北师大版八年级下册数学期末考试试题及答案.docx
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北师大版八年级下册数学期末考试试题及答案
北师大版八年级下册数学期末考试试卷
一、单选题
1.下列图案中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2.分式
在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x=﹣1B.x≠﹣1C.x≠0D.x>﹣1
3.已知两个不等式的解集在数轴上如右图表示,那么这个解集为()
A.x≥-1B.x>1C.-3
4.下列从左到右的变形属于因式分解的是( )
A.(x+2)(x﹣2)=x2﹣4B.x﹣1=x(1﹣
)
C.x2+3x+1=x(x+3)+1D.x2﹣9=(x+3)(x﹣3)
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,CD⊥AB于D,则∠DCB等于( )
A.70°B.50°C.40°D.20°
6.已知
,则
的值为( )
A.
B.9C.
D.6
7.对于命题“若a>b,则a2>b2”,小明想举一个反例说明它是一个假命题,则符合要求的反例可以是( )
A.a=﹣1,b=0B.a=2,b=﹣1C.a=2,b=1D.a=﹣1,b=﹣2
8.如图,OD平分∠AOB,DE⊥AO于点E,DE=4.2,F是射线OB上的任一点,则DF的长度不可能是( )
A.3.9B.4.2C.4.7D.5.84
9.下列说法中,错误的是( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.有一个角是直角的平行四边形是矩形
C.矩形的对角线相等D.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
10.不等式组
有两个整数解,则实数m的取值范围为( )
A.﹣5≤m<﹣4B.﹣5<m<﹣4
C.﹣5<m≤﹣4D.﹣5≤m≤﹣4
二、填空题
11.用不等式表示“x+1是负数”:
________.
12.分解因式:
2x2﹣6x=_______.
13.若分式
的值为零,则x的值为_____.
14.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AC=3km,AB=5km,则M,C两点间的距离为______km.
15.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D,E,若AB=6cm,AC=8cm,则△ABD的周长为_____cm.
16.如图,∠1=70°,直线a平移后得到直线b,则∠2-∠3=__________.
17.在平面直角坐标系xOy中,一次函数y1=kx+b与y2=x+m的图象如图所示,若它们的交点的横坐标为2,则下列三个结论中正确的是_______(填写序号).
①直线y2=x+m与x轴所夹锐角等于45°;②k+b>0;③关于x的不等式kx+b<x+m的解集是x<2.
三、解答题
18.解不等式组
19.先化简,再求值:
,其中x=3.
20.在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,0),B(3,3),C(4,1).
(1)画出△ABC及△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB1C1;
(2)分别写出B1和C1的坐标.
21.如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,BE=FC.
(1)求证:
△ABC≌△DFE;
(2)连接AF、BD,求证:
四边形ABDF是平行四边形.
22.如图,点P,M,N分别在等边△ABC的各边上,MP⊥AB于点P,MN⊥BC于点M,PN⊥AC于点N.
(1)求证:
△PMN是等边三角形;
(2)若BP=2cm,求等边△ABC的边长.
23.在2021年春季环境整治活动中,红旗社区计划对面积为1600m2的区域进行绿化.经投标由甲、乙两个工程队来完成,若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍,并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时,甲队比乙队少用5天.
(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积;
(2)设甲工程队施工x天,乙工程队施工y天,刚好完成绿化任务.已知甲队每天绿化费用是0.6万元,乙队每天绿化费用为0.25万元,且甲乙两队施工的总天数不超过25天,请问应该如何安排甲、乙两队施工的天数,使施工总费用最低?
最低费用是多少?
24.如图①所示是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个正方形.
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积(直接用含m,n的代数式表示).
方法一:
;
方法二:
.
(2)根据
(1)中面积相等的关系,你能得出怎样的等量关系?
(用含m的等式表示)
(3)根据
(2)题中的等量关系,解决如下问题:
已知实数a,b满足:
a+b=10,ab=8,求a﹣b的值.
