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北京理科数学
2018年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)
(共150分,考试时长120分钟)
一.选择题:
每小题5分,共40分.每小题的4个选项中,只有一项符合题目要求.
1.(2018·北京·文/理)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A⋂B=()
A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}
2.(2018·北京·文/理)在复平面内,复数
的共轭复数对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.执行如图所示的程序框图,输出的S值为()
A.
B.
C.
D.
4.(2018·北京·文/理)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单的频率的比都等于
若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()
A.
fB.
fC.
fD.
f
5.(2018·北京·文/理)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()
A.1B.2C.3D.4
6.(2018·北京·理)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.(2018·北京·理)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到
直线x-my-2=0的距离,当θ,m变化时,d的最大值为()
A.1B.2C.3D.4
8.(2018·北京·文/理)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则()
A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉A
B.当且仅当a<0时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤
时,(2,1)∉A.
二.填空题:
共6小题,每小题5分,共30分
9.(2018·北京·理)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36则{an}的通项公式为__________.
10.(2018·北京·理)在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ=a与圆ρ=2cosθ相切,则a=_______.
11.(2018·北京·理)设函数f(x)=
(ω>0),若f(x)<
对任意的实数x都成立,
则ω的最小值为_____.
12.(2018·北京·文/理)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是___________.
13.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是___________.
14.已知椭圆M:
(a>b>0),双曲线N:
.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为_______;双曲线N的离心率为______.
三、解答题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
15.(本小题13分)
在△ABC中,a=7,b=8,cosB=
.
(Ⅰ)求∠A;
(Ⅱ)求AC边上的高.
16.(本小题14分)
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别是AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=
AC=AA1=2.
(Ⅰ)求证:
AC⊥平面BEF;
(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值;
(Ⅲ)证明:
直线FG与平面BCD相交.
17.(2018·北京·理)(本小题13分)
电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.12
0,25
0.2
0.1
好评率是指:
一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(Ⅱ)随机选取1部电影,估计恰有一部电影获得好评的概率;
(Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢,“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们的喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.
18.(2018·北京·理)(本小题13分)
设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与x轴平行,求a;
(Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.
19.(2018·北京·理)(本小题14分)
已知抛物线C:
y2=2px经过点这(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;
(Ⅱ)设O为原点,
求证:
为定值.
20.(2018·北京·理)(本小题14分)
设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…,tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n}.对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn),记
M(α,β)=
[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+...+(xn+yn-|xn-yn|)]
(Ⅰ)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值;
(Ⅱ)当n=4时,设B是A的子集,且满足:
对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α,β)是奇数,当α,β不同时,,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;
(Ⅲ)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:
对于B中的任意两个不同元素α,β,M(α,β)=0,写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.
参考答案:
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