1、数值计算方法试题集及答案计算方法期中复习试题一、填空题：1、 已知/0）= 10, f= 1.2, /= 1.3,则用辛普生（辛卜生）公式计算求得f（x）dx ，用三点式求得广心 。答案：2.367, 0.252、 /（】）=-1，/（2） = 2, /（3） = 1,则过这三点的二次插值多项式中疋的系数为 ,拉格朗日插值多项式为 O3、近似值=0.231关于真值% = 0.229有（2 ）位有效数字;5、 对/（兀）= x+x + l,差商/0丄2,3=（ 1 ）t /0丄2,3,4=（ 0 ）；6、 计算方法主要研究（截断）误差和（舍入）误差；7、 用二分法求非线性方程f （x）=0在区间
2、上）的根时，二分次后的误差限为b_u（ 诃 ）;8、已知只1）=2,人2）=3,人4）=5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为（ 0.15 ）;f1 f（x）dx 血 Q 丄/（空二）+ /（竺二）11、两点式高斯型求积公式少 2 2上 -23 ），代数精度为（5）;y = 10 + （3 + （4-6f”）/,f = 达式改写为 兀-1_,为了减少舍入误差，应将表达式J200 _佰莎 改写为 2001 +V1999 o13、 用二分法求方程/(x) = +x-l=在区间0,1的根,进行一步后根的所在区间为 0.5, 1 .进行两步E根的所在区间为 0.5, 0.75 o14、 计算
3、积分L皿取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268 ,用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309 ,梯形公式的代数精度为1 ,辛卜 生公式的代数精度为3 。15、 设/(O) = 0,/(I) = 16,/(2) = 46 I.(x) =_/1(x) = -x(x-2)_ f(x)的二次牛顿插值多项式为_ “2 (兀)= 16x + 7心一 1) _。了 (x)ckaf 人/(忑)16、 求积公式 0 的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2/ + 1 )次代数精度。23、 改变函数fZE-丘 (1)的形式，使计算结果较精确/W=V7TT+V7 o24、 若用二分法求方程/
4、W = 0在区间1,2的根，要求精确到第3位小数，则需要对分卫 次。25、设恥化驚二,心是仆条函数,则a二 3 、b=3 , c= 1 of (X26、 若用复化梯形公式计算 ,要求误差不超过10,利用余项公式佔计，至少用477个求积节点。27、 若/(x) = 3/ + 2x + 1,则差商712,4,8,16,32 = 2 。ri 2I f(x)dx -/(-I) + 8/(0) + /r(l)28、 数值积分公式 9 的代数精度为2 o选择题-1、 三点的高斯求积公式的代数精度为(B )oA. 2 B. 5 C. 3 D. 42、 舍入误差是(A )产生的误差。A.只取有限位数 B.模型
5、准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量 D.数学模型准确值与实际值3、 3.141580是n的有(B )位有效数字的近似值。A. 6 B. 5 C. 4 D. 74、 用1+兀近似表示J所产生的误差是( C )误差。A.模型 B. 观测 C. 截斷 D.舍入x5、用1 +亍近似表示阳匚所产生的误差是(D )误差。A. 舍入 B. 观测 C. 模型 D. 截斷6、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有(C )位有效数字。A. 5 B. 6 C. 7 D. 87、设/(-1)=1/(0)=3/=4,则抛物插值多项式中2的系数为(A )。9、(D)的3位有效数字是0.236X102o(A
6、)(C) 235.418 (D) 235.54 X 10-10.0023549 X 103 (B) 2354.82 X 10-210、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成xnp(x),则f(x)=0的根是11、拉格朗日插值多项式的余项是(B )，牛顿插值多项式的余项是(C ) o(A) f(x,xO,x 1 ,x2，,xn)(xx 1 )(xx2)(xxn l)(x xn),(B)5心心5(C)f(x,xO,x 1 ,x2,xn)(xxO)(xx 1 )(xx2).(xxn l)(xxn),R“ (x) = /(x) - PK (x) = -_ e卄心)(D)5 +
