (x) sin2x-3 3 2 4(I)求函数f(x)的最小正周期；(n)求函数h (x) =f(x) g(x)
6、的最大值，并求使 h(x)取得最大值的x的集合。17.(本小题满分12分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用 20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6万元。该建筑物每年的能源消耗费用 C (单位：万元)与隔热层厚度 x (单位：cm)满足关系： C( x)k=k (0乞x叨0),若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8万元。设f (x)为隔热层建造3x 5费用与20年的能源消耗费用之和。(I)求k的值及f(x)的表达式。(n)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值。18.(本小题满分12分)如图， 在四面体 ABOC
7、 中，OC_OA,OC_OB, AOB=120。，且 OA = OB=OC=1AB(I)设为P为AC的中点， 证明：在AB上存在一点Q ,使PQ _OA，并计算少 的AQ值；(n)求二面角 O - AC - B的平面角的余弦值。19(本小题满分12分)已知一条曲线 C在y轴右边，C上每一点到点F (1,0)的距离减去它到 y轴距离的差都是 1.(I )求曲线C的方程; (H)是否存在正数 m,对于过点M (m , 0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都20.(本小题满分13分)已知数列laj满足：引=1,31+an+1)= 2 (1坦),可亦0)的图象在点(1,f (1)处的切线方程为y
8、=x-1.x()用a表示出b, c；)若f (x) Inx在1 , +二)上恒成立，求a的取值范围；1 1 1 n(川) 证明：1+ + 1 n(n+1) + (n 1)23 n 2( n+1)2010年高考试题数学理(湖北卷)答案与解析1.【答案】D【解析】观察图形可知 z=3+i,则z =3=2，即对应点H (2, - 1)，故D正确. 1+i 1+i2.答案】A2 2解析】画出椭圆 x y 1和指数函数y=3x图象，可知其有两个不同交点，记为4 16A1、A2,贝V AB的子集应为.一 A?共四种，故选A.3.答案】D解析】根据正弦定理 可得二5 型解得sin B 3 ,又因为b ： a
9、 ,则sin A sinB sin60 sin B 3B：A，故B为锐角，所以cosB= .1 sin2 B 弓，故D正确.34答案】C解析】用间接法考虑，事件 A、 B 一个都不发生的概率为1C4 5P(AB) =P(A)LP(B) 1 -2C6 127则所求概率 =1 -P(AB) ,故C正确。125.答案】B解析】由题目条件可知,M为 ABC的重心，连接 AM并延长交 BC于D，则2 HAM AD3，因为AD为中线A彳 T T 1B AC 二 2AD 二 mAM ,11即 2AD = mAM，联立可得m = 3，故B正确。6.答案】B解析】依题意可知，在随机抽样中，首次抽到 003号，以
10、后每隔12个号抽到一个人,则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列,故可分别求出在 001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496 到600中有8人, 所以B正确。7 .【答案】C【解析】依题意分析可知，图形中内切圆半径分别为:b 昨 匚 b 弐 hr , cos30r;( *cos30 )rc o s 3 0 , ( cos 即 0则面积依次为：二 r2,3 二 r2,9 二 r2,27 二 r2,4 16 64故C正确.&【答案】B【解析】分类讨论：若有 2人从事司机工作，则方案有 C| Y =18 ；若有1人从事司机工作，则方案有 C
11、； 2启=108种，所以共有18+108=126种，故B正确9.【答案】C【解析】曲线方程可化简为 （x-2）2 （y-3）2 =4（1_y _3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线 b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2,解得b=1 2 2或b=1-2.2，因为是下半圆故可得b=1 2 2 （舍），当直线过（0, 3）时，解得b=3，故1 -2.2岂b岂3,所以C正 确10.【答案】A【解析】若厶ABC为等边三角形时，即a=b=c，则na ，-a 1 nt己a bE - 则|=1 ；Lbca J b Ca J若厶ABC为等腰三角形，如 a=2
12、,b=2,c=3时,则max a ,b,C = ,min a ,b，=-，此时1=1仍成立但厶ABC不为等边三角b c a 丿 2 Q c a ” 3形，所以A正确.11.【答案】6【解析】二项式展开式的通项公式为 Tr 1二C2x20（43y）r二c2o（43）rx2yr（O汀乞20）要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0.、4、8、12、16、20共6种， 故系数为有理数的项共有 6项.12.【答案】5【解析】依题意，画出可行域（如图示） 则对于目标函数y=2x-z， 当直线经过A（ 2, 1）时,Z取至U最大值，Zmax=5.13.【答案】4【解析】设球半径为r，则由3V球 -
13、 V水二V柱可得3 4二r3 二r2 8=二2 6r,解得r=4. 314.【答案】0.4【解析】由表格可知： x 0.1 0.3 9, 7x 8 0.1 9 0.3 10 y =8.9联合解得y=0.4.15.【答案】CD DE【解析】在Rt ADB中DC为高，则由射影定理可得 CD2 =AC CB，故CD = 10b，即以ED=OD-OE= ，故DE的长度为a,b的调和平均数a +b16.本小题主要考察三角函数的基本公式、周期和最值等基础知识，同事考察基本运算能力。（满分12分）1 , 3 1 . 3解: (I) f (x) =cos( x)cos( x) = ( cosx sin x)(
14、 cosx sin x)33 2 2 2 21 2 3 2 1 cos2x 3-3cos2x 1 1=cos x sin x cos 2x -44 8 8 2 42 TTf (x)的最小正周期为=7：211 J2h(x) = f (x) - g (x) cos2x sin 2x =22 2当2xx=2k：(kZ)时，h(x)取得最大值 .4 2 IT h(x)取得最大值时， 对应的x的集合为(xx = k,kZ卜. 8 “17本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。 (满分12分)而建造费用为 G(x)=6x最后得隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和为4
15、0 800f (x) =20C(x) G(x) =20 6x 6x(0 x 10)3x+5 3x + 52400f(x) =6 ，令 f(x) = 0,(3x +5)5解得x =5 , x (舍去).3f (x)当 0YxY5 时，f(x)V0 ,当 5YxY10 时，f(x)0 ,故 x =的最小值点，对应的最小值为 心=65器=70。当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为 70万元。事考察空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 （满分12分）解法一：(I)在平面 OAB内作ON _ 0A交AB于N , 连接NC。又 0A _ 0C , 0A _ 平面 ONCN 8 平面 0 N C.
