第1章 11 114立体几何.docx
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第1章11114立体几何
1.1.4 直观图画法
学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.
知识点 斜二测画法
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则
2.立体图形直观图的画法规则
画立体图形的直观图,在画轴时,要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′,且平行于O′z′的线段长度不变,其他同平面图形的画法.
一、平面图形的直观图
例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图.
解
(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x′轴和y′轴,使∠x′O′y′=45°,如图
(1)
(2)所示.
(2)在x′轴上截取O′B′=OB,在y′轴上截取O′D′=
OD,过点D′作x′轴的平行线l,在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′=DC.连结B′C′,如图
(2)所示.
(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图,如图(3)所示.
延伸探究
若将本例中的直角梯形改为等腰梯形,其直观图如何?
解 画法:
(1)如图①所示,取AB所在直线为x轴,AB的中点O为原点,建立平面直角坐标系,画出对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′=
OE,以E′为中点画出C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD.
连结B′C′,D′A′,如图②所示.
(3)所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图③所示.
反思感悟 在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的直角坐标系是关键之一,一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上,以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.确定多边形顶点的位置是关键之二,借助于平面直角坐标系确定顶点后,只需把这些顶点顺次连结即可.
跟踪训练1 按如图所示的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.
解 画法:
(1)在图①中作AG⊥x轴于G,作DH⊥x轴于H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴,两轴相交于点O′,使∠x′O′y′=45°.
(3)在图②中的x′轴上取O′B′=OB,O′G′=OG,O′C′=OC,O′H′=OH,y′轴上取O′E′=
OE,分别过G′和H′作y′轴的平行线,并在相应的平行线上取G′A′=
GA,H′D′=
HD.
(4)连结A′B′,A′E′,E′D′,D′C′,并擦去辅助线G′A′,H′D′,x′轴与y′轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).
二、根据直观图研究原来图形的特征
例2 如图所示,△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其还原成平面图形.
解 ①画出直角坐标系xOy,在x轴的正方向上取OA=O′A′,即CA=C′A′;
②过B′作B′D′∥y′轴,交x′轴于点D′,在OA上取OD=O′D′,过D作DB∥y轴,
且使DB=2D′B′;
③连结AB,BC,得△ABC.
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形,如图所示.
反思感悟 由直观图还原平面图形的关键
(1)平行x′轴的线段长度不变,平行y′轴的线段扩大为原来的2倍.
(2)对于相邻两边不与x′轴,y′轴平行的顶点可通过作x′轴,y′轴的平行线确定其在xOy中的位置.
跟踪训练2 如图所示,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6cm,C′D′=2cm,则原图形是________.
答案 菱形
解析 如图所示,在原图形平行四边形OABC中,应有OD=2O′D′=2×2
=4
(cm),CD=C′D′=2(cm),
∴OC=
=
=6(cm),
∴OA=OC,故四边形OABC是菱形.
三、简单几何体的直观图
例3 用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm,3cm,2cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.
解
(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=4cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=
cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.
(4)成图.顺次连结A′,B′,C′,D′(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图,如图.
反思感悟 空间几何体的直观图的画法:
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图,应该记住它们的大致形状,以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图时,比画平面图形的直观图增加了一个z′轴,表示竖直方向.
(3)z′轴方向上的线段,方向与长度都与原来保持一致.
跟踪训练3 画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图.
解
(1)画轴.画Ox轴,Oy轴,Oz轴,∠xOy=45°(或135°),∠xOz=90°,如图.
(2)画底面.以O为中心在xOy平面内,画出正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高.
(4)成图.顺次连结PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图.
1.画水平放置的平面图形的直观图,关键是确定直观图的顶点.确定点的位置,可采用直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键,常利用图形的对称性,并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.
2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住“一斜”、“二测”两点:
(1)一斜:
平面图形中互相垂直的Ox,Oy轴,在直观图中画成O′x′,O′y′轴,使∠x′O′y′=45°或135°.
(2)二测:
在直观图中平行于x轴的长度不变,平行于y轴的长度取一半,记为“横不变,纵折半”.
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段说法错误的是( )
A.原来相交的仍相交
B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行
D.原来共点的仍共点
答案 B
解析 由斜二测画法规则知,B选项错误.故选B.
2.如图,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形,则原来图形的形状是( )
答案 A
解析 直观图中正方形的对角线长为
,故在平面图形中平行四边形的高为2
,只有A项满足条件,故A正确.
3.如图所示为水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则用斜二测画法画出的正方形的直观图中,点B′到O′x′轴的距离为________.
答案
解析 画出直观图,BC对应B′C′,
且B′C′=1,∠B′C′x′=45°,
故点B′到O′x′轴的距离为
.
4.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是下图中的________.(填序号)
答案 ③
解析 在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变,在y轴上或与y轴平行的线段在新坐标系中的长度变为原来的
,并注意到∠xOy=90°,∠x′O′y′=45°,因此由直观图还原成原图形为③.
5.画出一个正三棱台的直观图.(尺寸:
上、下底面边长分别为1cm,2cm,高为2cm)
解
(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC,其中O为△ABC的重心,BC=2cm,线段AO与x轴的夹角为45°,AO=2OD.
