XX中考数学第六讲函数三复习教案人教版.docx
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XX中考数学第六讲函数三复习教案人教版
XX中考数学第六讲函数(三)复习教案(人教版)
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函数(三)
毕保红
6.1二次函数的图象与性质
基础盘点
.形如______________________的函数叫二次函数.[
2.
(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象是_____________,顶点坐标为_________,对称轴为__________.
当a>0时,二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口______,图象有_________,且当时,y随x的增大而_____;当时,y随x的增大而_____;函数有最值
,为
.
当a<0时,二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口______,图象有_________,且当时,y随x的增大而_____;当时,y随x的增大而_____.函数有最值
,为
.
3.图象与平移
(1)将y=ax2的图象向左或向右平移|h|个单位,即可得到y=a2的图象,其顶点坐标是________,形状、对称轴、开口方向与抛物线_________相同;
(2)将y=ax2的图象向上或向下平移|k|个单位,即可得到y=ax2+k的图象,其顶点坐标是_______,对称轴是直线________,形状、开口方向与抛物线y=ax2相同;
(3)将y=ax2的图象向左或向右平移|h|个单位,再向上或向下平移|k|个单位,即得到y=a2+k的图象,其顶点坐标是_______,对称轴是直线_______,形状、开口方向与抛物线y=ax2相同.
4.二次函数关系式的求法
已知抛物线上___________________,可以利用一般式y=ax2+bx+c求其解析式;
(2)若已知抛物线的_______________,则可利用顶点式y=a2+k,其中的顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h,求解析式.
5.已知抛物线y=a,则抛物线与轴的交点坐标是______________.
考点呈现
考点1二次函数的图象
例1
已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图所示,其中正确的是(
)
A
B
c
D
解析:
因为A项和D项中直线y=ax+b过一、三、四象限,所以
a>0,b<0,所以抛物线y=ax2+bx的开口向上,对称轴x=->0,所以选项A错,选项D正确;B项和c项中直线y=ax+b过二、三、四象限,所以a<0,b<0,所以抛物线的开口向下,且对称轴x=-<0,所以选项B错,选项c错.
故选D.
评注:
多种函数图象的识别,一般可以先确定其中一种函数的图象(如一次函数,反比例函数),再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点,最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察,得出结论.
考点2二次函数的图象平移与旋转
例2将抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,此时绕其顶点顺时针旋转180度所得到的抛物线为( )
A.y=-22-1
B.y=22+3
c.y=-22+1
D.y=22+3
解析:
由平移与坐标的关系可知,左右平移改变自变量x的取值(左加右减),上下平移改变函数的值(上加下减),故将抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位,再向上平移2个单位后所得到的抛物线为y=-22+1+2,即y=-22+3.此时的抛物线的顶点是(1,3),绕其顶点顺时针旋转180°后,开口向上,开口大小不变,所以抛物线的解析式是y=22+3.
故选D.
评注:
二次函数的平移规律:
将抛物线y=ax2向上平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y=ax2+k,向下平移k个单位所得函数关系式为y=ax2-k;向左平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y=a2;向右平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y=a2;这一规律可简记为“上加下减,左加右减”;若抛物线的解析式是一般式,则需要将其化为顶点式后,再按此平移规律解答.
考点3二次函数的性质
例3
二次函数y=ax2+bx+c的图相如图1所示,其对称轴为x=1,下列结论中错误的是(
)
A.abc<0
B.2a+b=0
c.b2-4ac>0
D.a-b+c>0
图1
解析:
由抛物线开口向下知a<0,抛物线与y轴交点位于y轴正半轴知c>0,由对称轴-=1>0知b>0,所以abc<0,选项A正确;由-=1,得2a+b=0,选项c正确;由于抛物线与x轴有两个不同的交点,即一元二次方程ax2+bx+c=0,有两个不相等的实数根,b2-4ac>0,选项c正确;由图象知x=-1时y<0,即a-b+c<0,选项D错误.故选D.