16、0 A NC取Q为AN的中点，贝U PQJNC .PQ_ 0 A在等腰 L A0B 中，.A0B =120 ,.0AB 0BA =30在 RtLAON 中， 0AN =30； , 0N 二一AN 二 AQ2在L 0NB 中， N0B =120 -90 = 3 NB0 ,二NB=0N= AQAQ(n)连接PNPO ,由 OC_OA , OC_OB 知：OC _ 平面 OAB .又 ON OAB , . OC _ ON又由 ON _ OA , ON _ 平面 AOC。.OP是NP在平面AOC内的射影。在等腰Rt COA中，P为AC的中点，.AC _ OP根据三垂线定理，知： AC _ NP. OP
17、N为二面角O - AC - B的平面角在等腰 Rt COA 中，OC = OA = 1 , OP 二在 Rt AON 中，ON =OAtan30 -3解法.在 Rd PON 中，PNcos OPN工匹PN15取O为坐标原点，分别以 OA , OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O -xyz （如图所示）1 1丫 P为 AC 中点，.P(,0,)2 2设 AQAB（o,i）,皿十？乜）。2 2CA=(1,b 1)n1 - n3 = 0 _得 3 恵 ,故可取n = ( 1,J3,1 )n2 + % =0L. 2 2又平面OAC的法向量为 e二(0,1,0)。cos5e_(13,1)(0
18、,1,0)3.451 4519.本小题主要考察直线与抛物线的位置关系、抛物线的性质等基础知识，同事考察推理运算的能力。(满分12分)解：(I)设P(x, y)是曲线C上任意一点，那么点 P(x, y)满足： (X -1)2 y2 -x =1(x0)。化简得 y2=4x(x0)A(冷 yJ,B(X2,y2)。(n)设过点 M (m,0)( m 0)的直线l与曲线C的交点为, fx= tW m 2设I的方程为x = ty m ,由 2 得y- 4ty - 4m = 0ly2 =4xL=16(t2 m) AO.于是又 FA 十1 -1,yJ,FB =(X2 -1,比FA FB Y0=(咅-1)(X2
19、 -1) yM 二x -(咅 - X2) T yy Y, 02又，于是不等式等价于42 2 2 22 %丫2-(二二)1 04 4 4 4二(掣2)+y2 丄( +丫2)2 2y2 I+1V 0 16 4 - 由式，不等式等价于-6m 1 Y：4t2对任意实数t , 4t2的最小值为0，所以不等式对于一切 t成立等价于m26m U 0,即 3 2、,2 1 时，一(x )卜 In x 。2 x1 1 1即 In(k 1) -In k ( ) , k =1,2,3n2 k k +1整理得.-l n(n 1)n 2(n 1)解法二：用数学归纳法证明k +2 = ln(k 1)2(k+1)1由(n)
20、知：当 a _ 时，有 f (x) _ In x(x _ 1)21 1 1令 a ，有 f(x) (x ) - I n x(x _1)2 2 xk+2 1k+2 k+1 k+2令 x 二一 -，得： _(_ _ _ ) _ In = ln( k 2) _ ln( k 1)k+1 2 k+1 k+2 k+1In (k 1) k - In(k 2) k 2(k+1) 2(k+2)假设数列1 bn?存在三项br,bs,bt (r : s ： t)按某种顺序成等差数列，由于数1 2列tbnf是首项为一，公比为一的等比数列，于是有br bs bt，则只有可n 4 3 r s能有2br二bs bt成立c
21、1 2心1 2r，1 一2-1- 1亡一 14 34 34 3两边同乘3 t2t-r，化简得3t-r+22t-r=2*2t-r3t-s由于r : s ： t，所以上式左边为奇数， 右边为偶数，故上上式不可能成立, 导致矛盾。故数列 小昇中任意三项不可能成等差数列。21 本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同事考察综合运用数学知识b 二 a -1 c = l _ 2a进行推理论证的能力和分类讨论的思想。 (满分14分)b 【f(l) = a+ b+ c = O解： f(xrx一，则有.f(|)*41 ，解得(n)由(I)知， f(x) =ax 口，1-2a ,xa 1 r令 g(x)
22、 = f(x)-ln x = ax 1-2a-lnx , x 1,：x. 1 1_a ,(i)当 o a , 12 a1 a若 1 ：x ，则 g(x)：0, g(x)是减函数，所以 g(x) ： g(l) =oaf (x) ln x，故 f (x) 一 ln x 在 1, 上恒不成立。(ii) a - 一 时，1l2若 f (x) In x，故当 x _1 时，f (x)亠 In x1 )综上所述，所求a的取值范围为,址忖丿When you are old and grey and full of sleep,And no ddi ng by the fire, take down this
23、 book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your mome nts of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your cha nging face;And bending dow n beside the
24、glow ing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest dista nee in the worldIs not betwee n life and deathBut whe n I sta nd in front of youYet you dont know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not
25、when I stand in front of youYet you cant see my loveBut when undoubtedly knowing the love from bothYet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart.The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using ones indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.
