用三垂线法求二面角的方法.docx
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用三垂线法求二面角的方法
直线a平面,直线a垂直;射影AB.
用三垂线法求二面角的方法
垂线定理:
平面内的一条直线,如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
已知:
如图,PB是平面的斜线,PA是平面的垂线,
求证:
aPB
证明:
•••PA是平面的垂线,直线a平面
•••直线aPA又•••直线aABABPAA
•••直线a平面PAB而PB平面PAB•aPB
总结:
定理论述了三个垂直关系,①垂线PA和平面
a垂直.
三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系,是线面垂直的性质,在立体几何中有广泛的应用。
求二面角是高考考查的热点,三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是
实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化,因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。
运用三垂线法求二面角的一般步骠:
1作:
过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。
2证:
证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义)。
3求:
二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度)。
1、如右图所示的四面体ABCD中,AB平面BCDBC
CD且BC
CAB
D的大小;②求二面角
BCDA的大小;
1•解:
①•••AB面BCD
BCABBDAB
CBD为二面角CABD的平面角
•••BCCD且BCCD1•CBD=—4
•二面角CABD的大小为一
4
C
②•••AB面BCD
BCCD•••由三垂线定理得CDAC
ACB为二面角BCDA的平面角
•••AB平面BCD•ABBCABBD
•AB.AD2BD21在RtABC中,tanACB理1,
BC
面角BCDA的大小为一
4
D
方法点拨:
本题的关键是过二面角的一个平面
VBD上一点D到二面角的另一个平面AVB的垂线D
为VB的中点.
求二面角A—VB-D的余弦值.
2解:
取AB的中点P,连结VP、DE则由题意可知VP丄平面ABCD:
DALVP
又•/AD丄AB•••AD丄平面VAB•/VAB是正三角形,E为VB的中点,二AELVB,
•••由三垂线定理得VB丄DE.所以AED就是所求二面角的平面角
则斜线为DE,其射影为AE从而得到二面角的平面角为AED。
SABC的正切值.
3.一个三棱锥SABC的三视图、直观图如图.求二面角
b*―-§'——
AC的中点D,贝UBD3,
DC的中点O,
3解:
由正视图、俯视图知AC4;
由正视图、侧视图知,点B在平面SAC上的正投影为
BD平面SAC,BDAC;
由俯视图、侧视图知,点S在平面ABC上的正投影为则SO2,SO平面ABC,SOAC.如图.
作CHAB于H,作OE//CH交AB于E,则OEAB,
连接SE,因OE是SE在底面ABC内的射影,而OEAB,故由三垂线定理得SEAB,•SEO为二面角SABC的平面角.
△ABC中,易求得BABC、13,
由厶ABO的面积相等关系:
1
-AO
2
BD
1
-ABOE,
2
得OE竺竺
AB
RtSEO中,tan
SEO
OE9
故二面角SAB
C的正切值为2-13
9
方法点拨:
本题的难点是过二面角的一个平面SAB上一点
S作二面角的另一个平面ABC的垂线SO,
再过垂足O作二面角的棱AB的垂线,从而得到斜线SE及其射影OE,从而得到二面角的平面角为
SEO。
4.如图,
SA=BC=2
求二面角
ABC是以ABC为直角的三角形,SA,AB=4.N、D分别是AB、BC的中点。
S—ND—A的正切值.
平面ABC,
4.解:
过A作AFDN且与DN的延长线相交于点
•••SA平面ABC•••由三垂线定理得DFSF
•••SFA就是二面角
C
F,
S—ND—A的平面角,
在RtBDN中,DN
.BD2—BN2、5
在RtAFN中,Sin
ANF
AF
AN
Sin
BND
BD
ND
1
.5
•AF;IAN;•
tan
SFA
SA
AF
故二面角S—ND—A的正切值为币.
