《数值计算方法》试题集及答案.docx
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《数值计算方法》试题集及答案
《计算方法》期中复习试题
一、填空题:
1、已知/0)=10,f⑵=1.2,/⑶=1.3,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得
」f(x)dx«,用三点式求得广⑴心。
答案:
2.367,0.25
2、/(】)=-1,/
(2)=2,/(3)=1,则过这三点的二次插值多项式中疋的系数为,
拉格朗日插值多项式为O
3、近似值=0.231关于真值%=0.229有
(2)位有效数字;
5、对/'(兀)=x'+x+l,差商/[0丄2,3]=
(1)t/[0丄2,3,4]=(0);
6、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差;
7、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间⑺上)的根时,二分〃次后的误差限为
b_u
(诃);
8、已知只1)=2,人2)=3,人4)=5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15);
f1f(x)dx⑴血Q丄[/(空二)+/(竺二)]
11、两点式高斯型求积公式〜少2'2上-2^3),代数精
度为(5);
y=10+(3+(4-6f”)/,f=
达式改写为」兀-1_,为了减少舍入误差,应将表达式
J200]_佰莎改写为^2001+V1999o
13、用二分法求方程/(x)="+x-l=°在区间[0,1]的根,进行一步后根的所在区间为0.5,1.进行两步E根的所在区间为0.5,0.75o
14、计算积分L皿\取4位有效数字。
用梯形公式计算求得的近似值为0.4268,
用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309,梯形公式的代数精度为1,辛卜生公式的代数精度为3。
15、设/(O)=0,/(I)=16,/
(2)=46I.(x)=_/1(x)=-x(x-2)_>f(x)的二次牛顿
插值多项式为_“2(兀)=16x+7心一1)_。
了(x)ckaf人/(忑)
16、求积公式"0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高,具
有(2//+1)次代数精度。
23、改变函数fZE-丘
(1)的形式,使计算结果较精确
/W=V7TT+V7o
24、若用二分法求方程/W=0在区间[1,2]的根,要求精确到第3位小数,则需要对分卫次。
25、设
恥化驚二,心是仆•条函数,则
a二3、b=・3,c=1o
f£'(]X
26、若用复化梯形公式计算%,要求误差不超过10",利用余项公式佔计,至少用
477个求积节点。
27、若/(x)=3/+2x+1,则差商712,4,8,16,32]=2。
ri2
If(x)dx«-[/(-I)+8/(0)+/r(l)]
28、数值积分公式」9的代数精度为
2o
选择题-
1、三点的高斯求积公式的代数精度为(B)o
A.2B.5C.3D.4
2、舍入误差是(A)产生的误差。
A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值
C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值
3、3.141580是n的有(B)位有效数字的近似值。
A.6B.5C.4D.7
4、用1+兀近似表示J所产生的误差是(C)误差。
A.模型B.观测C.截斷D.舍入
x
5、用1+亍近似表示阳匚所产生的误差是(D)误差。
A.舍入B.观测C.模型D.截斷
6、-324.7500是舍入得到的近似值,它有(C)位有效数字。
A.5B.6C.7D.8
7、设/(-1)=1/(0)=3/⑵=4,则抛物插值多项式中%2的系数为(A)。
9、(D)的3位有效数字是0.236X102o
(A)
(C)235.418(D)235.54X10-1
0.0023549X103(B)2354.82X10-2
10、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程f(x)=0表示成xnp(x),则f(x)=0的根是
11、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)o
(A)f(x,xO,x1,x2,•…,xn)(x—x1)(x—x2)・・・(x—xn—l)(x—xn),
(B)5心心5
(C)f(x,xO,x1,x2,・・・,xn)(x—xO)(x—x1)(x—x2)...(x—xn—l)(x—xn),
R“(x)=/(x)-PK(x)=-__e卄心)
(D)5+1)!
12、用牛顿切线法解方程f(x)=O,选初始值xO满足(A),则它的解数列{xn}n=0,12…
一定收敛到方程f(x)=O的根。
(A)f(x0)f\x)>0(B)/(x())/V)>0(C)f(x0)f\x)<0(D)/(x0)/r(x)<0
13.
为求方程x3—x2—1=0在区间[1.3,1.6]的一个根,把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是(A)o
X=1+丄,迭代公式:
X知]=1+-L
(B)厂忑
(C)*=1+〒,迭代公式:
忑+i=(1+川)小
X3-1=x2,迭代公式:
xk+l=1+-,—5
(D)忑+xk+1
14、在牛顿■柯特斯求积公式:
山台中,当系数G是负值时,
公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当()时的牛顿■柯特斯求积公式不
使用。
(1)心8,
(2)心7,(3)心10,(4)心6,
23、有下列数表
X
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f(x)
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
所确定的插值多项式的次数是()o
(1)二次;
(2)三次;(3)四次;(4)五次
15、取石"732
计算"S-ir,
下列方法中哪种最好?