评注:
解答此类问题,需由二次函数的图象确定a,b,c之间的关系.一般地,抛物线开口方向确定a的大小,开口向上时a>0,开口向下时a<0;抛物线与x轴交点的多少确定b2-4ac的值的大小,抛物线与x轴有两个交点时b2-4ac>0,抛物线与x轴有唯一的交点,b2-4ac=0,抛物线与x轴没有交点,b2-4ac<0;x=1时,对应的函数值大小确定了a+b+c的值的大小,x=-1时,对应的函数值大小确定了a-b+c的值的大小.
例4
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图2所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2.下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>-1时,y的值随x值的增大而增大.
其中正确的结论有(
)
A.1个
B.2个
c.3个
D.4个
图2
解析:
①,由图象知对称轴x==2,得4a+b=0,故①正确.
②,由图象知当x=-3时,9a-3b+c<0,9a+c<3b,故②错误.
③,由图象知当x=2时,4a+2b+c>0,8a+4b+2c>0.
因为图象开口向下,所以a<0,又x==2,所以b>0,所以3b>0.所以8a+7b+2c>0.故③正确.
④由图象知当x>2时,y随x的增大而减少,故④错误.
综上①③正确.
故选B.
评注:
解决此类问题的关键是掌握a、b、c、x=-b2a、a+b+c、b2-4ac等数量与抛物线的位置之间的关系,能将数形结合起来,并进行灵活转换.另外还需具有将不等式或等式灵活变形的能力.
考点4求二次函数的解析式
例5
设抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2),B(4,3),c三点,其中点c在直线x=2上,且点c到抛物线的对称轴的距离等于1,则抛物线的函数解析式为_____________________.
解析:
因为抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2),所以函数解析式为y=ax2+bx+2.
因为点c在直线x=2上且到抛物线的对称轴的距离等于1,可得对称轴为x=1或x=3,所以可以建立以下两个方程组:
(1),
(2).由方程组
(1)解得,;由方程组
(2)解得,.故答案为或.
评注:
向这类求二次函数的解析式,一般用待定系数法求解.
误区点拨
.忽视二次项系数a≠0的错误
例1求关于x的二次函数y=x|m|中m值.
错解:
根据二次函数的概念,得|m|=2,所以m=2或-2,所以
m=2或m=-2.
剖析:
根据二次函数的定义,要使y=x|m|是二次函数,m需满足两个条件:
|m|=2且m+2≠0.两者缺一不可.
正解:
当m=2时,y=x|m|是二次函数.
2.忽视分类的错误
例2
已知关于x的函数y=x2-x+m的图象与轴总有交点,试求m的取值范围.
错解:
由题意得,
=〔-〕2-4•m=m+4>0,解得m>-4.
又m+3≠0,即m≠-3,故m的取值范围为:
m>-4且m≠-3.
剖析:
错解看似天衣无缝,思考严密.但函数图象与x轴有交点,并没有指明有几个交点,有一个交点或有两个交点都符合题意;并且未指明是二次函数还是一次函数,错解正是由于忽视了这些问题导致错误.
正解:
事实上①当m=-4,=0,抛物线与x轴有一个交点;②当m=-3时,函数为一次函数y=x-与x轴也有一个交点,从而正确答案为m≥-4.
跟踪训练
.给出下列函数:
①y=x2+1;②y=1x2+1;③y=x2+1;④y=x+1;⑤y=2-x2;⑥y=ax2+bx+c,⑦;⑧;⑨,其中二次函数有
A.1个
B.2个
c.3个
D.4个
2.二次函数y=x2-4x+5的最小值是( )
A.-1
B.1
c.3
D.5
3.(XX•泸州)若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为x=-1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是(
)
A.x<-4或x>2
B.-4≤x≤2
c.x≤-4或x≥2
D.-4<x<2
4.(XX•深圳)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出以下结论:
①a>0,②b>0,③c<0,④b2-4ac>0其中所有正确结论的序号是(
)
A.②④
B.①③
c.③④
D.①②③
第4题图
5.抛物线y=-2x2+5x-3与y轴的交点坐标是_________,与x轴的交点坐标是_________.
