求解二面角的六种常规方法.pdf
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求解二面角的六种常规方法甘肃武威市第六中学(733300)李淑芸求解二面角问题是高考的热点问题,在近几年的高考中几乎每一年、每一套高考题的立体几何问题都涉及到求二面角的大小问题然而通过对学生考卷的分析,我们发现这一问题的得分率却并不理想因此,本文总结了常见的六种求解二面角的方法,希望能给部分读者以帮助1_定义法是指过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线,则两直线所构成的角即为二面角的平面角,继而在平面中求出其平面角的一种方法【例1】如图1,空间四边形ABCD中,AB=BC=CDDAa,对角线ACa,BD=2a,求二面角ABDC的大小解:
取BD的中点为0,分别连接A0、C0,ABAD,BCCDA_LIBD,C0上BDBZAOC为二面角AB一C的平面角CDABAD一口,BD一,图1AO一。
BCcD一,BD一一AAOC,OC=y。
,0A一,gn,AC=n,OAz+OU=AU,ZAOC=90。
,即二面角ABDC为直二面角2三垂线法是指利用三垂线定理,根据“与射影垂直,则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角,继而求出平面角的方法【例2】如图2,二面角aAB一的棱AB上有一点C,线段CDffF_a,CD=100,BCD=30。
,点D到平面的距离为253,求二面角a-AB-的度数解:
过D作DEJ_于E,DF上AB于F,连接EFDF上AB,EF是DF在口内的射影,。
AB上EF(三垂线定理)。
DFE为二面角为aAB一的平面角ZHONGXUEJIAOXUECANKAoACFB图2在RtDEF中,DF=-6-CD=50,DE=253,sin,DFE-丽DE一一。
DFE一6O。
即二面角aAB的度数为60。
3垂面法是指用垂直于棱的平面去截二面角,则截面与二面角的两个面必有两条交线,这两条交线构成的角即为二面角的平面角,继而再求出其平面角的一种方法【例3】如图3,已知SA上平面ABC,AB上BC,SA=AB,SB=BC,E是SC的中点,DE上SC交AC于D,求二面角EBDC的大小解:
。
BS=BC,SEEC,sSC上BE,又SC-LDE,SC上面BDE。
SC上BD又BD上SA,BD上面ASAC。
EDC为二面角EBDC的平面角B图3设SA=a,则SB=BC=。
BCIAB,SAI平面ABCBC_l_SB。
SC=2a,SCD=30。
EDC一60。
,即二面角EBDC的大小为6O。
4面积射影法所谓面积射影法,就是根据三角形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系,利用c。
s一鲁来计算二面角的一种方法(其中0为二面角)31E脚峨il:
zxcklk163com中学教学参考解题方法与技巧【例41在正方体ABCD-ABC1D中,KffBB,MECC,NBK=IBB,cM一丢cc,求平面AKM与ABCD所成角的大小解:
连结AC,则由题意可知,ABC是AKM在平面AC上的射影设平面AKM与ABCD所成角为,图4咖一=令正方体的棱长为4,s艘一ABAC=1448在AAKM中,AK=1+4。
一17,AMz,42+4+3。
一41,KM=、4。
+2一2O由海伦公式可知S一2、21,。
砌s一,=arccos5法向量法法向量法是通过求与二面角垂直的两个向量所成的角,继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系,求出二面角的一种方法【例5】如图5,过正方形ABCD的顶点A作PA_l平面ABCD,设PA=AB=a,求平面PAB和平面PCD所成的二面角的大小解:
以A为射点建立直角坐标系(如图5所示),则P(O,o,n),D(O,a,0),C(a,a,0)设平面PCD的法向量为聆一(z,y,),r商一o。
则商_o_丑z,0,n,a=0,l(,)(-a,0,0)一Of一一2,lz一032中学教学参考(中旬)2。
1。
3总第44期图5一(0,1,一1)又成为平面PAB的法向量,COS(a-b一一,与所成的角为45。
因此平面PAB和平面PCD所成的角为45。
6垂线法是指先利用待定系数法确定垂足,再利用公式求出二面角的大小【例6】如图6,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PD上底面ABCD,E是AB上一点,PE上EC,已知PD=,2,CD=2,AE一去,求
(1)异面直线PD与EC的距离;
(2)二面角EPCD的大小解:
(1)略
(2)以D为原,、分别为22,轴建立空间直角坐标系作DG_PC,可设G(0,)图6由赢0得(0,z)(0,2,)一o,即故可取=(o,1,)作EFZ_PCaF,iRF(0,),则商一(一,一1、,)。
由一o,得(一譬,一吉,)(o,2,一)=0,即2m-1-、=0又由F在Pc上得一+,故m一1,n一,一c一,1,譬因碲i,上,故二面角EPCD的平面角0的大小为向量商与的夹角icos0=器一一故二面角E-PC-D的大小为季(责任编辑金铃)
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