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分形维数浅释
分形维数(FractalDimension)浅释
笔者:
喻麟佑博士(美国亚利桑那大学物理学博士)
2012年3月于广州
.、八、-
刖言:
最近,数学课下课后,有学生问我一个网上流传的数学问题,令很多学生困
惑。
简化以后,大意可以由下图描述:
三角形的两个斜边一直往下折,折了无穷次后,看起来不就是和底边一样了?
那么,1+1不就等于.2了?
要回答类似这个问题,必须了解分形(Fractal)的原理才行。
其实这两个斜边,折了无穷次后,是一个分形的结构,和一条直线是大不相同的。
现在,我们来了解一下分形的原理。
正文:
分形(Fractal),又称“碎形”或“残形”。
这种几何形状,对很多人而言,其实并不陌生,大家或多或少都可在一些书本、杂志封面、海报或月历等地方看到过。
自从20世纪80年代开始[注一],“混沌(chaos)”,“奇异吸引子(strangeattractors)”,“分形(fractal)”,还有与以上相关的许多新名词,如雨后春笋般呈现,且被人们所津津乐道。
无论是专业人士的讨论或一般茶余饭后的闲谈皆然。
分形几何,有若干特性,例如“自相似性(self-similarity)”等等。
本文由一个最耐人寻味的特性切入,那就是分形维数(FractalDimension)。
并且,也借此讨论过程,得以对分形(碎形)有更深入的了解。
首先,众所周知,一般几何所用的维数,或维度(Dimension)是整数,如一
个点是0维,一条线段是1维,一个在平面上的几何图形是2维,如一个方形或一个圆形;再者,一个立方体或一个球形,则被视为3维
然而,分形,却具有非整数的维数。
这是怎么回事呢?
为了解释清楚,我们
先看看一条线段(如图一):
1L—
1
t£
A
11—!
L1
N、一1q-
飞
"£
L
一TiTjdJC*-
■
11■1——
1=4cj■
‘4
—11~<—1_<—*~*—*—M二£是=—
38
*
*
图一
如果我们把此线段分割一次,则
n1,ni2,i-L
2
式中L是一个常数,
n是分割的次数,
Nn乃分割n次后的总碎片数,
第二次分割(每个线段再分割一次):
2
n2,242,
第三次分割(每个线段再分割一次):
n3,N3823,
LL
823
因此,我们不难知道,分割n次后,总碎片数:
心2n,每一碎片大小:
现在,让我们来定义一个维数D:
式一也可写成(先暂不管n):
LD
-D
n
等式两边取自然对数:
D
ln—InNn
n
DIn—InNn
n
D哼或d
In—InLIn丄
nn
严格来说,分割的次数n为无穷大(n)
..InNnIim
n0In=
n0n
Iim
In
noInL
n
Nn
In
n
(式二)
因为In丄?
InL,我们也不难得到n
InNn
In丄
n
所以,L这个常数,对维数来讲,并不重要
算这条线
到目前为止,可能不太容易理解,到底怎么回事了。
好,让我们来算段的“豪斯多夫”维数吧!
由式二,
因此,我们得到这条线段的“豪斯多夫”维数是1
再者,让我们来看看一个在平面上的几何图形(如图二):
观察图二,我们不难得到:
当n
1,
2L
Ni42,!
-
当n
2,
N21624,2丄占
422
所以分割n次后,
Nn
22n,
由式二,
lim
n
InNn
n
limln22n
n
lim
n
ln22n
ln2n
lim叱
ncnln2
2n
也就是说,这个方形的“豪斯多夫”维数是2
那么非整数的维数,是怎么回事呢?
让我们来看看著名的“康托尔”集
(CantorSet)。
“康托尔”集,可说是最简单的一种碎形了。
它可由如下方式形成
(如图三):
观察图三,我们不难理解:
所以分割n次后,
由式二,
在此,我们得到了一个非整数的维数D=0.631。
这是一介于0和1之间的维数。
让我们进一步看看介于1和2之间的维数。
它是一个碎形(如图四)
图四
我们可以由以下方法得到这个分形(图五):
冬五
观察图五,我们可以得到:
当n3,N353,
27
所以操作n次后,
由式二,
lnNnDlim-
ln5nlim
ln5nlimn
..nln5lim
ln51.465
n0ln丄
n0n
n.L
n01n匸
n°ln3n
n
n0nln3
n0
ln3
这一次,我们得到了一个非整数的维数D=1.465。
这是一介于1和2之间的维数。
十分有趣的是,这个碎形的总面积为0,因为
2n
总面积lim(Nn2)lim5n£L2lim50
nn3n9
另外,还有一个非常典型且有名的例子,那就是“科赫”曲线(KochCurve)
(如图六),十分值得我们来讨论。
KochCurve
图六
我们可以由以下的运作得到这个“科赫”曲线(图七)
观察图七,我们可以归纳出:
L
由式二,
于是,我们得到了“科赫”曲线的维数D=1.262。
这也是一介于1和2之间的
维数。
非常有趣的是,这个“科赫”曲线的总长度是无穷大(看起来像吗?
