高考数学理科一轮复习对数与对数函数学案带答案.docx
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高考数学理科一轮复习对数与对数函数学案带答案
高考数学(理科)一轮复习对数与对数函数学案带答案
学案8 对数与对数函数
导学目标:
1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点,知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a0,a≠1),体会对数函数是一类重要的函数模型.
自主梳理
1.对数的定义
如果________________,那么数x叫做以a为底N的对数,记作__________,其中____叫做对数的底数,______叫做真数.
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质(a0且a≠1)
①=____;②=____;
③=____;④=____.
(2)对数的重要公式
①换底公式:
logbN=________________(a,b均大于零且不等于1);
②=,推广=________.
(3)对数的运算法则
如果a0且a≠1,M0,N0,那么
①loga(MN)=___________________________;
②logaMN=______________________;
③logaMn=__________(n∈R);
④=nmloga.对数函数的图象与性质
a10a1
图
象
性
质
(1)定义域:
______
(2)值域:
______
(3)过点______,即x=____时,y=____
(4)当x1时,______
当0x1时,______(5)当x1时,______当0x1时,______
(6)是(0,+∞)上的______函数(7)是(0,+∞)上的______函数
4.反函数
指数函数y=ax与对数函数____________互为反函数,它们的图象关于直线______对称.
自我检测
1.(2010四川)2log510+log50.25的值为( )
A.0B.1C.2D.4
2.(2010辽宁)设2a=5b=m,且1a+1b=2,则m的值为( )
A.10B.10C.20D.100
3.(2009辽宁)已知函数f(x)满足:
当x≥4时,f(x)=12x;当x4时,f(x)=f(x+1).则f(2+log23)的值为( )
A.124B.112C.18D.(2010安庆模拟)定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上递增,f(13)=0,则满足0的x的取值范围是( )
A.(0,+∞)B.(0,12)∪(2,+∞)
C.(0,18)∪(12,2)D.(0,12)
5.(2011台州期末)已知0ab1c,m=logac,n=logbc,则m与n的大小关系是______.
探究点一 对数式的化简与求值
例1 计算:
(1);
(2)12lg3249-43lg8+lg245;
(3)已知2lgx-y2=lgx+lgy,求变式迁移1 计算:
(1)log2748+log212-12log242-1;
(2)(lg2)2+lg2lg50+lg2探究点二 含对数式的大小比较
例2
(1)比较下列各组数的大小.
①log323与log565;
②log1.10.7与log1.20
(2)已知log12blog12alog12c,比较2b,2a,2c的大小关系.
变式迁移2
(1)(2009全国Ⅱ)设a=log3π,b=log23,c=log32,则( )
A.abcB.acb
C.bacD.bca
(2)设a,b,c均为正数,且2a=,(12)b=,(12)c=log2c,则( )
A.abcB.cba0
C.cabD.bac
探究点三 对数函数的图象与性质
例3 已知f(x)=logax(a0且a≠1),如果对于任意的x∈[13,2]都有|f(x)|≤1成立,试求a的取值范围.
变式迁移3 (2010全国Ⅰ)已知函数f(x)=|lgx|,若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是( )
A.(22,+∞)B.[22,+∞)
C.(3,+∞)D.[3,+∞)
分类讨论思想的应用
例 (12分)已知函数f(x)=loga(1-ax)(a0,a≠1).
(1)解关于x的不等式:
loga(1-ax)f
(1);
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是f(x)图象上的两点,求证:
直线AB的斜率小于0.
【答题模板】
(1)解 ∵f(x)=loga(1-ax),
∴f
(1)=loga(1-a).∴1-a0.∴0a1.
∴不等式可化为loga(1-ax)loga(1-a).
∴1-ax0,1-ax1-a.,即ax1,axa.∴0x1.
∴不等式的解集为(0,1).[4分]
(2)证明 设x1x2,则f(x2)-f(x1)=-=.
∵1-ax0,∴ax1.
∴a1时,f(x)的定义域为(-∞,0);[6分]
0a1时,f(x)的定义域为(0,+∞).
当0a1时,∵x2x10,∴.
∴1.∴0.
∴f(x2)f(x1),即y2同理可证,当a1时,也有y2y1.[10分]
综上:
y2y1,即y2-y10.∴kAB=y2-y1x2-x10.
∴直线AB的斜率小于0.[12分]
【突破思维障碍】
解决含参数的对数问题,不可忽视对底数a的分类讨论,即a1或0a1,其次要看定义域,如果将函数变换,务必保证等价性.
1.求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤:
(1)确定定义域;
(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的,将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x);
(3)分别确定这两个函数的单调区间;
(4)若这两个函数同增或同减,则y=f(g(x))为增函数,若一增一减,则y=f(g(x))为减函数,即“同增异减”.
2.用对数函数的性质比较大小
(1)同底数的两个对数值的大小比较
例如,比较logaf(x)与logag(x)的大小,
其中a0且a≠1.