()
16
16
(A)28—16\/J.
(B)(4-2希儿
(C)(4+2>/3)2;
(D)"+1)4o
()
(A)6,6;(B)6,8;(C)8,6;(D)8,8。
16、曲下列数表进行Newtoit插值,所确定的插值多项式的最高次数是()
1
1.5
2
2.5
3
3・5
/(X,)
•1
0.5
2.5
5.0
&0
11.5
(C)3;
(D)2。
(B)4;
17、形如丄八恥5八"+"也)+儿/(®)的高斯©Uss)型求积公式的代数精度为()
(D)3。
(A)9;(B)7;(C)5;
18、计算书的Newton迭代格式为(
x.3x.3
X..=—+—X.,=—+
(A)2x,;⑻22x,
19、用二分法求方程x3+4x2-10=0在区间[1,2]的实根,要求误差限为^=2X1°,则对分次数至少为()
X
0
1
2
3
4
f(x)
1
2
4
3
-5
确定的唯一插值多项式的次数为()
(A)4;(B)2;(C)l;(D)3o
23、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()
(A)8:
(B)9;(C)10;(D)llo
三.是非题(认为正确的在后面的括弧中打7,否则打X)
K已知观察值(心才)(:
=0』2,…,山),用最小二乘法求n次拟合多项式PnW时,
2
2、用1-2近似表示cosa•产生舍入误差。
()
(兀一必)(兀一勺)
3、(x[-x0)(xi-x2)表示在节点xi的二次(拉格朗日)插值基函数。
(<)
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时,高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。
(7)
"31r
-253
5、矩阵」2'丿具有严格对角占优。
()
四、计算题:
r!
11
1、求A、B使求积公式[丿⑴〃2汕/(一1)+・/
(1)]+冈/(—3)打结)1的代数精度尽量
答案:
/(x)=l,n2是精确成立,即
2A+2B=2
2A+-B=-
23
求积公式为匸gg扣1+/⑴H細-扣尼)]
2丄
当fM=x3时,公式显然精确成立;当fM=x4时,左二门右=3。
所以代
数精度为3。
fi1z1r11.8r11n
J-U+39-1+31+39—1/2+31/2+3
—q0.69286
140
2、已知
1
3
4
5
/(兀)
2
6
5
4
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求/(兀)的三次插值多项式△("),并求/
(2)的近似值(保留四位小数)。
L(y)_2(x_3)(x_4)(x_5)|6(尤_1)(尤_4)(兀_5)
答案:
3'(1-3)(1-4)(1-5)(3-1)(3-4)(3-5)
+5(x-l)(x-3)(x-5)*4(x-l)(x-3)(x—4)
(4-1)(4-3)(4-5)(5-1)(5-3)(5-4)
差商表为
兀
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1
2
3
6
2
4
5
-1
-1
5
4
-1
0
1/4
/>(X)=N3(x)=2+2(x-1)-(x-l)(x-3)+-(x-l)(x-3)(x-4)
4
f⑵5
(2)=5.5
-2-1012
/U)
42135
求fM的二次拟合曲线PiM,并求广(0)的近似值。
答案:
解:
■
1
升
■V-
V,
0
-2
4
4
-8
16
-8
16
1
■1
2
1
-1
1
-2
2
2
0
1
0
0
0
0
0
3
1
3
1
1
1
3
3
4
2
5
4
8
16
10
20
工
6
15
10
0
34
3
41
5、已知
5。
0+10^2=15
0a1=3
正规方程组为+34©=41
10311
°7110214
z10311°“、311
“3=亍帀"孑〜^W=w+7x
3
/\o)«zx(o)=-
6、已知siiix区间[0.4,0.8]的函数表
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.38942
0.47943
0.56464
0.64422
0.71736
如用二次插值求sinO.63891的近似值,如何选择节点才能使误差最小?
并求该近似
值。
答案:
解:
应选三个节点,使误差
M
1也)広亍5(x)1
尽量小,即应使l®(x)l尽量小,最靠近插值点的三个节点满足上述要求。
即取节点
{0.5,0.6,0.7}最好,实际计算结果
Sin0.63891^0.596274
9
且
|sin0.63891-0.596274|
<-^|(0.63891-0.5)(0.63891-9-0.6)(0.63891-0.7)|
3!
