高等数学微积分答案.docx
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高等数学微积分答案
高等数学微积分答案
【篇一:
大一高数微积分下册答案】
6.1~6.2定积分的概念、性质
一、填空题
1、设f(x)在[a,b]上连续,n等分[a,b]:
a?
x0?
x1?
?
?
xn?
1?
xn?
b,并取小区间左端点xi?
1,作乘积f(xi?
1)?
2
b?
an
n
,则lim
n?
?
?
i?
1
1
f(xi?
1)?
b?
an
?
?
?
2
ba
f(x)dx
.
2、根据定积分的几何意义,?
xdx?
2
,?
?
x?
,
?
?
?
?
sinxdx?
.
b
3、设f(x)在闭区间[a,b]上连续,则?
f(x)dx?
a?
ba
f(t)dt?
0.
二、单项选择题
1、定积分?
ba
f(x)dx(c).
(a)与f(x)无关(b)与区间[a,b]无关(c)与变量x采用的符号无关(d)是变量x的函数2、下列不等式成立的是(c).(a)?
x2dx?
12
?
21
xdx(b)?
lnxdx?
1
3
2
?
21
(lnx)dx
2
(c)?
xdx?
1
?
10
ln(1?
x)dx(d)?
edx?
ba
1
x
?
1
(1?
x)dx
3、设f(x)在[a,b]上连续,且?
f(x)dx?
0,则(c).
(a)在[a,b]的某小区间上f(x)?
0(b)[a,b]上的一切x均使f(x)?
0(c)[a,b]内至少有一点x使f(x)?
0(d)[a,b]内不一定有x使f(x)?
04、积分中值公式?
f(x)dx?
f(?
)(b?
a)中的?
是(b).
ab
(a)[a,b]上的任一点(b)[a,b]上必存在的某一点
59
(c)[a,b]上唯一的某一点(d)[a,b]的中点5、
ddx
a
?
b
ba
arctanxdx?
(d).
析:
?
arctanxdx是常数(a)arctanx(b)
11?
x
2
(c)arctanb?
arctana(d)0
?
?
6、
设i1?
?
40
xxd,i
2
?
?
3
?
?
4
sinxdx
2
,则i1,i2,3i的关系为(a)i1?
i2?
i3(b)i2?
i1?
i3(c)i3?
i1?
i2(d)i1?
i3?
i27
、设i?
?
10
4
x,则i的值(a).
(a)0?
i?
14
(b)
15
?
i?
1(c)
16
?
i?
15
(d)i?
1
析:
f(x)?
?
0,1
?
上的最大值是
20
2
2
,最小值是0
,所以0?
i?
.
三、估计定积分i?
解记f(x)?
ex
2
?
e
x?
x
dx的值.
x?
x
2
?
x
x?
[0,2],则f?
(x)?
(2x?
1)e,令f?
(x)?
0,得x?
12
.
?
?
1?
2
因为f?
?
?
e4,f(0)?
1,f
(2)?
e2,所以f(x)在[0,2]上的最大值为e,最小值为
?
2?
1
e
?
14
,从而2e
?
14
?
i?
?
20
e
x?
x
2
dx?
2e.
1
ba
2
四、设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且
存在一点?
?
(a,b),使得f?
(?
)?
0.
?
b?
a
f(x)dx?
f(b).求证:
至少
证明由积分中值定理,存在一点?
?
[a,b],使得?
f(x)dx?
f(?
)(b?
a),即
a
b
60
1b?
a
?
ba
f(x)dx?
f(?
).又由题设可知,f(x)在[?
b]上连续,在(?
b)内可导,且有
f(?
)?
f(b),根据罗尔定理,存在一点?
?
(?
b)?
(a,b),使得f?
(?
)?
0.
6.3微积分的基本公式
一、填空题
1
、若f(x)?
2
、
ddx
x3
2
?
x0
2
tt,则f?
(x)?
22x3
.
?
x
?
?
.
3、极限lim
?
41
x0
sin3tdt
?
x?
0
1?
cosx
352
1?
1
.
4、定积分?
x?
2x?
.
5、设f(x)?