),
因为
n
L4
总长度lim(Nnn)lim(4nn)Llim
以上两个例子,不是线,也不是面,它们似乎是某种介于线与面之间的存在。
读者可以加以沉思一番。
“科赫”曲线的研究十分有用,常用来帮助分析海岸线(coastline)的结构,由近似的分形维数,可以定量的分析海岸线的平滑度或不平滑度(Smoother”or
rougher")。
据文献记载,英国(GreatBritain)的海岸线之分形维数的近似值为
1.25;而南非(SouthAfrica)海岸线分形维数的近似值为1.0;挪威(Norway)海岸线分形维数的近似值为1.52。
可见南非的海岸线是相当平滑的,而英国的海岸线则是比较不平滑的(rougher),较接近“科赫”曲线的特性;而挪威的海岸线则是更趋复杂。
分形树(FractalTrees)的分形维数也相当有趣,十分值得我们讨论。
另外,值得一提的是,分形的“豪斯多夫”维数并非一定是非整数的,有时也会是整数。
严格来说,分形的“豪斯多夫”维数大于“拓扑”维数,这样比较正确。
以下是一个例子一H分形(H-fractal),或称H树(H-Tree),(如图八)它的确是一个分形,但“豪斯多夫”维数为2。
F〒bEbhr*hrFMMMM►rh*〒〒Lh"1n*1n*1FFt 4TTi14UTThlj|JiTXjJcpL|^npi|-qj|=4l-TTPij-qTTHiM=i~P-iJT~P-iJTpU-OTii TllmfTifT〒ITifIf |Jjl-H山山丄丄|X|X山山山山山山山山山4山山山山丄丄丄丄丄丄rl|丄丄 图八 这个特殊的H碎形可由以下的运作得到(图九): 图九 观察图九,我们可以归纳出: Ni 读者不难算出,其“豪斯多夫”维数恰好等于2。 留给读者当家庭作业吧 以下四个分形树(TreeFractal),分支夹角各为120度,140度,160度,和180度, 一些很单纯的分形,我们可以直接计算出来它们的维数,但是许多较复杂的分形,则是常用的盒计数法(Box-CountingMethod)。 此方法十分简易且有效。 步骤如下,随着n的增加,计算方形“盒子(boxes)”的数目(如图十一),可以估计出分形的维数(而n不需很大)。 用这个方法可以有效地估计出相当复杂、或不规则形状的分形之维数,这一方面,限于篇幅,不详谈了。 还有一个很重要的定理: 若一个几何图形包含两个以上的不同维数的图形,那么,这整个图形的维数,必定等于那个较大的维数。 这个特性可以由盒计数法来加以阐释的很清楚(限于篇幅,不加赘述)。 因此,整个分形树(TreeFractal)的维数(如图),恰恰等于最终端分支的维数(如果最终端分支的维数大于或等于1)。 如果最终端分支的维数小于1,则整个分形树(TreeFracta)的维数必定是1,因为一支树干的维数是1。 最后,关于分形的应用,不仅是在物理学,地理学,海洋学,更可应用在医学,生物学,化学,纺织学,设计学等等诸多的领域里。 比如说化学,分子的分形结构及维数,会影响到许多化学反应的机制、快慢。 又比如说纺织学,人造纤维的分形结构及维数,也会深深地影响到许多成品的巨观特性,如色泽等等。 至于在美学的设计上,那就是更直接,更生动了! 图十二 希望本文粗浅的介绍,能带给读者几许好奇心,或兴趣,来欣赏一下这门蛮新的学问,扩充一下我们对大自然的看法。 喻麟佑博士 2012年三月 于广州 附注: B.Mandelbrot.TheFractalGeometryofNature,W.H.FreemanandCo., NY1977.
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