6.若关于x的函数y=kx+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为_______________________
6.2二次函数的应用
基础盘点
用二次函数通常可以求实际的最大最小面积问题、物体运动的轨迹等问题、营销中的最大利润最小成本问题、拱桥的高或宽的问题、实际中的最佳方案、最适宜的温度问题以及探究规律性的问题.
解决问题的一般环节如下:
考点呈现
例1九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:
售价(元/件)
00
10
20
30
…
月销量(件)
200
80
60
40
…
已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.
(1)请用含x的式子表示:
①销售该运动服每件的利润是
元;②月销量是
件;(直接写出结果)
(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?
解析:
(1)①(x-60);②(―2x+400).
(2)依题意,可得y=(x-60)×(―2x+400)=―2x2+520x―24000=―2(x―130)2+9800≤9800.
当x=130时,y有最大值9800.
所以售价为每件130元时,当月的利润最大,最大利润是9000元.
评注:
学会建立二次函数模型来解题,求最值问题一般要把二次函数表达式化成顶点式,这样就可以在自变量的取值范围内讨论函数的最值.
例2如图1所示是永州八景之一的愚溪桥,桥身横跨愚溪,面临潇水,桥下冬暖夏凉,常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型,在正常水位下测得主拱宽24m,最高点离水面8m,以水平线AB为x轴,AB的中点为原点建立坐标系.
(1)求此桥拱线所在抛物线的解析式.
(2)桥边有一浮在水面部分高4m,最宽处12m的河鱼餐船,试探索此船能否开到桥下?
说明理由.
图1
解析:
(1)A(-12,0),B(12,0),c(0,8).设抛物线解析式为,代入c点坐标得c=8,代入A,B点坐标得解得即所求抛物线为
当y=4时,
解得
即高出水面4m处,拱宽为m,与船的宽度相等.所以此船在正常水位时开不到桥下.
评注:
解决呈抛物线形状的实际问题时,通常的步骤是:
(1)建立合适的平面直角坐标系;
(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标;(3)设出抛物线的解析式,并将点的坐标代入函数解析式,求出函数解析式;(4)利用函数关系式解决实际问题.
例3
某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练,如图2,出球口在桌面中线端点A处的正上方,假设每次发现的乒乓球的运动路线固定不变,且落在中线上.在乒乓球运行时,设乒乓球与端点A的水平距离为(米),与桌面的高度为(米),运动时间为(秒),经过多次测试后,得到如下部分数据:
(秒)
0
0.16
0.2
0.4
0.6
0.64
0.8
…
(米)
0
0.4
0.5
.5
.6
2
…
(米)
0.25
0.378
0.4
0.45
0.4
0.378
0.25
…
⑴当为何值时,乒乓球达到最大高度?
⑵乒乓球落在桌面时,与端点A的水平距离是多少?
⑶乒乓球落在桌面上弹起,与满足=.
①用含的代数式表示;
②球网高度为0.14米,球桌长(1.4×2)米.若球弹起后,恰好有唯一的击球点,可以将球沿直线扣杀到点A,求的值.
图2
解析:
以点A为原点,以桌面中线为轴,乒乓球运动方向为正方向,建立平面直角坐标系.
⑴由表格中的数据,可得=0.4(秒).
答:
当为0.4秒时,乒乓球达到最大高度.
⑵由表格中数据,可画出关于的图象,根据图象的形状,可判断是的二次函数.可设=.将(0,0.25)代入,可得=.∴=.
当=0时,=,=(舍去),即乒乓球与端点A的水平距离是米.
⑶①由⑵,得乒乓球落在桌面上时,对应的点为(,0).
代入=,得=0,化简整理,得=.
②由题意可知,扣杀路线在直线=上.
由①,得=.
令=,整理,得=0.
当==0时,符合题意.解方程,得=,=.
当=时,求得=,不符合题意,舍去.
当=时,求得=,符合题意.
答:
当=时,能恰好将球沿直线扣杀到点A.