?
?
x,x?
0
?
sinx,x?
0
2
,则?
f(x)dx?
cos1?
12
.
dydx
6、由方程?
etdt?
y
?
x0
costdt?
0所确定的隐函数y?
y(x)的导数?
?
cosx
e
y2
.
7、设f(x)是连续函数,且?
11?
x
2
10
x3?
1
f(t)dt?
x,则f(7)?
112
.
8、设f(x)?
1
?
x
3
?
f(x)dx,则
?
10
f(x)dx?
1
?
3
.
10
析:
设?
f(x)dx?
a,则等式两端同时积分得?
f(x)dx?
0?
11?
x
2
dx?
?
10
x?
adx
3
a?
arctanx|0?
a?
1
14
?
34
a?
?
4
a?
?
3
.
x
xb
9、设f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(x)?
0,则方程?
f(t)dt?
a
?
1f(t)
dt?
0在开
区间(a,b)内有1个实根.
61
析:
设f(x)?
?
xa
f(t)dt?
?
ab
xb
1f(t)1
dt,则有
f(a)?
?
f(t)
dt?
0,f(b)?
?
ba
f(t)dt?
0,
由根的存在定理知至少有存在一个?
?
?
a,b?
使得f(?
)?
0;
若方程有两个根,不妨设?
1,?
2即f(?
1)?
0,f(?
2)?
0,则由罗尔定理知,?
?
?
?
a,b?
使得f?
(?
)?
0,即使得f(x)?
所以方程又且只有一个根.
1f(x)
?
0成立,这与f(x)?
0矛盾,
二、单项选择题
1、下列积分中能用微积分基本公式的只有(c).(a)?
1?
1
dxx
(b)?
1
e
3
dxxlnx
(c)?
1?
?
1?
2、设f(x)?
?
x?
a
x
2
xa
f(t)dt,其中f(x)是连续函数,则limf(x)?
x?
a
(a)a2(b)a2f(a)(c)0(d)不存在
1?
cosx0
3、设f(x)?
?
sintdt,g(x)?
2
x
5
5
?
x
6
6
,则当x?
0时,f(x)是g(x)的(b).
(a)低阶无穷小(b)高阶无穷小(c)等价无穷小(d)同阶但不等价无穷小
f(x)g(x)
x0
析:
lim
x?
0
?
lim
?
1?
cosx0
sintdt?
x
6
2
x?
0
x
5
x4
4()?
x?
lim4?
0.5
x?
0x?
x
56
三、求lim
?
t(e?
1)dtxsinx
2
t
x?
0
.
解根据洛必得法则,得
62
lim
?
x0
t(e?
1)dtxsinx
2
t
x?
0
?
lim
?
x0
t(e?
1)dtx
3
t
x?
0
?
lim
x(e?
1)3x
2
x
x?
0
?
lim
x
22
x?
0
3x
?
13
.
四、求函数i(x)?
2
?
x0
te
?
t
2
dt的极值.
2
2
2
解i?
(x)?
xe?
x,i?
?
(x)?
e?
x?
xe?
x(?
2x)?
?
1?
2x2?
e?
x.令i?
(x)?
0,得驻点x?
0,又i?
?
(0)?
1?
0,所以x?
0是i(x)得极小值点,极小值为i(0)?
0.
五、
求?
x.
解
?
x?
?
?
x?
?
?
x
?
2
?
?
20
sinx?
cosxx?
?
?
cosx?
sinx?
dx?
?
?
?
sinx?
cosx?
dx
40
4
?
?
?
?
sinx?
cosx?
4
?
?
?
cosx?
sinx?
2
?
2.
?
4
六、已知?
(x?
t)f(t)dt?
1?
cosx,证明:
?
x
?
20
f(x)dx?
1.
证明原式可化为x?
两边对x求导,得?
令x?
?
2
?
x0
f(t)dt?
?
x0
tf(t)dt?
1?
cosx,
x0
x0
f(t)dt?
xf(x)?
xf(x)?
sinx,即?
?
2
?
f(t)dt?
sinx,
,得?
20
f(t)dt?
sin
?
