实变函数试题库4及参考答案汇编.docx
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实变函数试题库4及参考答案汇编
实变函数试题库及参考答案(4)本科
一、填空题
1•设A,B为两个集合,则A-B_AC|Bc.
2•设E:
_R,如果E满足E=二E(其中E■表示E的导集),则E是
3•若开区间(:
•「)为直线上开集G的一个构成区间,则C,■)满(i)(a,b)—G
4•设A为无限集•则A的基数Aa(其中a表示自然数集N的基数)
5•设巳疋2为可测集,mE2^+^,则m(E!
E2)_mE!
—mE?
.
6•设「fn(x)}为可测集E上的可测函数列,且fn(x)=f(x),x•E,则由定理可知得
a.e
(xE).
存在Ifn(X)1的子列:
fnk(X)?
,使得fnk(X)—;f(X)
7.设f(x)为可测集E(Rn)上的可测函数,则f(x)在E上的L积分值存在且
|f(x)|在E上L可积•(填“一定”“不一定”)
、选择题
1•设E=1x,00乞x乞1?
,则()
4.若E[二Rn是开集,则()
三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案)
1设fx是a,b]上有界函数,且L可积,则()
2.设E={[0,1]中的无理点},则()
3.
若E(R)至少有一个内点,则()
A、[a,b]上的符号函数
B、[a,b]上的可测函数
四、判断题
C、E上的连续函数
D、[a,b]上的连续函数
4.设E[a,b]是可测集,则E的特征函数e(x)是()
1.零测集上的函数是可测函数更多精品文档
2.
()
()
且mGE=0.()
可列个闭集的并集仍为闭集
3.任何无限集均含有一个可列子集
4.设E为可测集,则一定存在G;_集G,使E二G,
五、定义题
1.为什么说有界变差函数几乎处处可微?
2.简述无穷多个开集的交集是否必为开集?
3.可测集E上的可测函数与简单函数有什么关系?
六、计算题
•3
sinx7•设fx二
IX
P为康托集,求
fxdx.
0,11
cosxdx.
ln(x+n)
8.求lime
n—?
C(n
(o,n)n
fn(X)=f(X),
七、证明题
1•设fn(X),gnX),fXgX(是)E上几乎处处有限的可测函数,且
gn(x)=g(x),则fn(x)gn(x)=f(x)g(x)
2•设f(x),g(x)是E上L-可积函数,则...f2(x)g2(x)在E上也是L-可积的
a.e于E
3•设f(x)是可测集E上的非负可测函数,如果*f(x)dx=O,贝Vf(x)=O
4•证明等式:
A(BUC)=(AB)n(AC)
实变函数试题库及参考答案(4)本科
一、填空题
1•等于2•闭集.3.(a,b)G4•一5•一6•黎斯7•不一定不一定8•界变差函数.
二、单选题
1.B2.B3.A4.B
三、多选题
1.BD2.CD3.BD4.ABC
四、判断题
五、定义题
1.答:
由若当分解定理,有界变差函数可表示成两个单调增函数的差,而单调函数几乎处处
可微,所以有界变差函数几乎处处可微•
2.答:
不一定,如1-!
-1,ll
n二InnJ
3.答:
简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数,可测函数一定可表示成简单函
数列的极限形式•
4.答:
单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数,有界变差函数可表示
成单调函数之差•
六、解答题
1•解:
因为mP=0,所以fxi;=x,a.e于0,11
是fxdx二xdx而x在1.0,1上连续,所以
0,1]0,11
/2x2i1
xdx二R0xdx二丁|。
「,iI22
1因此fxdx.
0,i]2
“ln(x+n)x
2•解:
令fn(x)=/eni(xecosx
■丿n
显然fnx在0,•:
:
上可测,且
Inxn亠
ecosxdx=fnxdx
0nn0:
:
因为fn(Xj兰
^^)e」cosx
n
lnxn「」
x0,:
:
n=1,2,川
n
不难验证gnx=
lnxn,当n足够大时,是单调递减非负函数,且
n
limgnx;=0,所以
n_
Inxndx=lim
Jn^sc
lim
■(o,乡n
gnXdx=:
j_limgnX二0dx=0
・門
由勒贝格控制收敛定理limIfnxdx=0
f严)
故nm
f,n
lnxn亠
ecosxdx二0.
七、证明题
1•证明对任何正数二0,由于
|(fn(X)gn(X))-(f(X)g(X))|_|fn(X)-f(X)||gn(x^g(x)|
所以E[X|(fn(Xgn(X))-(f(X)g(X))|二]
E[X|fn(X)一f(X)|一才]UE[X|gn(X)_g(X)|_》]
于是mE[x|(fn(x)gn(X))-(f(x)g(X))|二]
乞mE[x|fn(x)-f(x)|_2】mE[x|gn(x)-g(x)|冷「0(n「:
)
故fn(X)gn(X)二f(X)g(x)
2•证明因f(x),g(x)是E上L-可积,所以|f(x)|,|g(x)|在E上L-可积,从而
|f(x)||g(x)|L-可积,
又.f2(x)g2(x)乞,(|f(x)||g(x)|)2=|f(x)||g(x)|
故、f2(x)g2(x)在E上L-可积
3.证明反证,令E[x|f(x)0],则由f(x)的可测性知,A是可测集.下证mA=0,
若不然,则mA-0
71
由于A=E[x|f(x)AO]=|Je[x|f(xp-],所以存在N釘,使
心n
mE[x|f(x)冷]=d■0
111d
于是f(x)dx_if(x)dx_idxmE[x|f(x)]0
」E''」E[x|f(x)希]',」E[xf(x)命]NNNN
因此ef(x)dx-0,矛盾,故f(x)=0a.e于E
4.证明
a(bUA(BC)二HaCPBcRAcb)Ci(ac£)Qab)(ac
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