①若a1,则logaf(x)logag(x)⇔f(x)g(x)0.
②若0a1,则logaf(x)logag(x)⇔0f(x)g(x).
(2)同真数的对数值大小关系如图:
图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大,即0cd1ab.
3.常见对数方程式或对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)=logag(x)(a0且a≠1)等价于f(x)=g(x),但要注意验根.对于logaf(x)logag(x)等价于0a1时,a1时,
(2)形如F(logax)=0、F(logax)0或F(logax)0,一般采用换元法求解.
(满分:
75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2010北京市丰台区高三一调)设M={y|y=(12)x,x∈[0,+∞)},N={y|y=log2x,x∈(0,1]},则集合M∪N等于( )
A.(-∞,0)∪[1,+∞)B.[0,+∞)
C.(-∞,1]D.(-∞,0)∪(0,1)
2.(2010全国Ⅰ)设a=log32,b=ln2,c=5-12,则( )
A.abcB.bca
C.cabD.cba
3.(2010天津)若函数f(x)=log2x,x0,log12(-x),x0,若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)
4.(2011济南模拟)设函数f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当x≥1时,f(x)=lnx,则有( )
A.f(13)f
(2)f(12)
B.f(12)f
(2)f(13)
C.f(12)f(13)f
(2)
D.f
(2)f(12)f(13)
5.(2011青岛模拟)已知函数f(x)=ax+logax(a0,a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为( )
A.12B.14C.2D.4
题号12答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.2lg5+23lg8+lg5lg20+lg22=________.
7.(2011湖南师大附中检测)已知函数f(x)=lgax+a-2x在区间[1,2]上是增函数,则实数a的取值范围是____________.
8.已知f(3x)=4xlog23+233,则f
(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)=________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
10.(12分)(2011北京东城1月检测)已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)若a1时,求使f(x)0的x的解集..(14分)(2011郑州模拟)已知函数f(x)=lg(ax-bx)(a1b0).
(1)求y=f(x)的定义域;
(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于x轴;
(3)当a,b满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.
答案自主梳理
1.ax=N(a0,且a≠1) x=logaN a N 2.
(1)①N ②0 ③N ④1
(2)①logaNlogab ②logad (3)①logaM+logaN ②logaM-logaN ③nlogaM 3.
(1)(0,+∞)
(2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y0 y0 (5)y0 y0(6)增 (7)减 4.y=logax y=x
自我检测
1.C 2.A
3.A [因为32+log234,故f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23).又3+log234,故f(3+log23)=123+log23=12313=124.]
4.B [由题意可得:
f(x)=f(-x)=f(|x|),f(|log18x|)f(13),f(x)在[0,+∞)上递增,于是|log18x|13,解得x的取值范围是(0,12)∪(2,+∞).]
5.mn
解析 ∵m0,n0,∵mn=logaclogcb=logablogaa=1,∴m堂活动区
例1 解题导引 在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底和指数与对数互化.
解
(1)方法一 利用对数定义求值:
设=x,
则(2+3)x=2-3=12+3=(2+3)-1,
∴x=-1.
方法二 利用对数的运算性质求解:
=
==-1.
(2)原式=12(lg32-lg49)-43lg812+
12lg245=12(5lg2-2lg7)-43×32lg2+12(2lg7+lg5)
=52lg2-lg7-2lg2+lg7+12lg5
=12lg2+12lg5
=12lg(2×5)=12lg10=12.
(3)由已知得lg(x-y2)2=lgxy,
∴(x-y2)2=xy,即x2-6xy+y2=0.
∴(xy)2-6(xy)+1=0.∴xy=3±22.
∵x-y0,x0,y0,∴xy1,∴xy=3+22,
∴log(3-22)xy=log(3-22)(3+22)
=log3-2213-22=-1.
变式迁移1 解
(1)原式=log2748+log212-log242-log22
=log27×1248×42×2=log2122=log22-32=-32.
(2)原式=lg2(lg2+lg50)+lg25
=21g2+lg25=lg100=2.
例2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型,解决此类问题的方法很多,①当底数相同时,可直接利用对数函数的单调性比较;②若底数不同,真数相同,可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象,数形结合解得;③若不同底,不同真数,则可利用中间量进行比较.
解
(1)①∵log323log31=0,
而log565log51=0,∴log323log②方法一 ∵00.71,1.11.2,
∴0log0.71.1log0.71.2.
∴1log0.71.11log0.71.2,
由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.
方法二 作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象,
如图所示,两图象与x=0.7相交可知log1.10.7log1.20
(2)∵y=log12x为减函数,
且log12blog12alog12c,∴bac.
而y=2x是增函数,∴2b2a2c.
变式迁移2
(1)A [a=log3π1,b=12log23,则12b1,c=12log3212,∴abc.]