1,即?
20
f(x)dx?
1.
6.4定积分的换元积分法
一、填空题
1、设f(x)在区间[?
a,a]上连续,则?
2
、?
91
a?
a
x[f(x)?
f(?
x)]dx?
0?
12
2
1200
.
x?
2ln2
.3、?
(2x?
1)dx?
99
.
63
【篇二:
大学高等数学(微积分)下期末考试卷(含答案)】
学院:
专业:
行政班:
姓名:
学号:
座位号:
----------------------------密封--------------------------
一、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末
的括号中,本大题分4小题,每小题4分,共16分)1、设liman?
0,则级数
n?
?
?
a
n?
1
?
n
();
a.一定收敛,其和为零b.一定收敛,但和不一定为零
c.一定发散d.可能收敛,也可能发散
?
?
?
?
2、已知两点a(?
2,?
4,?
7),b(4,?
6,?
4),与ab方向相同的单位向量是();
623623a.(,,)b.(,?
)
777777623623c.(?
,?
)d.(,?
?
)
7777773、设y?
?
x3
x2
f(t)dt,则dy?
();
dx
a.f(x)b.f(x3)?
f(x2)c.f(x3)?
f(x2)d.3x2f(x3)?
2xf(x2)4、若函数f(x)在(a,b)内连续,则其原函数f(x)()a.在(a,b)内可导b.在(a,b)内存在
c.必为初等函数d.不一定存在
二、填空题(将正确答案填在横线上,本大题分4小题,每小题4分,共16分)1、级数?
n?
1
必定____________(填收敛或者发散)。
nn?
1
?
2、设平面x?
by?
z?
2?
0通过点p(0,1,0),则b?
3、定积分?
x2sinxdx?
_。
?
11
f2(x)
?
__________。
4、若当x?
a时,f(x)和g(x)是等价无穷小,则lim
x?
ag(x)
三、解答题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)
1、(本小题7分)求不定积分?
xsinxdx
2、(本小题7分)
若f(x)?
x?
x?
0),求?
f(x2)dx。
3、(本小题7分)
1?
xdy
已知函数y?
arctan,求。
1?
xdx
4、(本小题7分)
1
将函数f(x)?
展开为(x?
1)的幂级数。
3x?
2
四、解答题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)1、(本小题7分)
计算?
81
。
2、(本小题7分)
(?
1)n?
1(3x)n
求幂级数?
的收敛区间。
nn?
1
?
3、(本小题7分)
设?
[f(x)?
f(x)]sinxdx?
5,f(?
)?
2,求f(0)。
?
4、(本小题7分)
【篇三:
高等数学微积分期末试卷及答案】
1?
1.设f(x)?
2cosx,g(x)?
()sinx在区间(0)内( )。
22
Af(x)是增函数,g(x)是减函数
bf(x)是减函数,g(x)是增函数
c二者都是增函数
d二者都是减函数2、x?
0时,e2x?
cosx与sinx相比是( )
A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小3、x=0是函数y=(1A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点
4、下列数列有极限并且极限为1的选项为()
1n?
axn?
(?
1)n?
bxn?
sinn2
11cxn?
n(a?
1)dxn?
cosan1x
5、若f(x)在x0处取得最大值,则必有( )
Af'(x0)?
obf'(x0)?
o
cf'(x0)?
0且f(x0)0df(x0)不存在或f(x0)?
0
6、曲线y?
xex( )
A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线
C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线
1~6ddbdbd
一、填空题
(1)
11、( )=ddxx+1
12、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y=相切。
这条直线方程为:
x
x23、函数y=x的反函数及其定义域与值域分别是:
2+1
2x?
ax?
b5、若lim2?
2,则a,b的值分别为:
x?
1x+2x-3
1inx?
1;2y?
x3?
2x2;3y?
log2x,(0,1),r;4(0,0)1?
x
(x?
1)(x?
m)x?
m1?
m?
lim?
?
2x?
1x?
15解:
原式=(x?
1)(x?
3)x?
34
?
m?
7 ?
b?
?
7,a?
