全国卷Ⅰ理科数学含答案数学理科.docx
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全国卷Ⅰ理科数学含答案数学理科
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
1.若z=l+i,则lr-2zl=
A.0B.1C.72D.2
2.设集^A={xLr^<0},B=(.d2x+<0},且ACB={.d-2gl},则“=
A.-4B.-2C.2D.4
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的髙为边长的正
方形面积等于该四棱锥一个侧而三角形的面积,则其侧而三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值
为
A.虽1B.逅C.逅11D.逅±1
4242
4.已知A为抛物线C:
y2=2p.Y(p>0)上一点,点A到C•的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则尸
A.2B.3C・6D・9
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:
°C)的关系,在20个不同的温度
条件下进行种子发芽实验,由实验数据(心X)(i=l,2,….20)得到下而的散点图:
由此散点图,在i(rc至40。
(:
之间,下而四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程
类型的是
6.函数/(x)=x4-2x3的图像在点(h/⑴)处的切线方程为
A.y=-2x_lB.y=-2x+lC.y=2x-3D.y=2x+l
7•设函数/(x)=cos(fyx+—)在[-兀,兀]的图像大致如下图,则•心)的最小正周期为
8.(x+^-)(x+y)5的展开式中Qv3的系数为
x
9.已知ae(O,7r),且3cos2a-8cosa=5,贝ijsina=
752175
A.B.—C.—D・
3339
10.已知A,B,C为球0的球而上的三个点,为AABC的外接圆,若00]的而积为4兀,
AB=BC=AC=OC\,则球O的表而积为
A.64兀B.487TC.36兀D.32兀
11.已知OM:
x2+y2-2x-2y-2=0,直线/:
2x+y+2=0,P为/上的动点,过点P作OM的切
线PA,PB,切点为A.B,当IPM\\AB\最小时,直线力3的方程为
A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+l=0D.2x+y+l=O
12.若2°+log"=4°+2log』,则
A.a>2bB・ab2D・a 二、填空题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。 2x+y-2<0. 13.若X,y满足约束条件*x--1>0,则z=x+ly的最大值为. 丿+lna 14.设a上为单位向量,且la+〃l=l,贝ijla1=. 22 15.已知F为双曲线C: 二-二=1(“>0上>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x 轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为. 16.如图,在三棱锥P-ABC的平而展开图中,AC=hAB=AD=*,AB丄AC,AB丄AD,ZCAE=30°, 则cosZFCB= 三、解答题: 共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (-)必考题: 共60分。 17.(12分)设{叩是公比不为1的等比数列,吗为也,①的等差中项・ (1)求{①}的公比; (2)若q=l,求数列{nan}的前几项和. 18.(12分) (1)证明: Q4丄平而PBC: (2)求二而角B—PC—E的余弦值. 19.(12分) 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约泄赛制如下: 累计负两场者被淘汰: 比赛前抽签决泄首先比赛的两人,另一人轮空: 每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结朿. 经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为丄, 2 (1)求甲连胜四场的概率: (2)求需要进行第五场比赛的槪率; (3)求丙最终获胜的概率. 20.(12分)已知A.B分别为椭圆E: 4+/=1(Q1)的左、右顶点,G为E的上顶点,AG= cC P为直线x=6上的动点,胡与E■的另一交点为GPB与E的另一交点为D. (1)求E的方程: (2)证明: 直线CD过左点. 21.(12分)已知函数f(x)=cx+ax2-x. (1)当时,讨论/(x)的单调性: (2)当总0时,/(x)N丄斤+1,求"的取值范围. 2 (-)选考题: 共10分。 请考生在第22、23题中任选一题作答。 22.[选修4—4: 坐标系与参数方程](10分) X=cos'f, 在直角坐标系中,曲线C]的参数方程为・(•(,为参数).以坐标原点为极点,X轴正半轴为 y=sint 极轴建立极坐标系,曲线G的极坐标方程为4QCOs8-16Qsin&+3=0・ (1)当时,G是什么曲线? (2)当《=4时,求G与G的公共点的直角坐标. 23.[选修4一5: 不等式选讲](10分) 已知函数/(a)=13x+1I-2Ix-1I. (1)画出y=.fM的图像; (2)求不等式+的解集. 2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案(A卷) 选择题答案 一、选择题 1.D2・B 3.C4.C5・D6.B7.C8.C9・A10.A11.D12.B 非选择题答案 二、填空题 13.1 3.