人教版九年级数学上册《点和圆的位置关系》拔高练习.docx
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人教版九年级数学上册《点和圆的位置关系》拔高练习
《点和圆的位置关系》拔高练习
一、选择题(本大题共5小题,共25.0分)
1.(5分)已知⊙O的直径为10,OA=6,则点A在( )
A.⊙O上B.⊙O外C.⊙O内D.无法确定
2.(5分)在平面直角坐标系中,⊙O的圆心在点(1,0),半径为2,则下面各点在⊙O上的是( )
A.(2,0)B.(0,2)C.(0,
)D.(
,0)
3.(5分)若⊙O的直径为12,点P在⊙O外,则OP的长可能是( )
A.4B.5C.6D.7
4.(5分)已知⊙O的面积为25π,圆心为原点O,则点P(5,0)与⊙O的位置关系是( )
A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.不能确定
5.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若点P(4,3)在⊙O内,则⊙O的半径r的取值范围是( )
A.0<r<4B.3<r<4C.4<r<5D.r>5
二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)
6.(5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1,A、B两点坐标分别为(3,4)、(3,﹣3).已知点P是⊙O上的一点,点Q是线段AB上的一点,设△OPQ的面积为S,当△OPQ为直角三角形时,S的取值范围为 .
7.(5分)我们发现:
若AD是△ABC的中线,则有AB2+AC2=2(AD2+BD2),请利用结论解决问题:
如图,在矩形ABCD中,已知AB=20,AD=12,E是DC中点,点P在以AB为直径的半圆上运动,则CP2+EP2的最小值是 .
8.(5分)⊙O的半径为10cm,点P到圆心O的距离为12cm,则点P和⊙O的位置关系是 .
9.(5分)在同一平面内,⊙O的直径为2cm,点P到圆心O的距离是3cm,则点P与⊙O的位置关系是 .
10.(5分)点A(0,3),点B(4,0),则点O(0,0)在以AB为直径的圆 (填内、上或外)
三、解答题(本大题共5小题,共50.0分)
11.(10分)如图,在平面直角坐标系中,A(0,4)、B(4,4)、C(6,2).
(1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置;
(2)点M的坐标为 ;
(3)若DM=2
,判断点D与⊙M的位置关系.
12.(10分)如图,在平面直角坐标系中,A(0,4)、B(4,4)、C(6,2).
(1)点M的坐标为 ;
(2)判断点D(4,﹣3)与⊙M的位置关系.
13.(10分)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,求证:
A,B,C,D四个点在同一个圆上.
14.(10分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=a(a>5).点P在以A为圆心、AB长为半径的⊙A上,且在矩形ABCD的内部,P到AD、CD的距离PE、PF相等.
(1)若a=7,求AE长;
(2)若⊙A上满足条件的点P只有一个,求a的值;
(3)若⊙A上满足条件的点P有两个,求a的取值范围.
15.(10分)小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论:
P1P2=
;他还证明了线段P1P2的中点P(x,y)的坐标公式是:
x=
,y=
;
启发应用
请利用上面的信息,解答下面的问题:
如图,在平面直角坐标系中,已知A(8,0),B(0,6),C(1,7),⊙M经过原点O及点A、B.
(1)求⊙M的半径及圆心M的坐标;
(2)判断点C与⊙M的位置关系,并说明理由.
《点和圆的位置关系》拔高练习
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共5小题,共25.0分)
1.(5分)已知⊙O的直径为10,OA=6,则点A在( )
A.⊙O上B.⊙O外C.⊙O内D.无法确定
【分析】先求出⊙O的半径,再根据点与圆的位置关系即可求解.
【解答】解:
∵⊙O的直径为10,
∴⊙O的半径为5,
∵OA=6>5,
∴点A在⊙O外.
故选:
B.
【点评】本题考查了点与圆的位置关系:
设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:
①点P在圆外⇔d>r;
②点P在圆上⇔d=r;
③点P在圆内⇔d<r.
2.(5分)在平面直角坐标系中,⊙O的圆心在点(1,0),半径为2,则下面各点在⊙O上的是( )
A.(2,0)B.(0,2)C.(0,
)D.(
,0)
【分析】根据点的坐标性质结合勾股定理得出斜边长,进而得出点与⊙O关系.
【解答】解:
A、点(2,0)到⊙O的圆心(1,0)的距离为:
2﹣1=1<2,所以点(2,0)在⊙O内,错误;
B、点(0,2)到⊙O的圆心(1,0)的距离为:
>2,所以点(2,0)在⊙O外,错误;
C、点(0,
)到⊙O的圆心(1,0)的距离为:
=2,所以点(2,0)在⊙O上,正确;
D、点(
,0)到⊙O的圆心(1,0)的距离为:
﹣1<2,所以点(2,0)在⊙O内,错误;
故选:
C.
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系,点与圆的位置关系有3种.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:
①点P在圆外⇔d>r,②点P在圆上⇔d=r,③点P在圆内⇔d<r.
