九年级中考数学专题复习三角形及如何构造辅助线.docx
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九年级中考数学专题复习三角形及如何构造辅助线
九年级中考数学专题训练:
三角形常见辅助线的构造
班级:
姓名:
一、三垂直构造全等
1.如图,E是正方形ABCD的边DC上的一点,过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F,求证:
DE=BF
2.在△ABC中,∠ACB=900,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E。
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,△ADC≌△CEB,且DE=AD+BE。
你能说出其中的道理吗?
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,DE=AD-BE。
说说你的理由。
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系。
3.如图,有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD,将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点,两条直角边分别与CD交于点F,与CB延长线交于点E,则四边形AECF的面积是___________。
4.如图,四边形ABCE中,AB=BC,AB⊥BC,CE⊥AE,BD⊥AE于D,求证:
BD-CE=AD.
5.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC上一点,过D作DE⊥AD,且DE=AD,连接BE,求∠DBE的度数。
6.如图,OA=OB,OA⊥OB,∠ASO=135°,求证:
AS⊥BS。
7.已知△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点P在射线AC上,连接PB,将线段PB绕点B逆时针旋转90°得到线段BN,AN交直线BC于点M。
(1)如图1,若点P与点C重合,则
_________,
=___________(直接写出结果)
(2)如图2,若点P在线段AC上,求证:
AP=2MC;
(3)如图3,若点P在线段AC的延长线上,完成图形,并直接写出
=___________
8.已知△ABC,AB=BC,∠ABC=90°,E为直线BC上一点,EF⊥AE且EF=AE,连接CF。
(1)如图1.若点E在线段BC上,求∠FCE的度数;
(2)如图2,若点E在CB的延长线上,求∠FCE的度数
(3)如图3,若点E在BC的延长线上,完成作图,并直接写出∠FCE=____________.
二、与平面直角坐标系形成“三垂直”全等
1.如图,△ABC中,AB=BC,AB⊥BC,B(0,2),C
求点A的坐标。
2.如图,△ACB为等腰直角三角形,AC=BC,AC⊥BC,A(0,3),C(1,0),求B点坐标。
3.如图,△ACB为等腰直角三角形,A
,AC⊥BC。
求B点坐标。
4.如图,∠BAC=90°,AB=AC,且B
,求A点坐标。
5.如图,AB=AC,且AB⊥AC,若C
,求点A坐标。
“手拉手”三角形全等
1.已知在△ABC中,AB=AC,在△ADE中,AD=AE,且∠1=∠2,求证:
BD=CE
2.过点A分别作两个大小不一样的等边三角形,连接BD,CE,求证:
BD=CE
3.如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.求证:
;
4.如图,△ABD,△AEC都是等边三角形。
求证:
BE=CD;
∠BFC=120°,
AF平分∠DFE;
AF+BF=DF
5.如图,已知等边△ABC和等边△BPE,点P在BC的延长线上,EC的延长线交AP于点M,连接BM.
(1)求证:
AP=CE
(2)求∠PME的度数
(3)求证:
∠AMB=∠BME
(4)探究:
AM,BM,CM之间的数量关系。
6.如图,在平面直角坐标系中,△AOP为等边三角形,A(0,1),点B为y轴上一动点,以BP为边向上作等边△PBC。
(1)求证:
OB=OC
(2)求∠CAP的度数。
(3)当B点运动时,AE的长度是否发生变化。
7.如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.
(1)求∠A+∠C的度数
(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由。
8.
(1)如图1,已知△ABC,以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE,CD,请你完成作图,并证明:
BE=CD;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)如图2,已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,DC,BE与CD有什么数量关系?
请说明理由。
(3)运用
(1)、
(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已知测得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的长。
(提示,在Rt△中,若∠C=90°,则三边满足
)
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