(4)根据图③,写出一个等式:
.
25.如图,Rt△CEF中,∠C=90°,∠CEF,∠CFE外角平分线交于点A,过点A分别作直线CE,CF的垂线,B,D为垂足.
(1)∠EAF= °(直接写出结果不写解答过程);
(2)①求证:
四边形ABCD是正方形.
②若BE=EC=3,求DF的长.
(3)如图
(2),在△PQR中,∠QPR=45°,高PH=5,QH=2,则HR的长度是 (直接写出结果不写解答过程).
参考答案
1.B
【解析】
根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可,轴对称图形:
平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形.中心对称图形:
在平面内,把一个图形绕着某个点旋转
,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形.
【详解】
A.是轴对称图形,不是中心对称图形,故该选项不符合题意;
B.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故该选项符合题意;
C.是轴对称图形,不是中心对称图形,故该选项不符合题意;
D是轴对称图形,不是中心对称图形,故该选项不符合题意.
故选B.
2.B
【解析】
直接利用分式有意义的条件是分母不等于零,进而得出答案.
【详解】
解:
∵分式
在实数范围内有意义,
∴x+1≠0,
解得:
x≠﹣1.
故选:
B.
【点睛】
本题考查分式有意义的条件,熟练掌握分式有意义的条件是解题关键.
3.A
【解析】
>-3,
≥-1,大大取大,所以选A
4.D
【解析】
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式,可得答案.
【详解】
解:
A.(x+2)(x﹣2)=x2﹣4,是整式的乘法,不是因式分解,故此选项不符合题意;
B.x﹣1=x(1﹣
),没把一个多项式化为几个整式的积的形式,不是因式分解,故此选项不符合题意;
C.x2+3x+1=x(x+3)+1,不是把一个多项式化为几个整式的积的形式,故此选项不符合题意;
D.x2﹣9=(x+3)(x﹣3),把一个多项式化为几个整式的积的形式,故此选项符合题意;
故选:
D.
【点睛】
本题考查了因式分解的意义.掌握因式分解的定义:
把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题关键.
5.D
【解析】
解:
∵AB=AC,∠A=40°,∴∠B=∠C=(180°-40°)÷2=70°,
又∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,∴∠DCB=90°-70°=20°.故选D.
6.C
【解析】
根据
可以求得x2y+xy2的值.
【详解】
解:
∵
,
∴x2y+xy2
=xy(x+y)
=
=
故选C.
【点睛】
本题考查因式分解的应用,解答本题的关键是明确因式分解的方法,利用题目中的已知条件解答.
7.D
【解析】
【分析】
根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则计算,判断即可.
【详解】
解:
当a=﹣1,b=﹣2时,a>b,而a2<b2,
∴“若a>b,则a2>b2”是假命题,
故选:
D.
【点睛】
本题考查的命题和定理,任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
8.A
【解析】
【分析】
过D点作DH⊥OB于H,如图,根据角平分线的性质得到DH=DE=4.2,然后根据垂线段最短对各选项进行判断.
【详解】
解:
过D点作DH⊥OB于H,如图,
∵OD平分∠AOB,DE⊥AO,DH⊥OB,
∴DH=DE=4.2,
∵F是射线OB上的任一点,
∴DF≥4.2.
故选:
A.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了垂线段最短.
9.A
【解析】
【分析】
由矩形的判定与性质、菱形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可.
【详解】
解:
A、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形,
∴选项A符合题意;
B、∵有一个角是直角的平行四边形是矩形,
∴选项B不符合题意;
C、∵矩形的对角线相等,
∴选项C不符合题意;
D、∵菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,
∴选项D不符合题意;
故选A.
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质与判定,菱形的性质与判定,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
10.A
【解析】
【分析】
根据不等式组
有两个整数解知不等式组的整数解为﹣3,﹣4,据此求解可得答案.
【详解】
解:
∵不等式组
有两个整数解,
∴不等式组的解集为
∴不等式组的整数解为﹣3,﹣4,
则﹣5≤m<﹣4,
故选A.