7、1)!12、用牛顿切线法解方程f(x)=O,选初始值xO满足(A )，则它的解数列xnn=0,12一定收敛到方程f(x)=O的根。(A) f(x0)fx) 0 (B)/(x()/V) 0 (C) f(x0)fx) 0 (D) /(x0)/r(x) /3)2 ；(D) +1)4 o( )(A)6, 6； (B)6, 8； (C)8, 6； (D)8, 8。16、曲下列数表进行Newtoit插值，所确定的插值多项式的最高次数是( )11.522.5335/(X,)10.52.55.0&011.5(C) 3；(D) 2。(B)4；17、形如丄八恥5八+ 也)+儿/()的高斯Uss)型求积公式的代数精
8、 度为( )(D) 3。(A)9； (B)7； (C) 5；18、计算书的Newton迭代格式为(x. 3 x. 3X. . = + X. , = + (A) 2 x,； 2 2x,19、用二分法求方程x3+4x2-10 = 0在区间1，2的实根，要求误差限为=2X1 ,则 对分次数至少为( )X01234f(x)1243-5确定的唯一插值多项式的次数为( )(A)4； (B)2； (C)l； (D)3o23、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为( )(A)8： (B)9； (C)10； (D)llo三.是非题(认为正确的在后面的括弧中打7,否则打X)K已知观察值(心才)(：=02,
9、，山)，用最小二乘法求n次拟合多项式PnW时,22、 用1- 2近似表示cosa产生舍入误差。 （ ）（兀一必）（兀一勺）3、 （x-x0）（xi-x2）表示在节点xi的二次（拉格朗日）插值基函数。（ ）4、 牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 （7 ）3 1 r-2 5 35、 矩阵 2 丿具有严格对角占优。 （ ）四、计算题：r! 1 11、求A、B使求积公式丿2汕/（一1）+/（1）+冈/（3）打结）1的代数精度尽量答案：/（x） = l,n2是精确成立，即2A + 2B = 22A + -B = -2 3求积公式为匸gg扣1 + /H細-扣尼）2
10、 丄当fM = x3时，公式显然精确成立；当fM = x4时，左二门 右=3。所以代数精度为3。fi 1 z 1 r 1 1 . 8r 1 1 nJ-U + 3 9 -1 + 3 1 + 3 9 1/2 + 3 1/2 + 3q 0.692861402、已知1345/（兀）2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求/（兀）的三次插值多项式（）,并求/（2） 的近似值（保留四位小数）。L（y）_2（x_3）（x_4）（x_5） | 6（尤_1）（尤_4）（兀_5）答案：3 （1-3）（1-4）（1-5） （3-1）（3-4）（3-5）+ 5 (x- l)(x-3)(x-5) * 4 (x- l)
11、(x- 3)(x 4)(4-1)(4-3)(4-5) (5-1)(5-3)(5-4)差商表为兀一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-101/4/(X)= N3(x) = 2 + 2(x -1) - (x - l)(x - 3) + -(x-l)(x-3)(x-4)4f 5 (2) = 5.5-2 -1 0 1 2/U)4 2 13 5求fM的二次拟合曲线PiM ,并求广（0）的近似值。答案：解：1升V-V,0-244-816-8161121-11-22201000003131113342548161020工615100343415、已知5。0 + 102 = 15 !0a1 =3
12、正规方程组为 +34 =4110 3 11 7 1 10 2 14z 10 3 11 “ 、 3 11“3=亍帀孑W=w+7x3/o）zx（o）= -6、已知siiix区间0.4, 0.8的函数表0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sinO.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差M1也)広亍5(x)1尽量小，即应使l(x)l尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5,0.6,0.7最好，实际计算结果Sin 0.638910.5962749且|sin
13、 0.63891 -0.596274 |-|(0.63891 -0.5)(0.63891 -9 - 0.6)(0.63891 -0.7)|3! 0.55032 xlO-47、构造求解方程ex + 10x-2 = 的根的迭代格式心+1 =0(岛),“0,1,2,讨论其收敛性，并将根求出来，I心+ xJv 1 (T4。答案：解：令 /W = eA+10x-2, /(0) = -20且 /V) = e+100 对 0xw(-oo, + oo),故 f(x) = 0 在(o,l)有唯一实根.将方程f (兀)=0变形为兀=丄(2 - J)10则当x w (0,1)时恥)诂(2-)話爲1故迭代格式xn+i
