正弦定理与余弦定理练习题.docx
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正弦定理与余弦定理练习题
1.
已知aABC中,a=4»
A-
30°
2.
A.
3.
A.
4.
正弦定理与余弦定理
/?
=4V3M=3O\则B等于(
B・30°或150°
C.
60°
D・60°或120°
已知锐角△ABC的而枳为3j5,BO4,
CA=3.则角C的大小为(
75°
B・60°
C.45°
D.30°
已知△ABC中,4*乙、分别是角AB,C所对的边,若(2d+c)cosB+Z>cosC=0,则角B的大小为(
B・—
3
2龙
C.—
3
在ABC中,
c分別是角A、
5^
D・一
6
B、C的对边•若—=2,b--a-=3ae.则ZB=(sinA
B・
60°
C・120°
D.
150"
5.
在AiABC中,
角A,
B,
C的对边分别是a.
b.
C.已知a=5近,c=10rA=30\则B等于()
A.
105"B.60"C.15°D.
105°或15°
6.
已知A4BC中,
BC=6MC=&cosC』
96
A.锐角三角形
C・等腰三角形
B.直角三角形
D.钝角三角形
7.
在△ABC中,
内角A.B.C的对边分別为ubc.且B=2C.2Z?
cosC-2rcosB=a,则角A的大小为(
A.
8.
n
在^ABC中,
A.锐角三角形
9.在AABC中,
a・7
Itn
B.—C.—
34
若sin2A+sin2BVsin2C,则△ABC的形状是()
B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确是
SinA:
sinB:
sinC=3:
2:
4r那么cosC=()
。
2「2
B・一C.-一
33
10.在44^(?
中,
等腰直角三角形
直角三角形
等腰三角形
等腰或直角三角形
,则△ABC为()三角形•
2c
C.等腰直角D.等腰
3=4\/3,6=4^2.则B等于()
A・
B-
C.
D-
n
D・一
6
a,h.c分別为角A,B,C所对边,若“=”cosC,则此三角形一泄是(
co*
2
A.正B.直角
12.在AABC中,A=60\
B=45°或135°
B=135"
11.在AABC中,
A.
B.
C・
D.
B=45°
以上答案都不对
13.在△ABC,内角/VB’C所对的边长分别为ubc・flsinBcosC+csinBcosA=—b,且a>b»则ZB=(2
71
A.6
B.3
2兀
c.3
5?
r
D.6
14.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,be,若Z?
cosC+ccosB=a3inA,则△ABC的形状为(A•锐角三角形B•直角三角形C•钝角三角形6不确;4^
16,已知AABC内角的对边分别是ubc,若cos6=-#=2,sinC=2sinA,则AABC的而积为(4
B
b=2ABC
21.在△ABC中.a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知3(/?
"+c^)=3^"+27?
c
22-已知△ABC的内角的对边分别为",b,C,且满足迥込型=2+2cos(A+B)・sinA
(11)若d・i,c■疗,求△MC的而积.
23.在AABC中,角A.BX所对的边分別为cibc,已知d=2,c=5,cosB=-
(1)求方的值:
(2)求sinC的值.
二.填空题
24-已知在AziSC中,BC=15,AC=10,A=60^,贝iJcosB=
角A,B,C所对的边分别是fl,b,c,设S为△人召C的而积,S=』y(/+F-r),则C的
4
大小为
29.在AABC中,已知==—则这个三角形的形状是
cosAcosBcosC
参考答案
1.D
【解析】
试题分析:
=亠sinB=PU=4®sin3Ol^=匹“g—30。
sinAsinBa442•・・B=60°或3=120°,选D.
考点:
正弦定理、解三角形
2-B
【解析】
11/T
试题分析:
5_,,^^=-AC-BC-sinC=--3-4sinC=373JiJsinC=—,所以C=60%选B・
222
考点:
三角形而积公式
3.C
【解析】试题分析:
由已知和正弦定理得(2sin4+sinC)cosB+sinBcosC=a展开化简得2smAcosB+sinA=0・由
于4为三角形内角,所以AHasiiMHO,所以cosB=--.B=—.选C.
23
考点:
1.正弦定理;2.两角和的正弦公式;3.已知三角函数值求角.
4.C
【解析】试题分析:
由正弦立理可得,黔令=加,又」宀3“心宀7几由余弦泄理可得,
==又Bw(0小所以ZB=120・.
考点:
:
L正弦定理:
2•余弦世理.
5.D
[解析3解:
匸,.c,sinAsinC
・・c-c■・A-10V1_a/2
••sinC*51nA-=-X*
a5^222
YOVCVm
•••ZU45。
或135%
AB=105"或15%
故选D・
【点评】本题主要考査了正弦定理的应用.解题的过程中一泄注意有两个解,不要漏解.
