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正弦定理练习含答案
课时作业1
正弦定理
时间:
45分钟
满分:
100分
课堂训练
1.(2013·湖南理,3)在锐角△ABC中,角为a,b.若2asinB=3b,则角A等于()
A,B所对的边长分别
π
A.12
π
B.6π
π
C.4π
π
D.3π
答案】D
解析】本题考查了正弦定理由a
sinA=sinB
b,得sinA=23,
π
∴∠A=3.
故∠B=30°或150°,
由a>b,得∠A>∠B.
∴∠B=30°,故∠C=90°,
由勾股定理得c=2,故选B.
15
3.在△ABC中,若tanA=3,C=6π,BC=1,则AB=
【答案】210
【解析】∵tanA=13,且A为△ABC的内角,∴sinA=1100.由正弦
10
4.在△ABC中,若∠B=30°,AB=23,AC=2,求△ABC的周长.
【分析】
本题是已知两边及其一边所对的角,要求其周长,自
然要考虑去寻求第三边BC,但BC的对角∠A未知,只知道∠B,可结合条件由正弦定理先求出∠C,再由三角形内角和定理求出∠A.
【解析】
由正弦定理,得sinC=ABAsCinB=23.
∵AB>AC,∴∠C>∠B,
又∵0°<∠C<180,°∴∠C=60°或120.°
(1)如图
(1),当∠C=60°时,∠A=90°,BC=4,△ABC的周长为6+23;
(2)如图
(2),当∠C=120°时,∠A=30°,∠A=∠B,BC=AC=2,△ABC的周长为4+23.
综上,△ABC的周长为6+23或4+23.
【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时,应先由正弦定理求出正弦值,再判定这个角是否最大,若最大,则有两角,分
别为一个锐角、一个钝角,且两角互补,否则只有一解,且为锐角.
课后作业
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.在△ABC中,sinA=sinC,则△ABC是()
A.直角三角形B.等腰三角形
C.锐角三角形D.钝角三角形
【答案】B
【解析】∵sinA=sinC,∴由正弦定理得a=c,∴△ABC为等腰三角形,故选B.
2.已知△ABC的三个内角之比为A:
B:
C=1:
2:
3,那么abc=
()
A.1:
2:
3B.1:
2:
3
C.1:
2:
3D.1:
3:
2
答案】D
解析】设∠A=k,∠B=2k,∠C=3k,由∠A+∠B+∠C=180°
得,k+2k+3k=180°,∴k=30°,故∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°.
由正弦定理得
a:
b:
c=sinA:
sinB:
sinC=sin30:
s°in60:
sin°90=
1:
3:
2.
3.在△ABC中,
A.b=42
已知a=8,∠B=60°,∠C=75°,则()
B.b=43
C.b=46
32
D.b=3
答案】C
π
A.3π
C.3π或23π
4.已知△ABC中,a=1,b=3,A=6π,则B=()
B.23π
5π
D.6π或6
答案】
∴sinB=3·s1in30=°23,∴B=
5.在△ABC中,已知∠A=30°,a=8,b=83,则△ABC的面积S等于()
B.16
A.323
正弦定理练习含答案
C.326或16【答案】D
D.323或163
解析】由正弦定理,知
sinB=
bsinA83sin30°3a=8=2,
又b>a,∴∠B>∠A,∴∠B=60°或120.°
∴∠C=90°或30°.
1
∴S=2absinC的值有两个,即323或163.
cosAb8
6.在△ABC中,ccoossBA=ab=85,则△ABC的形状为()
A.钝角三角形B.锐角三角形
C.等腰三角形D.直角三角形
【答案】D
【解析】∵cosB=a=sinA,即sin2A=sin2B,∴∠A=∠B或∠A
ππ+∠B=2,又cosA≠cosB,∴∠A≠∠B,∴∠A+∠B=2,∴△ABC为直
角三角形.
7.已知△ABC中,2sinB-3sinA=0,∠C=6,S△ABC=6,则a=()
A.2
B.4
C.6
D.8
【答案】
B
【解析】
ab
由正弦定理得sinA=sinB,故由2sinB-3sinA=0,
得2b=3a.①
又S△ABC=21absinC=12absin6π=6,
∴ab=24.②
解①②组成的方程组得a=4,b=6.故选B.
8.在△ABC中,∠A=60°,a=13,则sinA+a+sinbB++csinC等于()
A.83A.3
B.239B.3
C.263
C.3
D.23
【答案】
B
【解析】
由a=2RsinA,
b=2RsinB,
c=2RsinC得
a+b+c
=2R=
a13
==
239.
=2R===
sinA+sinB+sinCsinAsin60°3
二、填空题(每小题10分,共20分)
b2-c2c2-a2a2-b2
9.在△ABC中,2sin2A+2sin2B+2sin2C的值为abc
【答案】0
【解析】可利用正弦定理的变形形式a=2RsinA,b=2RsinB,
c=2RsinC代入原式即可.
10.在锐角三角形
a
ABC中,若∠A=2∠B,则b的取值范围是
答案】(2,3)
解析】∵△ABC为锐角三角形,且∠A=2∠B,
0<2∠B<2π,
π
0<π-3∠B<2,
asinA
∵∠A=2∠B,∴sinA=sin2B=2sinBcosB,∴b=sinB=2cosB∈(2,
3).
三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11.
(1)在△ABC中,已知a=5,∠B=45°,∠C=105°,求b.
(2)在△ABC中,已知∠A=45°,a=2,b=2,求B.
【解析】
(1)∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=180°-(∠B+∠C)=
absinB
180°-(45°+105°)=30°.由正弦定理sinA=sinB,得b=a·sinA=
abbsinA2sin45
sinA=sinB,得sinB=a=2
又∵0°<∠B<180,°且a>b,∴∠B=30°.
【规律方法】
(1)中要注意在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°的
6+2
运用,另外sin105=°sin75=°sin(45+°30)=4.
(2)中要注意运用
三角形中大边对大角的性质,判定解的个数.
12.在△ABC中,已知sinA=
sinB+sinCcosB+cosC
判断△ABC的形状.
分析】当式子中只有角或只有边时,一般将其一端化为零,另一端化为因式之积,再因式分解,进而判断三角形的形状.
sinB+sinC
【解析】∵sinA=,
cosB+cosC
∴sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC.
∵∠A+∠B+∠C=π,
∴sinAcosB+sinAcosC=sin(A+C)+sin(A+B).
∴sinAcosB+sinAcosC
=sinAcosC+cosAsinC+sinAcosB+cosAsinB.
∴cosAsinC+sinBcosA=0.
∴cosA(sinB+sinC)=0.
∵∠B,∠C∈(0,π),∴sinB+sinC≠0.
π
∴cosA=0,∴∠A=2,∴△ABC为直角三角形.
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