14、 = (2-eb,)收敛。取xo = -5 ,计算结果列表如下：n0123Xn0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567Xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且满足 I 兀7 一 乂6 K 000 95 V 10所以 F。0.090 525 00810、已知下列实验数据Xi1.361.952616.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当Owl时，/*W=ex，则|/|3,且IedA有一位整数.用)(/)匕丄10-4 要求近似值有5位有
15、效数字，只须误差 I 2 即可，解得叫討心E所以72 = 68,因此至少需将0,1 68等份。12、取节点勺=心=5,七T,求函数fM = e-在区间0,1上的二次插值多项式Ad), 并估计误差。p(x)= e x(x_().5)(x_l) *严5 x (x_0)(x_l)解： 2 (0-0.5X0-1) (0.5-0)(0.5-l)_! (x-0)(x-0.5)+ e x- (1-0)(1-0.5)=2(x - 0.5)(x -1) - 4eQ5x(x -1) + 2elx(x - 0.5)f(x) = ex yfm(x) = -eM. = max I fm(x) 1= 1又 goIR2 (
16、x) 1=1 严-A(x) l I x(x 一 05)( x -1) I故截断误差 3! o14、给定方程/W = U-DeA-l=01） 分析该方程存在几个根；2） 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；3） 说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程 （A-l）ev-l=0 （1）改写为x_l = （2）作函数fiW = x-9 f2W = ex的图形（略）知（2）有唯一根兀飞（1，2）。计算结果列表如下:k123456789Xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463) (p(x) = 1 + eA
17、 , (px) = _c_当 xwl,2时，(p(x e(p,0(1)u1,2,且所以迭代格式忑+1 =0(忑)伙=o2)对任意-0 e1.2均收敛。15、用牛顿(切线)法求巧的近似值。取x0=1.7,计算三次，保留五位小数。解：巧是/U)= a2-3 =。的正根，广(兀)=2牛顿迭代公式为解:17、心3,用复合梯形公式求)山的近似值(取四位小数)，并求误差估计。exdr 心 Ty =ie + 2(e,/3 +e2/3) + e* 1.7342解:。 2x3/(x) = e/7x) = e OKI 时，I 厂(QUIR 1=1 e v- T, l 。 = = 0.025- 0.053 12x3
18、2 108至少有两位有效数字。20、(8分)用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据:1925303819.032.349.073.3解：=川1,十0.9255577 C =0.0501025 21、（15分）用=8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算时，试用余 项佔计其误差。用=8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似 值。呦一罟心切詁X护，舟=0.001302+ 0.5352614+ 0.47236655+ 0.41686207) + 0.36787947=0.632943422、（15分）方程疋7-1 = 0在x = l5附近有根，把方程写成三种不同的等价
19、形式（1） a=V7T1对应迭代格式和=卜+1 ；（2广对应迭代格式心刊 卜兀；（3） 2疋-1对应迭代格式心产尤一1。判断迭代格式在Ao=k5的收敛性，选一种收敛格 式计算x = 1.5附近的根，精确到小数点后第三位。1 -解：（1）以沪尹+” 以1斗0咲1,故收敛；p=u=（2） 2X V x , |0（L5）| = O71,故发散。选择（1）： xo=L5,州=1.3572, x2 =1.3309 ,心=1.3259, =1.3249 ,些=132476，x6 =1.3247225、数值积分公式形如卜蚀心Sg f(0) +砂+中0) + 试确定参数 u 使公式代数精 度尽量高；设/Gv)