<0.55032xlO-4
7、构造求解方程ex+10x-2=°的根的迭代格式心+1=0(岛),“0,1,2,…,讨论其收敛
性,并将根求出来,I心+]—xJv1(T4。
答案:
解:
令/W=eA+10x-2,/(0)=-2<0,/
(1)=10+^>0
且/V)=e'+10>0对0xw(-oo,+oo),故f(x)=0在(o,l)有唯一实根.将方程
f(兀)=0变形为
兀=丄(2-J)
10
则当xw(0,1)时
恥)诂(2-")話爲<1
故迭代格式
xn+i=—(2-eb,)
收敛。
取xo=°-5,计算结果列表如下:
n
0
1
2
3
Xn
0.5
0.035127872
0.096424785
0.089877325
n
4
5
6
7
Xn
0.090595993
0.090517340
0.090525950
0.090525008
且满足I兀7一乂6K°・°°°00095V10"所以F。
0.090525008
10、已知下列实验数据
Xi
1.36
1.95
2」6
16.844
17.378
18.435
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。
解:
当Owl时,/*W=ex,则|/⑴|3,且IedA有一位整数.
用")(/)匕丄><10-4要求近似值有5位有效数字,只须误差I2・
即可,解得
叫討心E…
所以72=68,因此至少需将[0,1]68等份。
12、取节点勺=°心=°・5,七T,求函数fM=e-'在区间[0,1]上的二次插值多项式Ad),并估计误差。
p(x)=e~°x(x_().5)(x_l)*严5x(x_0)(x_l)
解:
2'(0-0.5X0-1)(0.5-0)(0.5-l)
_!
(x-0)(x-0.5)
+ex-
(1-0)(1-0.5)
=2(x-0.5)(x-1)-4e^Q5x(x-1)+2e^lx(x-0.5)
f(x)=e^xyfm(x)=-e~\M.=maxIfm(x)1=1
又go」]
IR2(x)1=1严-A(x)l<—Ix(x一05)(x-1)I
故截断误差3!
o
14、给定方程/W=U-DeA-l=0
1)分析该方程存在几个根;
2)用迭代法求出这些根,精确到5位有效数字;
3)说明所用的迭代格式是收敛的。
解:
1)将方程(A-l)ev-l=0
(1)
改写为
x_l=「
(2)
作函数fiW=x-\9f2W=ex的图形(略)知
(2)有唯一根兀飞(1,2)。
计算结果列表如下:
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Xk
1.22313
1.29431
1.27409
1.27969
1.27812
1.27856
1.27844
1.27847
1.27846
3)(p(x)=1+e~A,(p\x)=_c_'
当xw[l,2]时,(p(x}e[(p⑵,0
(1)]u[1,2],且
所以迭代格式忑+1=0(忑)伙=o」2…)对任意-^0e[1.2]均收敛。
15、用牛顿(切线)法求巧的近似值。
取x0=1.7,计算三次,保留五位小数。
解:
巧是/U)=a2-3=。
的正根,广(兀)=2\牛顿迭代公式为
解:
17、心3,用复合梯形公式求」)"山的近似值(取四位小数),并求误差估计。
£exdr心Ty=i^[e°+2(e,/3+e2/3)+e*]«1.7342
解:
。
2x3
/(x)=e\/7x)=e\OKI时,I厂(QU
IR1=1ev-T,l<―。
=—=0.025--•<0.05
312x32108
至少有两位有效数字。
20、(8分)用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据:
19
25
30
38
19.0
32.3
49.0
73.3
解:
①=¥"川1,十}
'0.9255577'C=
0.050102521、(15分)用«=8的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算时,试用余项佔计其误差。
用«=8的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算出该积分的近似值。
呦一罟心切詁X护,舟=0.001302
+0.5352614+0.47236655+0.41686207)+0.36787947]
=0.6329434
22、(15分)方程疋7-1=0在x=l・5附近有根,把方程写成三种不同的等价形式
(1)a=V7T1对应迭代格式和=卜+1;(2广]对应迭代格式心刊卜兀;(3)2疋-1对应迭代格式心产尤一1。
判断迭代格式在Ao=k5的收敛性,选一种收敛格式计算x=1.5附近的根,精确到小数点后第三位。
1--
解:
(1)以沪尹+”以1斗0•咲1,故收敛;
(2)2XVx,|0(L5)|=O」7<1,故收敛;
(3)0")=3/,(1.5)|=3x1.52>1,故发散。
选择
(1):
xo=L5,州=1.3572,x2=1.3309,心=1.3259,=1.3249,
些=1・32476,x6=1.32472
25、数值积分公式形如
卜蚀心Sgf(0)+砂⑴+中0)+〃⑴试确定参数u使公式代数精度尽量高;⑵设/Gv)eC4[0,l],推导余项公式恥)=[月HS(x),并估计误差。
23a=〉B=Lb=丄D—丄
解:
将fW=l.x.x\x分布代入公式得:
20’20’30*20
H3(-V,)—f(兀)
<
构造Hermite插值多项式比⑴满足[/(")=广(“)'=°」其中“=。
內=1
则有:
jX(x)dx=S(x),弘)_恥)=兽"莎
R(x)=[X[f(x)-S(x)]dx=(气片X3(x-l)2dx
4!
