多边形内角和公开材料123.docx
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多边形内角和公开材料123
多边形的内角和(公开课教案)
[教学目标]
[教学重点、难点]
1.重点:
(1)多边形的内角和公式.
(2)多边形的外角和公式.
2.难点:
多边形的内角和定理的推导.
[教学过程]
一、探究
1.我们知道三角形的内角和为180°.
2.我们还知道,正方形的四个角都等于90°,那么它的内角和为360°,同样长方形的内角和也是360°.
3.正方形和长方形都是特殊的四边形,其内角和为360°,那么一般的四边形的内角和为多少呢?
画一个任意的四边形,用量角器量出它的四个内角,计算它们的和,与同伴交流你的结果.
从中你得到什么结论?
同学们进行量一量,算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识,是否成为定理要进行推导.
二、思考几个问题
1.从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?
它们将四边形分成几个三角形?
那么四边形的内角和等于多少度?
2.从五边形一个顶点出发可以引几条对角线?
它们将五边形分成几个三角形?
那么这五边形的内角和为多少度?
3.从n边形的一个顶点出发,可以引几条对角线?
它们将n边形分成几个三角形?
n边形的内角和等于多少度?
综上所述,你能得到多边形内角和公式吗?
设多边形的边数为n,则
n边形的内角和等于(n一2)·180°.
想一想:
要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成,就是把一个多边形分成几个三角形.除利用对角线把多边形分成几个三角形外,还有其他的分法吗?
你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗?
由同学动手并推导在与同伴交流后,老师归纳:
(以五边形为例)
分法一:
在五边形ABCDE内任取一点O,连结OA、OB、OC、OD、OE,则得五个三角形.其五个三角形内角和为5×180°,而∠1,∠2,∠3,∠4,∠5不是五边形的内角应减去,∴五边形的内角和为5×180°一2×180°=(5—2)×180°=540°.
如果五边形变成n边形,用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角,即可得:
n边形内角和=n×l80°一2×180°=(n一2)×180°.
分法二:
在边AB上取一点O,连OE、OD、OC,则可以(5-1)个三角形,而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角,应舍去.
∴五边形的内角和为(5—1)×180°一180°=(5—2)×180°
用同样的办法,也可以把n边形分成(n一1)个三角形,把不是n边形内角的∠AOB舍去,即可得n边形的内角和为(n一2)×180°.
三、例题
例1如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?
已知:
四边形ABCD的∠A+∠C=180°.求:
∠B与∠D的关系.
分析:
本题要求∠B与∠D的关系,由于已知∠A+∠C=180°,所以可以从四边形的内角和入手,就可得到完满的答案.
解:
如图,四边形ABCD中,∠A+∠C=180°。
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×360°=180°,
∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=180°
这就是说:
如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补.
例2如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少?
已知:
∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6分别为六边形ABCDEF的外角.
求:
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.
分析:
关于外角问题我们马上就会联想到平角,这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°.由于六边形的内角和为(6—2)×180°=720°.
这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.
解:
∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°.
∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°.
由于六边形的内角和为(6—2)×180°=720°
∴它的外角和为6×180°一720°=360°
如果把六边形横成n边形.(n为不小于3的正整数)
同样也可以得到其外角和等于360°.即
多边形的外角和等于360°.
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关.
对此,我们也可以象以下这种,理解为什么多边形的外角和等于360°.
如下图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°.
四、课堂练习
课本P89练习1、2、3题.
P90第2、3题
五、课堂小结
引导学生总结本节课主要内容.
六、课后作业
课本P90第4、5、6题.
随堂练习:
(1)从n边形一个顶点出发,可以引出()条对角线,得到()个三角形.
(2)内角和为1440°的多边形是.
(3)一个多边形少一个内角的度数和为2300°.
①求它的边数;②求少的那个内角的度数.
(4)五边形ABCDE的各内角都相等,且AE=DE,AD∥CB吗?
(5)四边形ABCD中,∠A+∠B=210°,∠C=4∠D.求:
∠C或∠D的度数.
(6)在四边形ABCD中,AB=AC=AD,∠DAC=2∠BAC.
求证:
∠DBC=2∠BDC.