【点睛】
本题主要考查了不等式组的整数解,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
11.x+1<0
【解析】
【分析】
根据负数都小于0,由此列出不等式即可.
【详解】
解:
x+1<0.
故答案为:
x+1<0.
【点睛】
此题考查了列不等式;读懂题意,抓住关键词语,弄清运算的先后顺序和不等关系,才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式.
12.2x(x﹣3)
【解析】
【分析】
因式分解的题,一般先考虑提公因数法,再考虑公式法,最后再用十字相乘即可分解到位.
【详解】
2x2﹣6x=2x(x﹣3).
故答案为2x(x﹣3).
13.﹣3
【解析】
【分析】
直接利用分式为零的条件得出答案.
【详解】
解:
∵分式
的值为零,
∴x+3=0,
解得:
x=﹣3,此时满足分母不为零,
故答案为:
﹣3.
【点睛】
本题考查分式为零的条件,掌握分式为零的条件是解题关键.
14.2.5
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=
AB,再求出答案即可.
【详解】
解:
∵公路AC,BC互相垂直,
∴∠ACB=90°,
∵M为AB的中点,
∴CM=
AB,
∵AB=5km,
∴CM=2.5km,
即M,C两点间的距离为2.5km,
故答案为:
2.5.
【点睛】
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线,解题的关键在于能够熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
15.16
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出BC,根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC,根据三角形的周长公式计算,得到答案.
【详解】
解:
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6cm,AC=8cm,
由勾股定理得:
BC=
=
=10(cm),
∵DE是AC的垂直平分线,
∴DA=DC,
∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD=DC=AB+BC=16(cm),
故答案为:
16
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、勾股定理,掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.
16.110°
【解析】
【分析】
先延长直线,然后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可.
【详解】
解:
如图:
延长直线:
∵a平移后得到直线b,
∴a∥b,
∴∠5=180°-∠1=180°-70°=110°,
又∵∠2=∠4+∠5,∠3=∠4,
∴∠2-∠3=∠5=110°
故答案为:
110°.
【点睛】
本题考查平移问题,解答本题的关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质求角.
17.①②
【解析】
【分析】
①利用直线与两轴的截距相等即可判断;②利用x=1时的函数图象上点的位置来判断;③利用两函数图象的交点与两函数图象的位置来判断即可.
【详解】
解:
由y2=x+m得,当x=0时,y2=m,当y=0时,x=-m,则直线与坐标轴的截距相等,所以直线y2=x+m与x轴所夹锐角等于45°,故①的结论正确;
由图知:
当x=1时,函数y1图象对应的点在x轴的上方,因此k+b>0,故②的结论正确;
由图知:
两函数的交点横坐标为x=2,当x>2时,函数y1图象对应的点都在y2的图象下方,因此关于x的不等式kx+b<x+m的解集是x>2,故③的结论不正确;
故答案为:
①②.
【点睛】
本题考查一次函数与一元一次不等式,掌握一次函数与一元一次不等式的关系,会求截距,会求函数值,会比较两函数值的大小关系是解题关键.
18.
【解析】
【分析】
分别解出各不等式,再求出公共解集即可.
【详解】
解①得
,
解②得
,
在数轴上表示为
∴原不等式组的解集为
.
【点睛】
此题主要考查不等式的解集,解题的关键是熟知不等式的性质.
19.
;
【解析】
【分析】
首先将括号里面通分运算,再利用分式的混合运算法则计算得出答案.
【详解】
解:
原式=
,
=
,
=
,
当x=3时,原式=
.
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值.化简求值是课程标准中所规定的一个基本内容,它涉及对运算的理解以及运算技能的掌握两个方面,也是一个常考的题材.为了降低计算的难度,杜绝繁琐的计算,本题代数式结构复杂,化简后的结果简单,计算简单,把考查重点放在化简的规则和方法上.
20.