解答题 17.解: (1)设{%}的公比为°,由题设得2竹=勺+。 3,即20=叩+曲 所以—2=0,解得q=\(舍去),g=_2. 故{陽}的公比为一2. (2)设S“为{,“}的前"项和•由 (1)及题设可得,山=(-2严.所以 S”=1+2x(―2)+…+“x(—2)"-', -2S„=-2+2x(-2尸+…+(“-1)x(-2)"“+nx(_2)". 可得35,,=1+(-2)+(-2)2+…+(一2严一nx(一2)” =hx(-2)・ 3 所丄3空. 99 18.解: (1)设DO=a,由题设可得PO=§~a、AO=^~gAB=u, 63 PA=PB=PC=—a- 2 因此PA24-PB1=AB2»从而Q4丄PB. 又PA2+PC2=AC2,从而PA丄PC. 所以P4丄平面PBC. (2)以O为坐标原点,呢的方向为y轴正方向,丨呢I为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz. 由题设可得E(O,1,O),A(O,-1,0),C(—£,£,0),P(0,0,f. 所以瓦=( m・EP=0设m=(兀”z)是平而PCE的法向量,贝%一 m・EC=0 可取心(-牛皿). 由⑴知於(。 呼是平面心的-个法向量,记5, tint l/illml 所以二而角B-PC-E的余弦值为弋一・ 19.解: (1)甲连胜四场的概率为丄・ 1O (2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛. 比赛四场结朿,共有三种情况: 甲连胜四场的概率为丄: 16 乙连胜四场的概率为丄: 16 丙上场后连胜三场的概率为,O 1113 所以需要进行第五场比赛的概率为+・ 161684 <3)丙最终获胜,有两种情况: 比赛四场结朿且丙最终获胜的概率为! . O 比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况: 胜 胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为丄,I・ 1688 因此丙最终获胜的概率为・ 816X816 20•解: (1)由题设得A(p,0),B(“,0),G(0,1)・ 则AG=(at\)>GB=(",T)•由走•而=8得o2-",即“=3. 所以E的方程为y+r=i. (2)设C(.¥1,yi),D(X2,J2)fP(6,/)・ 若*0,设直线CD的方程为g”y+”,由题意可知-3 由于直线用的方程为尸彳(x+3),所以V]=^3+3). 直线的方程为尸;(心3),所以)5-3)・ '33 可得3yi(.¥2-3)=yi(xi+3)・ 由于守+),;=1,故衣=—if,_—,可得27y2y2=-(x,+3)(x,+3), 即(27+m2)yxy2+m(n+3)(y〕+y2)+(n+3)2=0•① 代入①式得(27+〃/)(/—9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0. 3 解得〃—3(含去),% 33 故直线CD的方程为x=/;/y+-,即直线CD过尬点(-,0)・ 3 若=0,贝IJ直线CD的方程为〉=0,过点(70〉・ 3 综上,直线CD过定点(丁,0)・ 2 21•解: (1)当“=1时,/(X)=€”+疋一上则/V)=ev+2v-l. 故当xW(p,0)时,•厂(力<0;当xW(0,+oo)时,/V)>0.所以/(x)在(Y,0)单调递减,在(0,+00)单调递增. (2)f(x)>|x3+l等价于(討-ax2+X+l)e-1<1. 设函数g(A-)=(|x3-^2+x+1)/(x>0),贝I] 13 g"(x)=-(—x3—ax1+x+l-―X,+2or-l)c7 22 =--4x2-(2a+3)x+4 2 =_*x(x—2a—1)(.¥—2)e-t. (i)若加+1W0,即则当xw(0,2)时,g'(x)>0.所以g(a)在(0,2)单调递增,而g(0) =1,故当xW(0,2)时,g(x)>1,不合题意. (ii)若0<2“+1<2,即—*<"<[,则当xG(0,2“+l)U(2,+00)时,gOXO: 当xW(2“+l,2)时,g'(x)>0. 所以g(x)在(0,加+1),(2,+oo)单涮递减,在(加+1,2)单调递增•由于g(0)=l,所以g(x)勺当且仅当 7-e2 g (2)=(7一4")「匕1,即心・ 4 7-e21 所以当—时,g(烧L (iii)若2«+1>2,即心*,则g(x)<(^x3+A-+l)e-\ 7-e21| 由于0e[—j-,-),故由(h)可得(于'+x+l)「yL 故当a>^时,^(x) 7-e2 综上,“的取值范围是[J-、+oo)・ 4 兀=cost 22.解: 当时,G: ".'消去参数/得x2+r=it故曲线g是圆心为坐标原点,半径为1的圆. y=sinr, { x=cos't 一・丄•消去参数f得c: 的直角坐标方程为石+J7=1・ y=sinf, C的直角坐标方程为4x-16y+3=0. 解得 1 >,=4 4x+y[y=h 4x-16y+3=0 故G*的公共点的直角坐标为虽). 23.解: (1)由题设知/(x)= x+3,x>1. y=/u)的图像如图所示. (2)函数y=/(x)的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=/(x+l)的图像. 7I] y=/(a)的图像与y=/(x+D的图像的交点坐标为・ 66 7由图像可知当且仅当x<~时,y=f(x)的图像在y=/(x+l)的图像上方, □ 7 故不等式/(x)>/(x+l)的解集为(-00、-£)・ O
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