说课
下面,我从以下几个方面对本节课的教学设计进行说明。
一、说教材
(一)《三角形内角和》一课是在学生学过角的度量、三角形的特征和分类等知识的基础上进行教学的,学生已经具备一定的关于三角形的认识的直接经验,也已具备了一些相应的三角形知识和技能,这为感受、理解、抽象“三角形的内角和”的规律,打下了坚实的基础。
三角形内角和是三角形的一个重要特征,也是掌握多边形内角和及解决其他实际问题的基础,因此,学习、掌握三角形的内角和是180°这一规律具有重要意义。
(二)教学目标
根据教材的编写意图和学生的实际,我把本节课的教学目标定为:
1.通过“量一量”、“算一算”、“拼一拼”、的小组活动的方法,探索发现验证三角形内角和等于180°,并能应用这一知识解决一些简单问题。
2.通过把三角形的内角和转化为平角进行探究实验,渗透“转化”的数学思想。
3.通过数学活动使学生获得成功的体验,增强自信心。
培养学生的创新意识、探索精神和实践能力。
(三)教学重、难点
因为学生已经掌握了三角形的概念、分类,熟悉了钝角、锐角、平角这些角的知识。
对于三角形的内角和是多少度,学生并不陌生,也有提前预习的习惯,学生几乎都能回答出三角形的内角和是180°。
在整个过程中学生要了解的是“内角”的概念,如何验证得出三角形的内角和是180°。
因此本节课我提出的教学的重、难点是:
让学生经历验“三角形的内角和是180°”这一知识的形成、发展和应用的全过程。
二、说教法、学法
本节课主要是通过教师的精心引导和点拨,学生在小组中合作探索,通过量一量、折一折、撕一撕、画一画,选择不同的一种或者几种方法来验证三角形的内角和是180°。
因为《课程标准》明确指出:
“要结合有关内容的教学,引导学生进行观察、操作、猜想,培养学生初步的思维能力”。
四年级学生经过第一学段以及本单元的学习,已经掌握了三角形的分类,比较熟悉平角等有关知识;具备了初步的动手操作、主动探究的能力,他们正处于由形象思维向抽象思维过渡的阶段。
因此,本节课,我将重点引导学生从“猜测――验证”展开学习活动,让学生感受这种重要的数学思维方式。
三、说教学过程
本课时教学中我分引入、猜测、证实、深化和应用五个环节进行。
第一环节:
引入
这一环节,我先出示多个已学的平面图形,让学生认识什么是“内角”。
(把图形中相邻两边的夹角称为内角)长方形有几个内角?
(四个)它的内角有什么特点?
(都是直角)这四个内角的和是多少?
(360°)三角形有几个内角呢?
从而引入课题。
(板书)
以上让学生整体感知三角形内角和的知识,这样的教学,将三角形内角和置于平面图形内角和的大背景中,拓展了三角形内角和的数学知识背景,渗透数学知识之间的联系,有效地避免了新知识的“横空出现”。
第二环节:
猜测
我问:
长方形内角和是360°,那么三角形内角和是多少呢?
【设计意图】引导学生提出合理猜测:
三角形的内角和是180°。
第三环节:
验证
(1)量:
请学生每人画一个自己喜欢的三角形,接着用量角器量一量,然后把这三个内角的度数加起来算一算,看看得出的三角形的内角和是多少度?
(2)撕―拼:
利用平角是180°这一特点,启发学生能否也把三角形的三个内角撕下来拼在一起,成为一个平角?
请学生同桌合作,从学具中选出一个三角形,撕下来拼一拼。
(3)折-拼:
把三角形的三个内角都向内折,把这三个内角拼组成一个平角,一个平角是180°,所以得出三角形的内角和是180°。
(4)画:
根据长方形的内角和来验证三角形内角和是180°。
一个长方形有4个直角,每个直角90°,那么长方形的内角和就是360°,每个长方形都可以平均分成两个直角三角形,每个直角三角形的内角和就是180°。
从长方形的内角和联想到直角三角形的内角和是180°。
此环节我利用已经学过的知识构建新的数学知识,这不仅有助于学生理解新的知识,而且是一种非常重要的学习方法。
在探索三角形内角和规律的教学中,注意引导学生将三角形内角和与平角、长方形四个内角的和等知识联系起来,并使学生在新旧知识的连接点和新知识的生长点上把握好他们之间的内在联系。
在整个探索过程中,学生积极思考并大胆发言,他们的创造性思维得到了充分发挥。
第四环节:
深化
质疑:
大小不同的三角形,它们的内角和会是一样吗?