(1)画图见解析;
(2)B1(-3,3),C1(-1,4).
【解析】
【分析】
(1)根据网格结构找出点A、B、C绕点A逆时针旋转90°的对应点的位置,然后顺次连接即可;
(2)根据关于y轴对称的点的特征即可得到
的坐标.
【详解】
(1)如图所示,△ABC和△AB1C1即为所求.
(2)B1(-3,3),C1(-1,4).
【点睛】
本题考查了旋转变换的性质以及旋转作图,解题时要充分利用图形的特点和网格.
21.
(1)证明见解析;
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由SSS证明△ABC≌△DFE即可;
(2)连接AF、BD,由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE,证出AB∥DF,即可得出结论.
【详解】
详解:
证明:
,
,
在
和
中,
,
≌
;
解:
如图所示:
由
知
≌
,
,
,
,
四边形ABDF是平行四边形.
点睛:
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定;熟练掌握平行四边形的判定方法,证明三角形全等是解决问题的关键.
22.
(1)见解析;
(2)等边△ABC的边长为6cm
【解析】
【分析】
(1)根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C,进而得出∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°,再根据平角的意义即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP,即可证得△PMN是等边三角形;
(2)先根据直角三角形30度的性质可得BM=4,证明△MPB≌△NMC(AAS),可得CM=PB=2,从而得结论.
【详解】
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C,
∵MP⊥AB,MN⊥BC,PN⊥AC,
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°,
∴∠PMB=∠MNC=∠APN,
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP,
∴△PMN是等边三角形;
(2)解:
∵△PMN是等边三角形
∴PM=MN
在Rt△BPM中,∵∠B=60°,
∴∠PMB=30°,
∴BM=2PB=4,
在△MPB和△NMC中,
,
∴△MPB≌△NMC(AAS),
∴CM=PB=2,
∴BC=BM+CM=4+2=6(cm),
∴等边△ABC的边长为6cm.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质等知识;证出∠NPM=∠PMN=∠MNP是本题的关键.
23.
(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别为80m2、40m2;
(2)甲队施工15天,乙队施工10天,最低费用为11.5万元
【解析】
【分析】
(1)设出两队的每天绿化的面积,以两队工作时间为等量构造分式方程;
(2)以
(1)为基础表示甲乙两队分别工作x天、y天的工作总量,工作总量和为1600;用甲乙两队施工的总天数不超过25天确定自变量x取值范围,用x表示总施工费用,根据一次函数增减性求得最低费用.
【详解】
解:
(1)设乙队每天能完成绿化面积为am2,则甲队每天能完成绿化面积为2am2,根据题意得:
,
解得a=40,
经检验,a=40为原方程的解,且符合题意,
则甲队每天能完成绿化面积为80m2,
答:
甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别为80m2、40m2;
(2)由
(1)得80x+40y=1600,
整理:
y=﹣2x+40,
由已知y+x≤25,
∴﹣2x+40+x≤25,
解得x≥15,
总费用W=0.6x+0.25y=0.6x+0.25(﹣2x+40)=0.1x+10,
∵k=0.1>0,
∴W随x的增大而增大,
∴当x=15时,W最低=1.5+10=11.5,
∴甲队施工15天,乙队施工10天,最低费用为11.5万元.
【点睛】
本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用、一次函数的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系和不等关系,列方程和不等式求解.
24.
(1)方法一:
(m﹣n)2,方法二:
(m+n)2﹣4mn;
(2)(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn;(3)
;(4)(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2
【解析】
【分析】
(1)图2中阴影部分是边长为(m﹣n)的正方形,可根据正方形面积公式表示出来,也可以从边长为(m+n)的大正方形减去图1的面积即可;
(2)由
(1)的两种计算方法可得等式;
(3)整体代入计算即可;
(4)根据正方体的体积的计算方法,用两种不同的方法表示即可.