3.(5分)若⊙O的直径为12,点P在⊙O外,则OP的长可能是( )
A.4B.5C.6D.7
【分析】根据题意可以求得OP的取值范围,从而可以解答本题.
【解答】解:
∵⊙O的直径为12,点P在⊙O外,
∴OP>6
故选:
D.
【点评】本题考查点和圆的位置关系,解答本题的关键是明确题意,求出OP的取值范围.
4.(5分)已知⊙O的面积为25π,圆心为原点O,则点P(5,0)与⊙O的位置关系是( )
A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.不能确定
【分析】先根据圆的面积求得圆的半径,再根据点与圆心的距离与半径的大小关系,即当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;点在圆外;当d<r时,点在圆内;来确定点与圆的位置关系.
【解答】解:
∵⊙O的面积为25π,
∴⊙O的半径r=5,
∵点P(5,0)与圆心O的距离为5,
∴r=OP,
∴点P在⊙O上,
故选:
B.
【点评】本题考查了点与圆的位置关系:
设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有点P在圆外⇔d>r;点P在圆上⇔d=r点P在圆内⇔d<r.
5.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若点P(4,3)在⊙O内,则⊙O的半径r的取值范围是( )
A.0<r<4B.3<r<4C.4<r<5D.r>5
【分析】本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d,再根据点与圆心的距离与半径的大小关系,即当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;点在圆外;当d<r时,点在圆内;来确定点与圆的位置关系.
【解答】解:
∵点P(4,3),
∴PO=
=5,
∵点P在⊙O内,
∴r>OP,即r>5,
故选:
D.
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系,解题的关键是能够根据勾股定理求得点到圆心的距离,根据数量关系判断点和圆的位置关系.
二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)
6.(5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1,A、B两点坐标分别为(3,4)、(3,﹣3).已知点P是⊙O上的一点,点Q是线段AB上的一点,设△OPQ的面积为S,当△OPQ为直角三角形时,S的取值范围为
≤S≤
; .
【分析】根据△OPQ为直角三角形时,∠OQP不可能为90°,所以分两种情况:
分别以O和P为直角顶点,根据直径所对的圆周角为直角,通过画辅助圆确定P和Q,画图,根据直角三角形面积公式计算可得结论.
【解答】解:
①当P为直角顶点时,
当OQ最长时,如图1,OQ=5,Q与A重合,PQ=
=2
,S大=
×1×2
=
,
当OQ最短时,OQ=3,此时OQ⊥AB,PQ=
=2
,S小=
=
;
②当Q为直角顶点时,如图2,
当Q与A重合时,OA最大,此时S=
×1×5=
>
,
当OQ⊥AB时,S最小,S=
=
,
综上,当△OPQ为直角三角形时,S的取值范围为
≤S≤
;
故答案为:
≤S≤
.
【点评】本题考查了圆的有关性质,直角三角形的判定和性质,勾股定理的应用,用直径所对的圆周角为直角,分情况作图是关键.
7.(5分)我们发现:
若AD是△ABC的中线,则有AB2+AC2=2(AD2+BD2),请利用结论解决问题:
如图,在矩形ABCD中,已知AB=20,AD=12,E是DC中点,点P在以AB为直径的半圆上运动,则CP2+EP2的最小值是 68 .
【分析】设点O为AB的中点,H为CE的中点,连接HO交半圆于点P,此时PH取最小值,根据矩形的性质得到CD=AB,EO=AD,求得OP=CE=
AB=10过H作HG⊥AB于g,根据矩形的性质得到HG=12,OG=5,于是得到结论.
【解答】解:
设点O为AB的中点,H为CE的中点,
连接HO交半圆于点P,此时PH取最小值,
∵AB=20,四边形ABCD为矩形,
∴CD=AB,EO=AD,
∴OP=CE=
AB=10,
∴CP2+EP2=2(PH2+CH2).
过H作HG⊥AB于g,
∴HG=12,OG=5,
∴PH=13,
∴PH=3,
∴CP2+EP2的最小值=2(9+25)=68,
故答案为:
68.
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系,利用三角形三边关系找出PE的最小值是解题的关键.
8.(5分)⊙O的半径为10cm,点P到圆心O的距离为12cm,则点P和⊙O的位置关系是 点P在⊙O外 .
【分析】根据点与圆心的距离d,则d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d<r时,点在圆内.
【解答】解:
∵⊙O的半径r=10cm,点P到圆心O的距离OP=12cm,
∴OP>r,
∴点P在⊙O外,
故答案为:
点P在⊙O外.
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有:
当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上,当d<r时,点在圆内.
9.(5分)在同一平面内,⊙O的直径为2cm,点P到圆心O的距离是3cm,则点P与⊙O的位置关系是 点P在⊙O外 .
【分析】要确定点与圆的位置关系,主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系;本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d,则d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d<r时,点在圆内.