C
方法点拨:
本题的关键是找到从二面角的一个平面
SND
上一点S到二面角的另一个平面AND的垂线
AF,过垂足A作二面角的棱
SFA。
DN的垂线AF,从而得到斜线
AF及其射影AF,从而得到二面角的平面角为
5.如图所示,圆柱底面的直径
AB长度为2.2,O为底面圆心,
正三角形ABP的一个顶点
CO的延长线交00于点E,BP的中点为F.求二面角FCEB的正切值•
P在上底面的圆周上,PC为圆柱的母线,
B
A
5.解:
取BC的中点K,取0C的中点N,则KN//OB
•/F是PB的中点•••FK//PC
•••PC为圆柱的母线•PC丄平面CEB•FK丄平面CEB
•••正三角形ABP中,O为AB的中点•AB丄OP
•由三垂线定理的逆定理得AB丄OC•KN丄OC
•••由三垂线定理得CE丄FN•
KNF为二面角FCEB的平面角
由已知得KN
1OB2,OP6
22
PC2•KF
2PC
kf—
•tanKNF=2,即二面角FCEB的正切值为一2.
KN
方法点拨:
本题的难点是找到二面角的一个平面
BCE的垂线PC,则过二面角的一个平面FCE上一点
F作PC的平行线FK就是二面角的另一个平面
BCE的垂线,过垂足K作二面角的棱
CE的垂线KN,从而得到斜
线FN及其射影KN,从而得到二面角的平面角为FNK。
6、如图,P-AD-C是直二面角,四边形ABCD是/BAD=120
的菱形,PA=AB=2PA丄AD,试问在线段AB(不包括端点)上是否存在一点F,使得二面角A-PF-D的大小为45°?
若存在,请求出AF的长,若不存在,请说明理由.
6.解:
设AF=x,过点D作BA延长线的垂线DH垂足为H。
•/PA丄AD二面角P-AD-C是直二面角,
•PA丄面ABCD•PA丄DH
由于DH1AB,DHLPA,且PAAB=A故DHL平面PAB
P
D
过H作PF的垂线HO,O为垂足,再连接DO,由三垂线定理得:
所以/HOD就为二面角A-PF-D的平面角。
在Rt△ADH中,求得:
AH=1,DH=.,3
在Rt△FHD中,FH=AF+AH=x+1,
PFH的面积相等关系得
oh=F^PA
PF
2(1x)
4x2
D
D0丄
在Rt△HOC中,当/HOD=45,则有:
OH=DH此时:
2(1x),解得:
x=2J64
2
.4x
所以,在AB上存在一点F,使得二面角A-PF—D的大小为450,此时AF=2.64.
方法点拨:
本题的难点是过二面角的一个平面
PFD上一点D作二面角的另一个平面PAF的垂线DH,
再过垂足H作二面角的棱PF的垂线DO,从而得到斜线DO及其射影0H,从而得到二面角的平面角为
HOD。
7.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCDL
ZABC=90°,SA丄面ABCDSA=AB=BC=1,
1
AD=丄•求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
2
S
C
7.解法一:
•••AD
•/SA又BC
延长BACD相交于点E,连结SE则SE是所求二面角的棱//BC,BC=2AD「.EA=AB=SA,•SE丄SB丄面ABCD得面SEBL面EBCEB是交线.