(2)过O作z轴,使∠xOz=90°,在z轴上截取OO′=2cm,作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′,其中B′C′=1cm,连结AA′,BB′,CC′(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得正三棱台的直观图.
一、选择题
1.关于“斜二测”直观图的画法,下列说法不正确的是( )
A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x′轴,长度不变
B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y′轴,长度变为原来的
C.画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时,∠x′O′y′必须是45°
D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
答案 C
解析 由斜二测画法知,∠x′O′y′=45°或135°,故C不正确.
2.下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
答案 C
解析 可分别画出各组图形的直观图,观察可得结论.
3.如图,Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图,斜边O′B′=2,则这个平面图形的面积是( )
A.
B.1C.
D.2
答案 D
解析 ∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图,
斜边O′B′=2,
∴直角三角形的直角边长是
,
∴直角三角形的面积是
×
×
=1,
∴原平面图形的面积是1×2
=2
.故选D.
4.水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=
,那么原△ABC是一个( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.三边中只有两边相等的等腰三角形
D.三边互不相等的三角形
答案 A
解析 由图形,知在原△ABC中,AO⊥BC.
∵A′O′=
,
∴AO=
.
∵B′O′=C′O′=1,
∴BC=2,AB=AC=2,
∴△ABC为等边三角形.故选A.
5.如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( )
A.ABB.ADC.BCD.AC
答案 D
解析 因为A′B′与y′轴重合,B′C′与x′轴重合,所以AB⊥BC,AB=2A′B′,BC=B′C′.所以在Rt△ABC中,AC为斜边,故AB 二、填空题 6.在如图所示的直观图中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm,则在坐标系xOy中,原四边形OABC为________.(填形状) 答案 矩形 解析 由题意并结合斜二测画法,可得四边形OABC为矩形. 7.一个建筑物的上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样.已知长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m,四棱锥的高为8m,若按1∶500的比例画出它的直观图,那么直观图中,长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为_________________. 答案 4cm,0.5cm,2cm,1.6cm 解析 按比例缩小后长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm,再结合直观图的特征,图形的尺寸应为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm. 三、解答题 8.如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4cm,CD=2cm,∠DAB=30°,AD=3cm,试画出它的直观图. 解 (1)如图(a)所示,在梯形ABCD中,以边AB所在的直线为x轴,点A为原点,建立平面直角坐标系xOy,如图(b)所示,画出对应的x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45°. (2)在图(a)中,过D点作DE⊥x轴,垂足为E,则ED= cm.在x′轴上取A′B′=AB=4cm,A′E′=AE=3× ≈2.598(cm);过点E′作E′D′∥y′轴,使E′D′= ED= (cm),再过点D′作D′C′∥x′轴,且使D′C′=DC=2cm. (3)连结A′D′,B′C′,并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线,如图(c)所示,则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图. 9.用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图(不写画法,保留作图痕迹). 解 (1)如图所示,四边形O′A′B′C′是四边形OABC的直观图. (2)如图所示,△O′A′B′是△OAB的直观图. 10.用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图,其中底面ABCDEF为正六边形,点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定) 解 画法: (1)画出六棱锥P-ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为x轴,对称轴MN所在的直线为y轴,两轴相交于点O,如图 (1),画出相应的x′轴、y′轴、z′轴,三轴相交于O′,使∠x′O′y′=45°,∠x′O′z′=90°,如图 (2);②在图 (2)中,以O′为中点,在x′轴上取A′D′=AD,在y′轴上取M′N′= MN,以点N′为中点,画出B′C′平行于x′轴,并且等于BC,再以M′为中点,画出E′F′平行于x′轴,并且等于EF;③连结A′B′,C′D′,D′E′,F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′. (2)画出正六棱锥P-ABCDEF的顶点,在z′轴正半轴上截取点P′,点P′异于点O′. (3)成图.连结P′A′,P′B′,P′C′,P′D′,P′E′,P′F′,并擦去x′轴、y′轴和z′轴,将被遮挡部分改为虚线,便可得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P′-A′B′C′D′E′F′,如图(3). 11.用斜二测画法画出正三棱柱ABC—A′B′C′的直观图. 解 (1)画轴.如图,画出x轴,y轴,z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画底面.作水平放置的正三角形的直观图△ABC. (3)画侧棱.过A,B,C各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取线段AA′,BB′,CC′,使得AA′=BB′=CC′. (4)成图.顺次连结A′,B′,C′,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得到的图形就是正三棱柱的直观图. 12.用斜二测画法画底面半径为1cm,高为3cm的圆锥的直观图. 解 画法如下: (1)画x′轴和y′轴,两轴交于点O′,使∠x′O′y′=45°; (2)分别在x′轴、y′轴上以O′为中点,作A′B′=2cm, C′D′=1cm,用曲线将A′,C′,B′,D′连起来得到圆锥底面(圆)的直观图; (3)画z′轴,使∠x′O′z′=90°,在z′轴方向上取O′S=3cm,S为圆锥的顶点,连结SA′,SB′; (4)擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得到圆锥的直观图. 13.如图为一几何体的展开图,沿图中虚线将它们折叠起来,请画出其直观图. 解 由题设中所给的展开图可以得出,此几何体是一个四棱锥,其底面是一个边长为2的正方形,垂直于底面的侧棱长为2,其直观图如图所示.
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