6.D
【解析】
75以-L95—8"
/lB'=6-+8'-2x6x8x—=25cosB=<0
试题分析:
由余弦世理得96,所以最大角为B角,因为2x6x5
所以6角为钝角.选D.
考点:
余弦是理
【方法点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:
第一步:
建条件
即确迫三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.
第二步:
处工具
即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.
第三步:
求结果.
7,A
【解析】
试题分析J由正弦圧理得2sinBcosC-2sinCcos=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,
sinBcosC=3sinCcosB、sin2CcosC=3sinCcos2C"
2COSC"=3(cosC"—sinC"
I行
tanC^=-,tanC=—,•.亠26乂为锐角,所以€'=尹=彳"专,故选A.
考点:
1、正弦世理两角和的正弦公式;2、三角形内角和世理.
8-C
【解析】
试题分析:
由题可根据正弦泄理,得a2+b2<&,•••cosC=/+Ll<0,则角C为钝角
2ah
考点:
运用正弦和余弦崔理解三角形.
9.D
【解析】
试题分析:
sinA:
sinB:
sinC=3:
2:
<..:
/.:
c=3:
2:
4AcosC=^C^^=-l
考点:
正余弦世理解三角形
10.C
【解析】
试题分析:
在给;^的边与角的关系式中,可以用余弦世理,得u=2』+y~L,那么化简可知
2ab
所以a-=tr+/r-c-.即b=c■所以三角形ABC是等腰三角形.故选C・
考点:
余弦定理判断三角形的形状.
11.6
【解析】
试题分析:
根据二倍角的余弦公式变形、余弦世理化简已知的等式,化简后即可刈断出aabc的形状.
解.Tcos^B-S+c.••丄(1+cosB)
22c22c
222
在△ABC中,由余弦楚理得,1号.a+c-b_a+c
2ac
2c
化简得•2ac+a^+c2-b^=2a(a+c)»
则c—Y+b?
.•.△ABC为直角三角形,
故选:
B.
12.C
【解析】
试题分析:
由A的度数求出sinA的值,再由a与b的值,利用正弦定理求出sinB的值,由b小于a,得到B小于A,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数•
解.7a=6O%3=4^3,b=4迈
二由正弦立理°-b得:
sinB-b"nA-誓:
2,专ginAsinBa4VS2
Vb 则B=45\ 故选c 13.A 【解析】 试题分析5利用正弦定理化简得: sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=—sinBt 2 YsinBHO,AsinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB=—, 2 Va>b.AZA>ZB,AZB=1 考点J 14.6 【解析】 试题分析J/? cosC+ccosB=dsinA・・・sinBcosC+cosBsinC=sin2A・・sin(B+C)=sin2A •••SinA=1•••/! =兰,三角形为宜角三角形2 考点: 三角函数基本公式 15-A •■、丄"诈八.严Ah+cAJAh+cb■,db,丄h 【解析】试题分析Jcos"—==>2cos"—==—+1n1+cosA=—+1ncosA=— 22c2cccc sinBsin(i4+C) cosA== sinCsinC sinAcosC=0/.cosC=0,C=—»选A 2 考点: 正弦定理,二倍角的余弦,两角和的正弦 16.6 22r2 【解析】试题分析5丁sinC=2sinA: .c=2dtcosB=" 2ae a-+ 42ac 考点: 正余弦定理解三角形 17.C 【解析】 试题分析: 由余弦定理可得cosA="・+Lf■•丄=1+°・一3"=2 八22c 2hc 考点: 余弦定理解三角形 18. (1)2: (2)3. 2^/y 【解析】试题分析: (1)先运用余弦定理求得c=—h.进而求得a=—b.再运用正弦泄理求SinC的值即可获 解: (2)利用三角形的而积公式建立关于方程求解. Zo试题解析: ⑴由余弦主理可得,『4+宀2皿丁 即」宀宀血•,将」宀非代入可得心半b,再代入—非可得"爭, 所以竺£=£=车,KpsinC=A.则cosC=-\=,所以tanC=2: sinAaJ5J5Q5 I1Opjpy ⑵因尹shM=3,故㊁X丁宀丁=3,即心3. 考点: 正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用. 19. (1)B卫 (2) 33 【解析】解: ⑴由正鮭理可得: 警會气 -*-tanB=A/3. 70 : 3 (2)由余弦定理可得b^=a^+c^-2accosB.R卩a'+g-ac=4» 又b=2,△ABC的周长为2-73+2.