【解答】解:
∵⊙O的直径为2cm,
∴半径r=1cm,
∵d=3,且d>r,
∴点P与⊙O的位置关系是:
点P在⊙O外,
故答案为:
点P在⊙O外.
【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有:
当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上,当d<r时,点在圆内.
10.(5分)点A(0,3),点B(4,0),则点O(0,0)在以AB为直径的圆 上 (填内、上或外)
【分析】先得出圆的圆心坐标C,进而得出OC的长与半径的长进行比较解答即可.
【解答】解:
如图,
∵点A(0,3),点B(4,0),
∴AB=
,点C(2,1.5),
∴OC=
=CA,
∴点O(0,0)在以AB为直径的圆上,
故答案为:
上
【点评】本题考查点与圆的位置关系的判断,是基础题,解题时要认真审题.
三、解答题(本大题共5小题,共50.0分)
11.(10分)如图,在平面直角坐标系中,A(0,4)、B(4,4)、C(6,2).
(1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置;
(2)点M的坐标为 (2,0) ;
(3)若DM=2
,判断点D与⊙M的位置关系.
【分析】
(1)由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线,它们的交点即为点M;
(2)根据图形即可得出点M的坐标
(3)用两点间距离公式求出圆的半径的长,当DM小于圆的半径时点D在圆内.
【解答】
解:
(1)如图1,点M就是要找的圆心;
(2)圆心M的坐标为(2,0).
故答案为(2,0);
(3)圆的半径AM=
=2
.
∵DM=2
,
所以点D在⊙M上.
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系,坐标与图形性质以及垂径定理,利用网格结构得到圆心M的坐标是解题的关键.
12.(10分)如图,在平面直角坐标系中,A(0,4)、B(4,4)、C(6,2).
(1)点M的坐标为 (2,0) ;
(2)判断点D(4,﹣3)与⊙M的位置关系.
【分析】
(1)根据垂径定理的推论:
弦的垂直平分线必过圆心,可以作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.
(2)求出⊙M的半径,MD的长即可判断;
【解答】解:
(1)根据垂径定理的推论:
弦的垂直平分线必过圆心,
可以作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.
如图所示,则圆心是(2,0)
故答案为:
2,0.
(2)圆的半径AM=
=2
,
线段MD=
=
<2
,
所以点D在⊙M内.
【点评】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点,点与圆的位置关系等知识,能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键.
13.(10分)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,求证:
A,B,C,D四个点在同一个圆上.
【分析】连接BD,取BD的中点O,连接OA,OC,只要证明OA=OB=OD=OC即可;
【解答】证明:
连接BD,取BD的中点O,连接OA,OC.
∵∠BAD=∠BCD=90°,OB=OD,
∴OA=OB=OD=OC,
∴A,B,C,D四个点在同一个圆上.
【点评】本题考查点与圆的位置关系,直角三角形斜边中线的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.
14.(10分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=a(a>5).点P在以A为圆心、AB长为半径的⊙A上,且在矩形ABCD的内部,P到AD、CD的距离PE、PF相等.
(1)若a=7,求AE长;
(2)若⊙A上满足条件的点P只有一个,求a的值;
(3)若⊙A上满足条件的点P有两个,求a的取值范围.
【分析】
(1)连接AP,根据勾股定理解答即可;
(2)当△APD是等腰直角三角形时,⊙A上满足条件的点P只有一个,
(3)利用
(2)中结论,即可解决问题;
【解答】解:
(1)连接AP,
设AE=x,则(7﹣x)2+x2=25,
解得x=3或4
所以AE的长为3或4;
(2)当△APD是等腰直角三角形时,⊙A上满足条件的点P只有一个,
此时AD=
AP=5
(3)观察图象可知:
当5<a<5
时,存在两个点P满足条件;
【点评】此题考查矩形的性质,直线与圆的位置关系,正方形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
15.(10分)小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论:
P1P2=
;他还证明了线段P1P2的中点P(x,y)的坐标公式是:
x=
,y=
;
启发应用
请利用上面的信息,解答下面的问题:
如图,在平面直角坐标系中,已知A(8,0),B(0,6),C(1,7),⊙M经过原点O及点A、B.
(1)求⊙M的半径及圆心M的坐标;
(2)判断点C与⊙M的位置关系,并说明理由.
【分析】
(1)先确定出AB=10,进而求出圆M的半径,最后用线段的中点坐标公式即可得出结论;
(2)求出CM=5和圆M的半径比较大小,即可得出结论.
【解答】解:
(1)∵∠AOB=90°,
∴AB是⊙M的直径,
∵A(8,0),B(0,6),
∴AB=
=10,
∴⊙M的半径为5,
由线段中点坐标公式x=
,y=
,得x=4,y=3,
∴M(4,3),
(2)点C在⊙M上,
理由:
∵C(1,7),M(4,3),
∴CM=
=5,
∴点C在⊙M上.
【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系,解题的关键是对两点间的距离公式的理解和掌握,灵活运用线段中点坐标公式和两点间距离公式.
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