观察:
(指着黑板上两个大小不同但三个角对应相等的三角形并说明原因,三角形变大了,但角的大小没有变。
)
结论:
角的两条边长了,但角的大小不变。
因为角的大小与边的长短无关。
实验:
教师先在黑板上固定小棒,然后用活动角与小棒组成一个三角形,教师手拿活动角的顶点处,往下压,形成一个新的三角形,活动角在变大,而另外两个角在变小。
这样多次变化,活动角越来越大,而另外两个角越来越小。
最后,当活动角的两条边与小棒重合时。
结论:
活动角就是一个平角180°,另外两个角都是0°。
这里我主要是引导学生与角的有关知识联系起来,通过让学生观察利用“角的大小与边的长短无关”的旧知识来理解说明。
然后利用精巧的小教具的演示,让学生通过观察、交流、想象,充分感受三角形三个角之间的联系和变化,感悟三角形内角和不变的原因。
第五环节:
应用
1.基础练习:
书本练习十四的习题9,求出三角形各个角的度数。
2.变式练习:
一个三角形可能有两个直角吗?
一个三角形可能有两个钝角吗?
你能用今天所学的知识说明吗?
3.
(1)将两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形,这个大三角形的内角和是多少?
(2)将一个大三角形分成两个小三角形,这两个小三角形的内角和分别是多少?
4.智力大挑战:
你能求出下面图形的内角和吗?
书本练习十四的习题
习题是沟通知识联系的有效手段。
在本节课的四个层次的练习中,我能充分注意沟通知识之间的内在联系,使学生从整体上把握知识的来龙去脉和纵横联系,逐步形成对知识的整体认知,构建自己的认知结构,从而发展思维,提高综合运用知识解决问题的能力。
第一题将三角形内角和知识与三角形特征结合起来,引导学生综合运用内角和知识和直角三角形、等边三角形等图形特征求三角形内角的度数。
第二题将三角形内角和知识与三角形的分类知识结合起来,引导学生运用三角形内角和的知识去解释直角三角形、钝角三角形中角的特征,较好地沟通了知识之间的联系。
第三题通过两个三角形的分与合的过程,使学生感受此过程中三角内角的变化情况,进一步理解三角形内角和的知识。
第四题是对三角形内角和知识的进一步拓展,引导学生进一步研究多边形的内角和。
教学中,学生能把这些多边形分成几个三角形,将多边形内角和与三角形内角和联系起来,并逐步发现多边形内角和的规律,以此促进学生对多边形内角和知识的整体构建。
第六环节:
课堂总结,学会评价
回忆一下,你在这堂课中有什么收获?
你觉得自己学的怎么样?
这样用谈话的方式进行总结,不仅总结了所学知识技能,还体现了学法的指导,更重要的是给了学生一次自我评价的机会,使他们初步学会评价自己,体现了评价主体的多元化。
五、说本堂课的教学特点:
我这堂课努力体现以下2个教学特点:
1、 引导学生自主探索,培养学生合作意识和学习数学的兴趣,体现了以学生的发展为本的教学理念。
2、 强化学生探究学习的心理体验,把数学学习和情感态度的发展有机的结合起来
评课
自述:
本节课我本着新课程标准的基本理念:
让学生“人人学有价值的数学”。
从学生已有的经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。
善于激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,让他们积极主动地探索,解决数学问题,发现数学规律,获得数学经验;赵老师善于做好学生学习的组织者、引导者和合作者,在全面参与和了解学生的学习过程中起着对学生进行积极的评价,关注他们的学习方法、学习水平和情感态度,促使学生向着预定的目标发展的作用”。
在教学过程中教师充分采用了“猜一猜——量一量——拼—拼——折一折——看一看……”的教学法。
陈红丽(老师):
在整节课的探索活动中,史老师的设计有独立活动、小组活动。
在具体活动中,史老师让学生大胆猜想,自主探索三角形的内角和是多少度?
