中考数学一轮复习函数与一次函数性质学案.docx
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中考数学一轮复习函数与一次函数性质学案
2017中考数学一轮复习-函数与一次函数性质学案
2017年中考数学一轮复习第11讲《函数与一次函数性质》
【考点解析】
知识点一:
函数及其变量定义
【例题】(2016广西南宁3分)下列各曲线中表示是x的函数的是( )
A.B..D.
【考点】函数的概念.
【分析】根据函数的意义求解即可求出答案.
【解答】解:
根据函数的意义可知:
对于自变量x的任何值,都有唯一的值与之相对应,故D正确.
故选D.
【点评】主要考查了函数的定义.注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是:
做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点.
【变式】
(2016•黑龙江龙东•3分)在函数=中,自变量x的取值范围是 x≥2 .
【考点】函数自变量的取值范围.
【分析】根据被开方数是非负数,可得答案.
【解答】解:
由题意,得
3x﹣6≥0,
解得x≥2,
故答案为:
x≥2.
知识点二、待定系数法求一次函数解析式.
【例题】(201浙江湖州)已知是x的一次函数,当x=3时,=1;当x=−2时,=−4,求这个一次函数的解析式.
【答案】=x—2.
【分析】设这个一次函数的解析式为=x+b,分别将x=3,=1和x=−2,=−4分别代入=x+b得方程组,解这个方程组即可求得、b的值,也就求得了函数的解析式.
【解析】设这个一次函数的解析式为=x+b,将x=3,=1和x=−2,=−4分别代入=x+b得,,
解这个方程组得,.
∴所求一次函数的解析式为=x—2.
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
【变式】
17(2014•福建龙岩,第23题12分)随着地球上的水资日益枯竭,各级政府越越重视倡导节约用水.某市民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费,人均月生活用水收费标准如图所示,图中x表示人均月生活用水的吨数,表示收取的人均月生活用水费(元).请根据图象信息,回答下列问题:
(1)该市人均月生活用水的收费标准是:
不超过吨,每吨按 元收取;超过吨的部分,每吨按 元收取;
(2)请写出与x的函数关系式;【解析】
(1)由图可知,用水吨是8元,每吨按8÷=16元收取;超过吨的部分,每吨按(20﹣8)÷(10﹣)=24元收取;
(2)根据图象分x≤和x>,分别设出与x的函数关系式,代入对应点,得出答案即可;
【解答】解:
1)该市人均月生活用水的收费标准是:
不超过吨,每吨按16元收取;超过吨的部分,每吨按24元收取;
(2)当x≤时,设=x,代入(,8)得
8=,
解得=16
∴=16x;
当x>时,设=x+b,代入(,8)、(10,20)得解得=24,b=﹣4
∴=24x﹣4;
【点评】此题考查一次函数的实际运用,结合图形,利用基本数量关系,得出函数解析式,
知识点三、函数图像与性质
【例题】(2016•四川宜宾)如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象,下列结论错误的是( )A.乙前4秒行驶的路程为48米
B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
.两车到第3秒时行驶的路程相等
D.在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度
【考点】函数的图象.
【分析】根据函数图象和速度、时间、路程之间的关系,分别对每一项进行分析即可得出答案.
【解答】解:
A、根据图象可得,乙前4秒行驶的路程为12×4=48米,正确;
B、根据图象得:
在0到8秒内甲的速度每秒增加4米秒/,正确;
、根据图象可得两车到第3秒时行驶的路程不相等,故本选项错误;
D、在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度,正确;
故选.
【变式】
(2016•黑龙江龙东•3分)如图,直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上,三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形.设穿过时间为t,正方形与三角形不重合部分的面积为s(阴影部分),则s与t的大致图象为( )A.B..D.
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】根据直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上,三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形可知,当0≤t≤时,以及当<t≤2时,当2<t≤3时,求出函数关系式,即可得出答案.
【解答】解:
∵直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上,三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形.设穿过时间为t,正方形与三角形不重合部分的面积为s,
∴s关于t的函数大致图象应为:
三角形进入正方形以前s增大,
当0≤t≤时,s=×1×1+2×2﹣=﹣t2;
当<t≤2时,s=×12=;
当2<t≤3时,s=﹣(3﹣t)2=t2﹣3t,
∴A符合要求,故选A.
知识点四、一次函数图象与几何变换.
【例题】(2014•东济南,第12题,3分)如图,直线=﹣x+2与x轴、轴分别交于A、B两点,把△AB沿直线AB翻折后得到△A′B,则点′的坐标是( )A.(,3)B.(,).(2,2)D.(2,4)
【解析】翻折变换(折叠问题);一次函数的性质.作′⊥轴,交于点,′N⊥x轴,交x于点N,由直线=﹣x+2与x轴、轴分别交于A、B两点,求出A(0,2),B(2,0)和∠BA=30°,运用直角三角形求出B和′,再求出点′的坐标.
【解答】解:
如图,作′⊥轴,交于点,′N⊥x轴,交x于点N,∵直线=﹣x+2与x轴、轴分别交于A、B两点,
∴A(0,2),B(2,0),
∴∠BA=30°,
由折叠的特性得,′B=B=2,∠AB=∠AB′=60°,
∴B=1,′=,
∴=3,N=′=,
∴′(,3),
故选:
A.
【点评】本题主要考查了折叠问题及一次函数问题,解题的关键是运用折叠的特性得出相等的角与线段.
【变式】
(201江苏徐州中考一模)将函数=-x的图象沿轴向上平移3个单位长度后,所得图象对应的函数关系式为()
A.=-x+3B.=-6x-3.=-(x+3)D.=-(x-3)
【答案】A.
【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可.