6lim
二、判断题
1、无穷多个无穷小的和是无穷小()
2、limsinx在区间(?
?
,?
?
)是连续函数()x?
0x
3、f(x0)=0一定为f(x)的拐点()
4、若f(x)在x0处取得极值,则必有f(x)在x0处连续不可导()
5、设函数f(x)在?
0,1?
上二阶可导且
f(x)?
0令a?
f(0),b?
f
(1),c?
f
(1)?
f(0),则必有abc()
1~5fffft
三、计算题
1
1用洛必达法则求极限limxexx?
022
1
1exex(?
2x?
3)x2?
lim?
lime?
?
?
解:
原式=limx?
0x?
0x?
0?
2x?
3
x2
2若f(x)?
(x?
10),求f(0)341
f(x)?
4(x3?
10)3?
3x2?
12x2(x3?
10)3
解:
f(x)?
24x?
(x?
10)?
12x?
3?
(x?
10)?
3x?
24x?
(x?
10)?
108x(x?
10)33232233432
?
f(x)?
0
4
3求极限lim(cosx)x
x?
0
4
解:
原式=limexx?
0incosx2?
ex?
0limxincosx4
1(?
sinx)4
incosx?
tanx?
xlim2incosx?
lim?
lim?
lim?
lim?
?
22x?
0x
x?
0x?
0x?
0x?
0xxxx
2224
?
原式?
e?
2
4求y?
(3x?
511解:
iny?
in3x?
?
inx?
1?
inx?
2322
1531111y?
?
?
?
?
?
y33x?
12x?
12x?
2y?
(3x?
53tan?
xdx511?
?
?
?
3x?
12(x?
1)2(x?
2)?
解:
原式=?
tan2xtanxdx?
?
(sec2x?
1)tanxdx
=?
sec2xtanxdx?
?
tanxdx
sinx =?
tanxdtanx?
?
dxcosx
1 =?
tanxdtanx?
?
dcosxcosx
1 =tan2x?
incosx?
c2
6求?
xarctanxdx
1122解:
原式=?
arctanxd(x)?
(xarctanx?
?
x2darctanx)22
12x2?
1?
1 =(xarctanx?
?
dx)221?
x
1?
1?
=?
x2arctanx?
?
(1?
)dx2?
2?
1?
x?
1?
x2x =arctanx?
?
c22
四、证明题。
1、证明方程x?
x?
1?
0有且仅有一正实根。
证明:
设f(x)?
x3?
x?
13
f(0)?
?
1?
0,f
(1)?
1?
0,且f(x)在?
0,1?
上连续
?
至少存在?
?
(0,1),使得f(?
)?
0
即f(x)在(0,1)内至少有一根,即f(x)?
0在(0,?
?
)内至少有一实根假设f(x)?
0在(0,?
?
)有两不同实根x1,x2,x2?
x1
f(x)在?
x2,x2?
上连续,在(x2,x2)内可导
且f(x1)?
f(x2)?
0
?
至少?
?
?
(x2,x2),s?
tf(?
)?
0
而f(?
)?
3?
2?
1?
1与假设相矛盾
?
方程x3?
x?
1?
0有且只有一个正实根
)
2、证明arcsinx?
arccosx?
?
1?
x?
12?
证明:
设f(x)?
arcsinx?
arccosx
f(x)?
?
0,x?
?
?
1,1?
?
f(x)?
c?
f(0)?
arcsin0?
arccos0?
f
(1)?
arcsin1?
arccos1?
?
2?
2
f(?
1)?
arcsin(?
1)?
arccos(?
1)?
?
2
?
综上所述,f(x)?
arcsinx?
arccosx?
?
2,x?
?
?
1,1?
五、应用题
1、描绘下列函数的图形
1x
解:
1.dy=(-?
0
)?
(0,+?
)y?
x2?
12x3?
12.y=2x-2?
xx2
令y?
0得x?
y?
2?
2
x3
令y?
0,得x?
?
1
3.
4.补充点(?
2,).(?
?
).(1,2).(2,)
5limf(x)?
?
?
f(x)有铅直渐近线x?
0x?
072127292
6如图所示:
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