血4!
x601440
27、(10分)已知数值积分公式为:
Cf(x)dx^-[f(0)+/(”)]+刀『[/(0)-/(力)].
Jo2“,试确定积分公式中的参数2,使其代
数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。
解:
/(力=1显然精确成立;
门、[hxdx=—=-[0+h]+Ah2[\-\]
fM=x时,J<)22;
“.f\2Jx=—=-[O+/72]+^2[O-2/?
]=—-2x/?
=>2=—JM=x时,J()32212;
x、3(llx3dx=—=-[0+h3]+丄/厲0一3/?
2]
JM=x时」4212;
x、4fxAdx=Zi-/i[0+//4]+—/72[0-4//3]=—
JM=X时,Jo52126.
所以,其代数精确度为3。
’
28、(8分)已知求亦《>0)的迭代公式为:
兀+i=—(林+—)x()>0k=0,1,2…
2耳
证明:
对一切《=1,2,…,亦,且序列£}是单调递减的,
从而迭代过程收敛。
^^.+|=—{xk+—)>—x2x!
xkx—=4a£=0丄2■•-证明:
2忑2Y忑
故对一切斤=12…,忑>V^O
=—(1+-^-)<—(1+1)=1,i
又丑2x[2所以x,+I 迭代过程收敛。 29、(9分)数值求积公式J』"办辽"(」)+・/ (2)1是否为插值型求积公式? 为什么? 其代数精度是多少? x—2x—1 “、p(x)=-——X/(I)+-—xf (2) 解: 是。 因为/&)在基点1、2处的插值多项式为1-22-1' 30、(6分)写出求方程4x=cos(a)+1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式,并证明其收敛性。 n=0,1,2,… x.=(b(xn)=—[1+cos(x)1(6分)4Lr” |0(•{=S-<\...对任意的初值丸e[0,1],迭代公式都收敛。 31、(12分)以100,121,144为插值节点,用插值法计算、/帀的近似值,并利用余项估 计误差。 用Newton插值方法: 差分表: 100 121 144 10 11 12 0.0476190 0.0434783 -0.0000941136 ^■^10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121) =10.7227555 13-- <--1002xl5x6x29^0.00163 68 32、(10分)用复化沁son公式计算积分小匸普^的近似值,要求误差限为 0.5x10-5。 7x2! 0.000001.93759.6875 x=(2.00003.0000,5.0000)'36、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度: 伪(也aA()/(土+A/(0 取f(x)=l,x,令公式准确成立,得: 观+州=£*+A】=g|A=[ 2,233,o f(x)=x: 时,公式左右=1/4;f(x)=x3时,公式左=1/5,公式右=5/24 •••公式的代数精度二2 40、(10分)已知下列函数表: X 0 1 2 3 f(x) 1 3 9 27 (1)写出相应的三次Lagrange插值多项式; (2)作均差表,写出相应的三次Newton插值多项式,并计算/(出)的近似值。 解: (1) 厶(兀)= (x—l)(x—2)(x—3)(X—0)(x—2)(x—3)(x—0)(x—l)(x—3)(x—0)(x—l)(x—2)(0-1)(0-2)(0-3)*(1一0)(1—2)(1—3)*(2—0)(2—1)(2—3)+(3_0)(3_1)(3_2) 4 Ni(x)=\+2x+2x(x-\)+-x(x-\)(x-2) /(1.5)«^3(1.5)=542、(10分)取5个等距节点,分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分 1+2亍的近似值(保留4位小数)。 解: 5个点对应的函数值/(X)=l+2x2 Xj () 0.5 1 1.5 2 1 0.666667 0.333333 0.181818 0.111111 (2 分) (1)复化梯形公式(n=4,h=2/4=0.5): 7;=—[1+2x(0.666667+0.333333+0.18181
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