丄EB,•BC丄面SEB
故SB是SC在面SEB±的射影,•CS丄SE,所以/BSC是所求二面角的平面角
•••SB=,SA2AB2
BC
••tgZBSC=—-
SB
即所求二面角的正切值为
.2,BC1,BC
2
2
SB
C
则SE是所求二面角的棱
解法二:
延长BA、CD相交于点E,连结SE,
SE,垂足为F,连结FD
过A作AF
•/SA丄面
ABCD
•••AD丄SA又•••/ABC
=90°,
而AD
•AD丄AB
•由三垂线定理得:
SAA•DA丄面SAE
SEIDF•••/DFA是所求二面角的平面角
由已知得A为BE的中点•AE1,SE2
由SAE面积相等关系得AF警丄
S
ADBC
.B
C
A
D
在RtFAD中,tanDFA-AD-
AF2
即所求二面角的正切值为
解法三(提示):
取SC的中点QBC的中点H,
连结QHDHDQ
则QH//SB,DH//AB,从而平面QHD/平面
SBA
所以面QHD与面SCD所成二面角的大小等于面SCD与面而面QHD与面SCD的公共棱为QD,。
vSA±面ABCD•SA丄BC,又v/AB
•BC丄面SAB•CH丄面QHD
C=90°
由已知得:
SDSA2AD2
5
CD
2
'DH2CH2
•SD=CD,又Q为SC的中点
•QDQC
C
SBA所成
由三垂线逆定理得:
QDQH所以,CQH是面QHD与面SCD所成二面角的平面角
1
由已知得:
CH-BC
2
1,QH1SB
在RtQHC中,tanCQH
CH
QH
J
2
2
22
解法四(提示用面积投影法)
:
•/SA丄面ABCD
•SA丄BC,又•••/ABC=90°
•BC丄面SAB•/BC//AD
•AD丄面SAB•
C在平面SAB上的射影为B,D在平面
SAB上的射影为A,
•••面SCD的投影面为面
SAB,设Q为SC的中点,所求二面角的大小为,则
由已知得:
SD.SA2~AD7-5,CD-DH2CH2上5
22
方法点拨:
本题的难点是作二面角的公共棱,方法①是先延展两个面SCD与面SBA得到公共棱SE,
然后找其中一个面SBA的重线DA或CB,方法②是先平移面SBA到面HQC得到公共棱QD然后找
其中一个面HQD的垂线”解法3用二面角的定义得面QHD与面SCD所成二面角的平面角为HQC,解法四
用三垂线法得面QHD与面SCD所成二面角的平面角为HNC.
8.(本小题满分14分)已知ABC和DBC所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,
CBADBC1200,求:
⑴.直线AD与平面BCD所成角的大小;
⑵.直线AD与直线BC所成角的大小;
⑶.二面角A-BD-C的余弦值.
8.解:
⑴如图,在平面ABC内,过A作AHLBC垂足为H,
ABC和DBC所在的平面互相垂直•••AHL平面DBCADH即为直线AD与平面BCD所成的角
由题设知△AHBAHD贝UDH1BH,AH=DHADH45°.5分
⑵•••BCLDH且DH为AD在平面BCD±的射影,
•BCLAD故AD与BC所成的角为90°……9分
⑶过H作HFLBD垂足为R,连结AR则由三垂线定理知,AFLBD故/ARH为二面角A—BD-C的平面角的补角,设BOa,则由题设知,
HR=-3a,AtanARH=^=2
4HR
I—
AH=DH=—a,BH旦,在△HDB中,
22
14分
故二面角A—BD-C的余弦值的大小为
9.如图,在四棱锥CABDE中,
AE平面ABC,BD平面ABC,M为CD上一点,BD
(I)求证:
(n)当EM
ABC为正三角形,
BC2AE2.
AE//平面BCD;
BD时,求二面角MABC的正切值.