评注:
本题以乒乓球为背景,把二次函数知识与实际生活结合起来,注意体会函数思想和方程思想的应用.
误区点拨
实际问题中坐标表示导致错误
例如图所示,有一座抛物线形拱桥,正常水位时水面宽为20m,拱顶离水面4m,在正常水位的基础上,当水位上升hm时,桥下水面宽为dm,在平面直角坐标系中表示B、D两点的坐标.
错解:
B(10,-4),D(,4-h).
剖析:
由抛物线的顶点在原点,对称轴是y轴,
可建立如图所示的平面直角坐标系.由于B、D两
点都在x轴下方,所以其纵坐标均为负值.当水位上
升hm时,D点的纵坐标应为h-4,易误认为D点的
纵坐标为4-h.实质上oE=(4-h)m,而D点纵坐标
为负值,所以应为h-4.
正解:
B(10,-4),D(,4-h).
评注:
本题看是求点B和点D的坐标,实际应用时,也可以求水位的高度,或求抛物线的解析式等,此类问题也是二次函数在中考时的热点之一.
跟踪训练
.用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形,a的值不可能为(
)
A.20
B.40
c.100
D.120
2.竖直向上发射的小球的高度h关于运动时间t的函数表达式为h=at2+bt,其图象如图所示,若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是
A.第3秒
B.第3.5秒
c.第4.2秒
D.第6.5秒
[:
Z,xx,]
第2题图
第3题图
3.世界羽联汤姆斯杯&尤伯杯决赛将在印度首都新德里进行.经过8天的激战,中国女队决赛中3-1战胜日本队顺利卫冕,第13次捧得尤杯.在比赛中,某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=-14x2+bx+c的一部分,其中出球点B离地面点o的距离是1m,球落地点A到点o的距离是4m,这条抛物线的解析式是
A.y=-14x2+34x+1
B.y=-14x2+34x-1
c.y=-14x2-34x+1
D.y=-14x2-34x-1
4.在平原上,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y=-x2+10x.经过______(s)时间,炮弹达到它的最高点,最高点的高度是_____(m);经过____(s)时间,炮弹落在地上爆炸.
5.(XX•丹东)某商店购进一种商品,每件商品进价30元.试销中发现这种商品每天的销
售量y与每件销售价x的关系数据如下:
x
30
32
34
36
y
40
36
32
28
(1)已知y与x满足一次函数关系,根据上表,求出y与x之间的关系式(不写出自变量x的取值范围);
(2)如果商店销售这种商品,每天要获得150元利润,那么每件商品的销售价应定为多少元?
(3)设该商店每天销售这种商品所获利润为w,求出w与x之间的关系式,并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大?
6.(XX•随州)如图,某足球运动员站在点o处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:
m)与飞行时间t(单位:
s)之间满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?
最大高度是多少?
(2)若足球飞行的水平距离x(单位:
m)与飞行时间t(单位:
s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门?
参考答案
6.1二次函数的图象和性质
.B
2.B
3.D
4.A
5.
,6.k=0或k=-1
6.2二次函数的应用
.D
2.c 3.A 4.25
25
50
5.解:
(1)设该函数的表达式为y=kx+b,根据题意,得,解得,
所以该函数的表达式为y=-2x+100;
(2)根据题意,得(-2x+100)(x-30)=150,解得x1=35,x2=45.
所以每件商品的销售价定为35元或45元时日利润为150元
(3)根据题意,得w=2+200
因为a=-2<0,则抛物线开口向下,函数有最大值
即当x=40时,w的值最大.
所以当销售单价为40元时获得利润最大.
6.解:
(1)由题意得:
函数y=at2+5t+c的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),
所以解得a=-,c=,所以抛物线的解析式为y=-t2+5t+=-2+,所以当t=时,y最大=.答:
足球飞行的时间是s时,足球离地面最高,最大高度是m;
(2)把x=28代入x=10t,得28=10t,所以t=2.8,所以当t=2.8时,y=-×2.82+5×2.8+
=2.25<2.44,所以他能将球直接射入球门.
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