(2)A [∵a,b,c均为正,
∴log12a=2a1,log12b=(12)b∈(0,1),
log2c=(12)c∈(0,1).
∴0a12,12b1,1c2.
故abc.]
例3 解题导引 本题属于函数恒成立问题,即对于x∈[13,2]时,|f(x)|恒小于等于1,恒成立问题一般有两种思路:
一是利用图象转化为最值问题;二是利用单调性转化为最值问题.由于本题底数a为参数,需对a分类讨论.
解 ∵f(x)=logax,
则y=|f(x)|的图象如右图.
由图示,可使x∈[13,2]时恒有|f(x)|≤1,
只需|f(13)|≤1,即-1≤loga13≤1,
即logaa-1≤loga13≤logaa,
亦当a1时,得a-1≤13≤a,即a≥3;
当0a1时,得a-1≥13≥a,得0a≤综上所述,a的取值范围是(0,13]∪[3,+∞).
变式迁移3 C
[画出函数f(x)=|lgx|的图象如图所示.∵0ab,f(a)=f(b),∴0a1,b1,∴lga0,lgb0.由f(a)=f(b),
∴-lga=lgb,ab=1.
∴b=1a,∴a+2b=a+2a,
又0a1,函数t=a+2a在(0,1)上是减函数,
∴a+2a1+21=3,即a+2b3.]
课后练习区
1.C [∵x≥0,∴y=(12)x∈(0,1],∴M=(0,1].
当0x≤1时,y=log2x∈(-∞,0],即N=(-∞,0]. ∴M∪N=(-∞,1].]
2.C [∵1a=log231,1b=log2e1,log23log2e.
∴1a1b1,∴0ab1.
∵a=log32log33=12,∴a12.
b=ln2lne=12,∴b12.
c=5-12=1512,∴cab.]
3.C [①当a0时,f(a)=log2a,f(-a)=,
f(a)f(-a),即log2a=log21a,
∴a1a,解得a1.
②当a0时,f(a)=,f(-a)=log2(-a),
f(a)f(-a),即log2(-a)=,
∴-a1-a,解得-1a0,
由①②得-1a0或a1.]
4.C [由f(2-x)=f(x)知f(x)的图象关于直线x=2-x+x2=1对称,又当x≥1时,f(x)=lnx,所以离对称轴x=1距离大的x的函数值大,
∵|2-1||13-1||12-1|,
∴f(12)f(13)f
(2).]
5.C [当x0时,函数ax,logax的单调性相同,因此函数f(x)=ax+logax是(0,+∞)上的单调函数,f(x)在[1,2]上的最大值与最小值之和为f
(1)+f
(2)=a2+a+loga2,由题意得a2+a+loga2=6+loga2.即a2+a-6=0,解得a=2或a=-3(舍去).]
6.3
7.(1,2)
解析 因为f(x)=lga+a-2x在区间[1,2]上是增函数,所以g(x)=a+a-2x在区间[1,2]上是增函数,且g
(1)0,于是a-20,且2a-20,即1a2.
8.2008
解析 令3x=t,f(t)=4log2t+233,
∴f
(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)=4×(1+2+…+8)+8×233=4×36+1864=200.解 ∵f(x)=2+log3x,
∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=log23x+6log3x+6=(log3x+3)2-3.……(4分)
∵函数f(x)的定义域为[1,9],
∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须1≤x2≤9,1≤x≤9,∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1,(8分)
∴6≤(log3x+3)2-3≤当log3x=1,即x=3时,ymax=∴当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取最大值13.………………………………………(12分)
10.解
(1)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),则x+10,1-x0,解得-1x1.
故所求函数f(x)的定义域为{x|-1x1}.………………………………………………(4分)
(2)由
(1)知f(x)的定义域为{x|-1x1},
且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)
=-[loga(x+1)-loga(1-x)]
=-f(x),故f(x)为奇函数.………………………………………………………………(8分)
(3)因为当a1时,f(x)在定义域{x|-1x1}内是增函数,所以f(x)0⇔x+11-x1.
解得0x1.所以使f(x)0的x的解集是{x|0x1}.…………………………………(12分)
11.解
(1)由ax-bx0,得(ab)x1,且a1b0,得ab1,所以x0,即f(x)的定义域为(0,+∞).…………………………………………………………………………………………(4分)
(2)任取x1x20,a1b0,则0,,所以0,
即.故f(x1)f(x2).
所以f(x)在(0,+∞)上为增函数.………………………………………………………(8分)
假设函数y=f(x)的图象上存在不同的两点A(x1,y1)、B(x2,y2),使直线平行于x轴,则x1≠x2,y1=y2,这与f(x)是增函数矛盾.
故函数y=f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴.…………(10分)
(3)因为f(x)是增函数,所以当x∈(1,+∞)时,f(x)f
(1).这样只需f
(1)=lg(a-b)≥0,即当a≥b+1时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.……………………………………………(14分)
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