-*-a+c+b=2V^2. HPa+c=2>/3. •8 ••ac—» 3 /.SaABc^csinB=1-X^X頂=2如. 22323 【点评】本题考査了正弦立理、余弦左理、三角形周长、三角形而积il•算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 、It 20. (1)6=—. 4 ⑵>/2+1 【解析】试题分析: (1)由题为求角,可利用题中的条件d=bcosC+csinB・可运用正弦定理化边为角, 再联系两角和差公式,可求出角 (2)由 (1)已知角可借助三角形面枳公式求,先运用正弦泄理表示出所需的边,再利用正弦三角函数的性质, 化为已知三角函数的定义域,求函数值得最值问题,可解。 试题解析: (i)*•*a=bcosC+csinB,由正弦世理可得: sinA=sinBcosC+sinCsinBt •Isin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinBrVsinC^O. cosB=sinB,AtanB==1,Be(a兀},-B=— cosB'丿4 ⑵由⑴可得A+C—p手…"=手*牡0普 由正弦;^理可得: _£_=_「=_2_=_? _=2j,・ sinAsinCsin5•兀sin—4 ・fl=2V2sinA,c=2y/2sinC S\\Bc=—«csinB=—x2\/2sinAx2\/2sinCxsin— 2 2>/2sinAsinC=2>/2sinAsin 2>y2sinA sinA=2sin-4cosy4+2sm'A=sin2A+l-cos2>4=-72sin(2/l-—)+1, 4 <3”) /\ 0,— • **■ 2A—— € I4丿 I4丿 I44丿 VAe ,当2「彳号 即a=¥时,Su肌.取得最大值为^/5+I 考点: (1)利用正弦定理进行边角互化解三角形。 (2)利用正弦圧理进行边角互化及正弦函数的性质。 2】•⑴半⑵嗨心 【解析】试题分析: (1)将已知条件变形结合余弦泄理可得到cosA,进而可求得sinA: (2)由余弦定理可得到关于b,c的关系式,由三角形面枳得到关于b,c的又一关系式,解方程组可求得其值 试题解析: (1)V3(/? '+c-)=3 +2/? c. h-+c--a\_\ 3 2bc “飞又-A是三角形内角 1>1^3 /.—bcsinA=——,二bc=—① 222 \2 ,二由余弦楚理可得(弓丿 f3V •"+宀- (2丿 3 •・・b>c>0,二联立①②可得/? =-, =1・ 2 考点: 余弦是理解三角形及三角形面积求解 22-(I)-=2: (II)—. “2 【解析】 试题分析: (I)利用两角和的正弦、余弦公式,化简sm(2A5=2+2cos(A+B),得到sinB=2sinA>利用正弦;^sinA 理得到-=2: (II)由(I)可求得b=2,先求出一个角的余弦值,再求其正弦值,最后利用三角形而枳公式求而a 积. 试题解析: 解析: (I)Tsm(2A+B)=2+2cos(A+g),/.sin(2A+B)=2sinA+2sinAcos(/\+B), sinA /.sin[A+(A+B)]=2sinA+2sinAcos(A+B),sin(A+B)cosA-sinAcos(A+B)=2sinA, sinB=2sinA»: •b=2a、•*■—=2. a /■■、♦.,pfh*.—i.r+—c~1+4—71.小2/r (11)•rt■1'c■yfff—=2,••b=2•••cosC===—*••C=— a2ab423 •••S3c=i"sinC=ij2^=迺,即△ABC的面积的迺• 皿22222 考点: 三角函数与解三角形• 【解析】试题分析: 由三角形余弦世理lr=a-+c--2accQsB.将已知条件代入可得到b的值: (2)由正弦企理 bC 甌=匠,将已知《代入可得到Sine的值. 试题解析: (1)由余弦是理/? -=«-+c'-2i«cosB,得员=4+25-2x2x5x-=17,二/? =JI? ^5 考点: 正余弦世理解三角形 76 24.3 考点: 余弦定理的应用: 26.2 【解析】 考点: 正弦定理及运用. 【解析】试题分析: 设BC=x,则由余弦企理可得16=F+48-2x4j5・xcos30°,R|]F-12x+32=0,所以 x=4或x=8,所以=1X4X4^3sin30"=4^3或8耳肚=lx4x8j^sin30°=8j5,故答案为40或 22 考点: 正弦定理和余弦世理的妙用. 28・60° 【解析】试题分析「••根据余弦世理得/+沪一c2=2a处biSC的而积 ■•■由4s=V5(/+沪-刊,得taiiC=£ JI 考点: 余弦定理与而积公式. 29.等边三角形 【解析】 试题分析: 由正弦定理亠=—=—得竺彳二竺色=竺£sinAsinBsinCcosAcosBcosC•・•tan4=tan5=tanC/.A=B=C,三角形为等边三角形考点: 正弦定理解三角形
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- 正弦 定理 余弦 练习题