2六年级下册数学讲义小学奥数精讲精练第十讲 最大公约数与最小公倍数无答案全国通用.docx
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2六年级下册数学讲义小学奥数精讲精练第十讲最大公约数与最小公倍数无答案全国通用
第十讲最大公约数与最小公倍数
如果一个数同时是几个数的约数,那么我们就称它为这几个数的公约数。
几个数的公约数中最大的一个,称为这几个数的最大公约数。
如果一个数同时是几个数的倍数,那么我们就称它是这几个数的公倍数。
几个数的公倍数中最小的一个,称为这几个数的最小公倍数。
求最大公约数和最小公倍数一般有以下几种方法。
1.短除法:
例1求8,12,18的最大公约数和最小公倍数。
解:
求最大公约数和最小公倍数的最常用的办法就是短除法。
具体作法如下:
8、12、18的最大公约数为2。
8、12、18的最小公倍数为2×2×3×2×3=72
我们习惯上用(8,12,18)表示,8,12,18的最大公约数,即:
(8,12,18)=2用[8,12,18]表示8,12,18的最小公倍数,即
[8,12,18]=72
短除法的长处在于它可同时求出最大公约数和最小公倍数。
在求三个以上数的最大公约数和最小公倍数时,尤其简便。
2.分解质因数法:
分解质因数是求最大公约数的最直接的方法。
但往往被忽视。
解:
化简分数实际上就是求分子分母的最大公约数。
如果用短除法,就会发现很难找出其公有的质因数。
但很容易看出6933是3的倍数,25421是11的倍数。
实际上,只要将分子分母分解质因数,就很容易看到结果。
6933=3×2311
25421=11×2311
无论是短除法,还是分解质因数法,在质因数较大时,都会觉得困难。
这时就需要用新的方法。
3.辗转相除法:
例3从一张长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形,按照上面的过程不断地重复,最后剪得的正方形的边长是
毫米。
解:
剪的过程如图所示
第一、二次剪下847×847平方毫米的正方形。
第三、四次剪下边长308毫米的正方形。
第五次剪下边长231毫米的正方形。
第六、七,八次剪下边长77毫米的正方形。
以上的解题过程,实际上给出了求最大公约数的另一个办法——辗转相除法。
以上过程可用算式表示如下:
2002=847×2+308
847=308×2+231
308=231×1+77
231=77×3
由以上算式可以看出;这种方法就是用大数除以小数,再用上次运算中的除数除以余数,如此反复除,直至余数为零。
最后一个除数就是两数的最大公约数。
这是因为;两个数的最大公约数,同时是两个数的约数,也就是余数的约数。
拿这道题来说,2002和847的公约数,也就是847与308的公约数,也就是308与
231的公约数,也就是231与77的公约数。
由于231是77的倍数,所以它们的
最大公约数就是77,即2002与847的最大公约数。
辗转相除法的竖式格式如下:
最大公约数与最小公倍数的一个重要性质是:
两个数的乘积等于其最大公约数与最小公倍数的乘积。
例4求36953与59570的最大公约数。
解法1:
用辗转相除法
(36963,59570)=37
解法2:
上面的方法计算量很大。
能否简化运算呢?
通过观察容易发现,36963有约数3×3。
而59570没有质因数3。
59570有质因数2和5,36963没有质因数2和5。
所以可以从36963中分解出3×3,从59570中分解出2×5,再求其余部分的最大公约数。
36963=3×3×4107
59570=2×5×5957
(36963、59570)=37
由此可见,求最大公约数的几种方法并非是截然分开的。
还可把他们结合起来使用。
例5下面两个算式中,得数较大的是哪一个?
分析:
如要算出得数,计算量很大。
比较一下两个式子。
括号内都是两个分子为
1的分数相加。
如果能使括号外部分相同。
那么括号内部分就比较好比较了。
解:
[30,40]=120
最大公约数与最小公倍数的性质,在解题中会经常遇到。
解:
光明区获奖人数占参赛学生总数的:
中心区获奖人数占参赛学生总数的:
朝阳区获奖人数占参赛学生总数的:
所以参赛学生总数,应是72,56,90的倍数。
[72,56,90]=2520
所以参赛学生总数是2520的倍数。
由已知参赛学生共有2000多人,可知参
赛人数就是2520人。
设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了米。
“最小公倍数”。
但两数都是分数,它们的“最小公倍数”是什么意思?
如何求呢?
求两分数分子的最小公倍数。
[36,99]=396
两分数的“最小公倍数”规定为化为同分母后,以分子的最小公倍数作为分子,相同分母作分母的分数。
所以狐狸跳11次掉进陷井。
再来看看黄鼠狼。
[99,22]=198
所以黄鼠狼比狐狸先掉进陷井。
它掉进陷井时,狐狸跳了
例8一条公路由A经B到C。
已知A、B相距280米,B、C相距315米。
现要在路边植树,要求相邻两树间的距离相等。
并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵。
那么两树间距离最多有多少米?
由上面两个例题可以看出,最大公约数与最小公倍数的概念,如果必要也可以扩展到分数的范围。
习题十1.求35,98,112的最大公约数与最小公倍数。
2.求403,527,713的最小公倍数。
3.求83613与121824的最大公约数。
4.老师将301个笔记本,215支铅笔和86块橡皮分给班里同学,每个同学得到的笔记本、铅笔和橡皮的数量相同。
那么,每个同学各拿到多少?
5.两个合数的积是5766,它们的最大公约数是31。
那么,这两个数是多少?
6.两个数的最大公约数是6,最小公倍数是504。
如果其中一个数是42,那么另一个数是多少?
7.某校全体学生列队。
不论他们人数相等地分成2队、3队、4队、5队、6队、7队、8队、9队,都会多出1人。
那么该校至少有多少名学生?
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