再通过测量、拼折、验证等方式让学生确定三角形内角的度数和。
这样,既培养了学生的观察能力和归纳概括能力,又体现了学生动手实践、合作交流,自主探索的学习方式,同时也培养了学生探索能力和创新精神。
黄世进(老师):
本节课“将课堂还给学生,让课堂焕发生命的活力”,“努力营造学生在教学活动中独立自主学习的时间和空间,使他们成为课堂教学中重要的参与者与创造者,落实学生的主体地位,促进学生的自主学习和探究。
”在整个教学设计上赵老师充分体现“以学生发展为本”教育理念,将教学思路拟定为“谈话激趣设疑导入——猜想——验证{自主探究}——巩固内化——拓展延伸”,努力构建探索型的课堂教学模式。
具体体现在以下几点:
岳松(老师):
善用激趣设疑导入:
教学的艺术不在于传授知识,而在于唤醒、激发和鼓励。
刚开始上课,赵老师让同学们观察三角形,你发现了什么?
学生发现了一个是锐角三角形,一个是钝角在角形,一个是直角三角形。
还发现了这三个三角形的内角和是180度。
赵老师就问:
是不是所有的三角形的内角和都是180度呢?
这样,在很短的时间内最大限度的激发学生探究数学的愿望和兴趣,而且也很自然地揭示了课题。
刘牙全(老师):
巧用猜想:
学生有了探索的愿望和兴趣,可是不能没有目标的去探索,那样只会事倍功半,甚至没有结果,这时我让学生大胆猜想,形成统一的认识,使后边的探索和验证活动有了明确的目标。
李吉芬(老师):
善用验证{自主探索}:
学生形成统一的猜想{即三角形的内角和等于180度}后,我就把课堂大量的时间和空间留给学生,让他们开展有针对性的数学探究活动{即验证三角形的内角和是否是180度?
},在活动中,把放和引有机的结合,鼓励学生积极开动脑筋,从不同的途径探索解决问题的方法。
不但让每个学生自主参与验证活动,而且使学生在经历观察、操作、分析、推理和想象活动过程中解决问题,发展空间观念和论证推理能力。
具体过程为:
量一量——拼一拼——折一折——看一看。
陈文华(老师):
善于引导巩固内化:
俗话说的好:
“熟能生巧”。
数学离不开练习,要掌握知识,形成技能技巧,一定要通过练习。
养成良好的思维品质也要通过一定的思考练习,课程标准提倡练习的有效性。
对此,赵老师非常注意将数学的思考融入不同层次的练习之中,很好的发挥练习的作用,如:
给出一个三角形的两个角度,学生求第三个角,从中培养学生应用意识和解决问题的能力;让学生判断有两个小三角形拼成的三角形的内角和的度数,使学生在图形变化的过程中掌握知识,培养思维的灵活性,从中发展学生的空间观念和空间想象能力。
这些练习设计目的明确,针对性强,使学生不但巩固了知识,更重要的是数学思维得到不断的发展。
李家德(老师):
有一定的拓展创新:
数学具有严密的逻辑性和抽象性。
而学生学习内容的呈现是从简单到复杂,思维方式是从具体到抽象的一个循序渐进的过程,前面学习的知识往往是后面进一步学习的基础。
要培养学生思维的灵活性,可以先让学生学会对知识的迁移。
本课最后,赵老师设计了这样一道题目:
学了三角形的内角和后,你知道四边形的内角和是多少度吗?
这道题通过对本节课所学知识的迁移就可以完成,既能对学生进行思维训练,又能培养学生应用知识的能力,更能培养学生的创新意识和创新精神。
周雄坤(老师):
本节课教学活动中史老师充分体现以下特点:
以学生发展为本,以学生为主体,思维为主线的思想;充分关注学生的自主探究与合作交流;练习体现了层次性,知识技能得于落实和发展。
教师是学生学习的组织者、引导者、合作者,而非知识的灌输者,因而对一个问题的解决不是要教师将现成的方法传授给学生,而是教给学生解决问题的策略,给学生一把在知识的海洋中行舟的桨,让学生在积极思考,大胆尝试,主动探索中,获取成功并体验成功的喜悦
七年级数学下学期公开课材料
(多边形的内角和)
史书宏
2010年4月
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