【详解】
解:
(1)方法一:
图2中阴影部分是边长为(m﹣n)的正方形,因此面积为(m﹣n)2,
方法二:
图2中阴影部分可以看作边长为(m+n)的大正方形减去图1的面积,即(m+n)2﹣4mn,
故答案为:
(m﹣n)2,(m+n)2﹣4mn;
(2)由
(1)可得,(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn;
(3)由
(2)可得(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab,
当a+b=10,ab=8时,
(a﹣b)2=102﹣4×8=68,
∴a﹣b=±2
;
(4)正方体的棱长为(a+b),因此体积为(a+b)3,
大正方体的体积也可以表示为8块体积的和,即为a3+b3+3a2b+3ab2,
所以有(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2,
故答案为:
(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2.
【点睛】
本题考查了完全平方公式的实际应用,完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起,要学会观察.
25.
(1)45;
(2)①见解析;②DF的长为2;(3)
【解析】
【分析】
(1)根据平角的定义得到∠DFE+∠BEF=360°﹣90°=270°,根据角平分线的定义得到∠AFE=
DFE,∠AEF=
BEF,求得∠AEF+∠AFE=
(∠DFE+∠BEF),根据三角形的内角和定理即可得到结论;
(2)①作AG⊥EF于G,如图1所示:
则∠AGE=∠AGF=90°,先证明四边形ABCD是矩形,再由角平分线的性质得出AB=AD,即可得出四边形ABCD是正方形;
②设DF=x,根据已知条件得到BC=6,由①得四边形ABCD是正方形,求得BC=CD=6,根据全等三角形的性质得到BE=EG=3,同理,GF=DF=x,根据勾股定理列方程即可得到结论;
(3)把△PQH沿PQ翻折得△PQD,把△PRH沿PR翻折得△PRM,延长DQ、MR交于点G,由
(1)
(2)得:
四边形PMGD是正方形,MR+DQ=QR,MR=HR,DQ=HQ=2,得出MG=DG=MP=PH=6,GQ=4,设MR=HR=a,则GR=6﹣a,QR=a+2,在Rt△GQR中,由勾股定理得出方程,解方程即可.
【详解】
解:
(1)∵∠C=90°,
∴∠CFE+∠CEF=90°,
∴∠DFE+∠BEF=360°﹣90°=270°,
∵AF平分∠DFE,AE平分∠BEF,
∴∠AFE=
DFE,∠AEF=
BEF,
∴∠AEF+∠AFE=
(∠DFE+∠BEF)=
270°=135°,
∴∠EAF=180°﹣∠AEF﹣∠AFE=45°,
故答案为:
45;
(2)①作AG⊥EF于G,如图1所示:
则∠AGE=∠AGF=90°,
∵AB⊥CE,AD⊥CF,
∴∠B=∠D=90°=∠C,
∴四边形ABCD是矩形,
∵∠CEF,∠CFE外角平分线交于点A,
∴AB=AG,AD=AG,
∴AB=AD,
∴四边形ABCD是正方形;
②设DF=x,
∵BE=EC=3,
∴BC=6,
由①得四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD=6,
在Rt△ABE与Rt△AGE中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL),
∴BE=EG=3,
同理,GF=DF=x,
在Rt△CEF中,EC2+FC2=EF2,
即32+(6﹣x)2=(x+3)2,
解得:
x=2,
∴DF的长为2;
(3)解:
如图2所示:
把△PQH沿PQ翻折得△PQD,把△PRH沿PR翻折得△PRM,延长DQ、MR交于点G,
由
(1)
(2)得:
四边形PMGD是正方形,MR+DQ=QR,MR=HR,DQ=HQ=2,
∴MG=DG=MP=PH=5,
∴GQ=3,
设MR=HR=a,则GR=5﹣a,QR=a+2,
在Rt△GQR中,由勾股定理得:
(5﹣a)2+32=(2+a)2,
解得:
a=
,即HR=
;
故答案为:
.
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识;本题综合性强,有一定难度.
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- 北师大 年级 下册 数学 期末考试 试题 答案
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