20、eC40,l,推导余项公式恥)=月HS(x),并估计误差。2 3 a =B = Lb =丄 D丄解：将fW = l.x.xx分布代入公式得： 20 20 30* 20H 3 (-V, ) f (兀)构造Hermite插值多项式比满足/()=广(“)=其中“=。內=1则有：jX(x)dx = S(x), 弘)_恥)=兽莎R(x) = Xf(x) - S(x)dx =(气片 X3 (x-l)2 dx4!血 4!x60 144027、 (10分)已知数值积分公式为：C f(x)dx-f(0) + /(”) +刀/(0)-/(力) .Jo 2“ ，试确定积分公式中的参数2,使其代数精确度尽量高，并指出
21、其代数精确度的次数。解：/(力=1显然精确成立；门、 hxdx= = -0 + h + Ah2-fM = x 时，J2 = JM = x 时，J() 3 2 2 12 ；x、 3 (llx3dx = = -0 + h3 + 丄/厲0一3/?2JM = x 时 4 2 12 ；x、 4 f xAdx = Zi- /i0 + /4 + /72 0 - 4/3 =JM = X 时，Jo 5 2 12 6 .所以，其代数精确度为3。 28、 (8分)已知求亦0)的迭代公式为：兀+i =(林 + ) x()0 k = 0,1,2 2 耳证明：对一切 = 1，2，,亦，且序列是单调递减的，从而迭代过程收敛
22、。.+| = xk + ) x 2x !xk x = 4a =0丄2- 证明： 2 忑 2 Y 忑故对一切斤=12，忑VO= (1 + -) (1 +1) = 1 , i又丑 2 x 2 所以x,+I x,，即序列X汀是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。29、(9分)数值求积公式J办辽()+ /(2)1是否为插值型求积公式？为什么？ 其代数精度是多少？x 2 x 1“ 、 p(x)=-X/(I) + - x f(2)解：是。因为/&)在基点1、2处的插值多项式为 1-2 2-1 30、(6分)写出求方程4x = cos(a)+1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收 敛性。n=0, 1,
23、 2,x. =(b(xn) = 1 + cos(x )1 (6 分) 4L r”|0 ( = S- .对任意的初值丸e 0,1，迭代公式都收敛。31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算、/帀的近似值，并利用余项估计误差。用Newton插值方法：差分表:1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0. 0476190(115-100)-0. 0000941136(115-100) (115-121)=10. 72275551 3 -100 2 xl5x6x290.001636832、(10分)用复化沁son公式计算积分
24、小匸普的近似值，要求误差限为0.5x10-5。7x2!0.0 0000 1.9375 9. 6875x =(2.0000 3.0000,5.0000) 36、（6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度:伪（也 a A（）/（土 + A/（0取f （x）=l, x,令公式准确成立，得：观 + 州= * + A】=g | A =2,2 3 3 , of（x）=x:时，公式左右=1/4; f （x） =x3时，公式左=1/5,公式右=5/24公式的代数精度二240、（10分）已知下列函数表:X0123f(x)13927（1） 写出相应的三次Lagrange插值多项式；（2） 作均
25、差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算/（出）的近似值。解：（1）厶（兀）=(x l)(x 2)( x 3) (X 0)(x 2)(x 3) (x 0)( x l)(x 3) (x 0)(x l)(x 2) (0-1)(0-2)(0-3) * (1一0)(1 2)(1 3) *(2 0)(2 1)(2 3) + (3_0)(3_1)(3_2)4Ni(x) = + 2x + 2x(x-) + -x(x-)(x-2)/(1.5)3(1.5) = 5 42、（10分）取5个等距节点，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分1 + 2亍 的近似值（保留4位小数）。解：5个点对应的函数值/（X）=l + 2x2Xj（）0.511.5210.6666670.3333330.1818180.111111 (2分)(1)复化梯形公式(n=4,h=2/4=0.5)：7；=1 + 2x(0.666667 + 0.333333 + 0.18181