9解:
(I):
AE平面ABC,BD平面ABC•AE//BD
而AE平面BCD
BD平面BCD
•••AE//平面BCD
(n)TBD平面ABC
M做MNBC,
垂足为
N,则有
MN//BD,•
EMN
—且MN//
2
MGN为二面角M
AB
C的平面角,
EANANM
NME—,
2
M为CD的中点,
N为BC的中点,在
•平面BCD
平面ABC
在平面BCD中过点
AE,过N做NGAB于G,
在四边形AEMN中,
•四边形AEMN为矩形
•-MN=AE1,•
Rt
MN平面ABC,
则MGAB,则
MNG中,MN1,
NGBNsinABC
仝•tanMGNMN
2NG
ABCD为平面ABCD,点E在线段PC上,PC平面BDE。
BD平面PAC;
10.(2012广东理)如图所示,在四棱锥PABCD中,底面矩形,PA
证明:
(1)
(2)
若PA
1,AD2,求二面角
BPCA的正切值;
10.解:
(2)
(1)PC平面BDE,BD
PA平面ABCD,BD面ABCD又PA”PCPBD面PAC法一:
(定义法)设AC^BDO由
(1)得:
PC平面BDEBEPC,OE
面BDEBDPC
P
A
D
C
在PBC中,PB.5,BC2,PC
BD
PA
B
BD
AC
AB
AD,
PA
1,AD
2
PC
BEO是一
.面角B
PC
A的平面角
3
PBC
90
BE
BP
BC
25
AB
PC
3
在RtBOE中,BO.2,OE.BE2
BO2
tanBEOBO
OE
得:
二面角BPCA的正切值为3
法二:
(三垂线法)设AC]BDO由
(1)得:
连结BF,则由三垂线定理得PC
平面PAC,过垂足0作公共棱的垂线
BF•BFO就是二面角
BO
OF,
BPCA的平面角•
•••底面ABCD为矩形,BDAC•ABAD2,BO
OC-2,PCPA2AC2
OC易得RtPACsRtOFC•OF
PC
PA空在Rt
3
BOF中,tanBFO-BO3OF
故二面角BPCA的正切值为3
PA
PD,H为AD的中点
PH
AD
AD
AB,DAB600
ABD是等边三角形
H为AD的中点
BH
AD
PHB就是二面角PADB的平面角
11(2011广东高考题改编)(本小题满分13分)
如图5,在椎体PABCD中,ABCD是边长
訂13
为1的菱形,且DAB600,PAPD,PB
2
求二面角PADB的大小.
法一:
(定义法)取AD的中点H,连结BH、PH
由已知得PH3,BH
过P作PN
2
NH
22
PBBN
即(.3)2
BH交其延长线于N,则PN2
PH2
2
NH
2
法二:
(三垂线法)过P作PO平面ABCD,垂足为0点,连结OA、OD
PHN60:
从而PHB120:
,故二面角PADB的大小•为120:
作OHAD于H,连结
•OHP就是就是二面角
•/ADPH,PAPD
•••H为AD的中点•••PH
•••ABAD,DAB60°
•ABD是等边三角形
•BH
AD,:
OHAD•O、H、
.PA2AH
0
B三点共线
OB2
PH,则由三垂线定理得ADPH
PADB的平面角的补角,
2222
X,则OPPHOHPB
即(、3)2x2(^21)2(-
3、2
x)
解得x
13
2
2
2
OH
1
tl
在RtPOH中,cosOHP
5**
OHP60'-
PH
2
设OH
所以二面角PADB的大小•为120-
12.(2013广东高考题)(本小题满分14分)
BCDE,其中AO3.
如图1,在等腰直角三角形ABC中,A90,BC6,D,E分别是AC,AB上的点,CDBE2,
O为BC的中点•将ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥
B
图1
D
E
O
(I)证明:
AO平面BCDE;
(n)求二面角ACDB的平面角的余弦值.
12【解析】(I)在图1中,易得OC3,AC3、、2,AD2,2
连结OD,OE,在OCD中,由余弦定理可得
OD.OC2CD22OCCDcos455由翻折不变性可知AD22,
所以AO2OD2AD2,所以AOOD,
同理可证AOOE,又OD^OEO,所以AO平面BCDE.
(n)传统法:
过O作OHCD交CD的延长线于H,连结AH,
因为AO平面BCDE,所以AHCD,
所以AHO为二面角ACDB的平面角•
结合图1可知,H为AC中点,故OH辽,从而AH•、OH2OA2三0
22
OH
15
所以cosAHO,
AH5
75
所以二面角ACDB的平面角的余弦值为一15.
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