【解析】将函数=-x的图象沿轴向上平移3个单位长度后,所得图象对应的函数关系式为=-x+3.
故选A.
【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系,在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是:
横坐标左移加,右移减;纵坐标上移加,下移减.平移后解析式有这样一个规律“左加右减,上加下减”.关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系.
知识点五、两条直线相交或平行
【例4】(201广西宾)过点(0,﹣2)的直线:
()与直线:
交于点P(2,).
(1)写出使得的x的取值范围;
(2)求点P的坐标和直线的解析式.
【答案】
(1)x<2;
(2)P(2,3),.
【分析】
(1)观察函数图象可得到当x<2时,直线在直线的下方,则;
(2)先P(2,)代入可求出得到P点坐标,然后利用待定系数法求直线的解析式.
【解析】
(1)当x<2时,;
(2)把P(2,)代入得=2+1=3,则P(2,3),
把P(2,3)和(0,﹣2)分别代入得:
,解得:
,所以直线的解析式为:
.
【点评】此题主要考查了利用函数图象比较大小、待定系数法求一次函数解析式,解决问题的关键是能分析图象,并能根据一次函数的特点,列出方程组,求出未知数,即可写出解析式.
【变式】
(2016•陕西•3分)已知一次函数=x+和=′x+7,假设>0且′<0,则这两个一次函数的图象的交点在( )
A.第一象限B.第二象限.第三象限D.第四象限
【考点】两条直线相交或平行问题.
【分析】根据的符号求确定一次函数=x+b的图象所经过的象限,然后根据b的情况即可求得交点的位置.
【解答】解:
∵一次函数=x+中>0,
∴一次函数=x+的图象经过第一、二、三象限.
又∵一次函数=′x+7中′<0,
∴一次函数=′x+7的图象经过第一、二、四象限.
∵<7,
∴这两个一次函数的图象的交点在第一象限,
故选A.
【典例解析】
【例题1】(2016•黑龙江齐齐哈尔•3分)点P(x,)在第一象限内,且x+=6,点A的坐标为(4,0).设△PA的面积为S,则下列图象中,能正确反映面积S与x之间的函数关系式的图象是( )
A.B..D.
【考点】一次函数的图象.
【分析】先用x表示出,再利用三角形的面积公式即可得出结论.
【解答】解:
∵点P(x,)在第一象限内,且x+=6,
∴=6﹣x(0<x<6,0<<6).
∵点A的坐标为(4,0),
∴S=×4×(6﹣x)=12﹣2x(0<x<6),
∴符合.
故选.
【例题2】(2016•广西桂林•3分)如图,直线=ax+b过点A(0,2)和点B(﹣3,0),则方程ax+b=0的解是( )A.x=2B.x=0.x=﹣1D.x=﹣3
【考点】一次函数与一元一次方程.
【分析】所求方程的解,即为函数=ax+b图象与x轴交点横坐标,确定出解即可.
【解答】解:
方程ax+b=0的解,即为函数=ax+b图象与x轴交点的横坐标,
∵直线=ax+b过B(﹣3,0),
∴方程ax+b=0的解是x=﹣3,
故选D
【例题3】(2016•东潍坊•3分)在平面直角坐标系中,直线l:
=x﹣1与x轴交于点A1,如图所示依次作正方形A1B11、正方形A2B221、…、正方形AnBnnn﹣1,使得点A1、A2、A3、…在直线l上,点1、2、3、…在轴正半轴上,则点Bn的坐标是 (2n﹣1,2n﹣1) .【考点】一次函数图象上点的坐标特征;正方形的性质.
【分析】先求出B1、B2、B3的坐标,探究规律后即可解决问题.
【解答】解:
∵=x﹣1与x轴交于点A1,
∴A1点坐标(1,0),
∵四边形A1B11是正方形,
∴B1坐标(1,1),
∵1A2∥x轴,
∴A2坐标(2,1),
∵四边形A2B221是正方形,
∴B2坐标(2,3),
∵2A3∥x轴,
∴A3坐标(4,3),
∵四边形A3B332是正方形,
∴B3(4,7),
∵B1(20,21﹣1),B2(21,22﹣1),B3(22,23﹣1),…,
∴Bn坐标(2n﹣1,2n﹣1).
故答案为(2n﹣1,2n﹣1).
【中考热点】
考点1:
(2016•湖北黄石•3分)如图所示,向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水,则能够反映容器内水的体积与容器内水深x间的函数关系的图象可能是( )A.B..D.
【分析】水深h越大,水的体积v就越大,故容器内水的体积与容器内水深x间的函数是增函数,根据球的特征进行判断分析即可.
【解答】解:
根据球形容器形状可知,函数的变化趋势呈现出,当0<x<R时,增量越越大,当R<x<2R时,增量越越小,
曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大,后又逐渐变小,故关于x的函数图象是先凹后凸.
故选(A)
【点评】本题主要考查了函数图象的变化特征,解题的关键是利用数形结合的数学思想方法.解得此类试题时注意,如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象.
考点2:
(2016•内蒙古包头•3分)如图,直线=x+4与x轴、轴分别交于点A和点B,点、D分别为线段AB、B的中点,点P为A上一动点,P+PD值最小时点P的坐标为( )A.(﹣3,0)B.(﹣6,0).(﹣,0)D.(﹣,0)
【考点】一次函数图象上点的坐标特征;轴对称-最短路线问题.
【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标,再由中点坐标公式求出点、D的坐标,根据对称的性质找出点D′的坐标,结合点、D′的坐标求出直线D′的解析式,令=0即可求出x的值,从而得出点P的坐标.
【解答】解:
作点D关于x轴的对称点D′,连接D′交x轴于点P,此时P+PD值最小,如图所示.令=x+4中x=0,则=4,
∴点B的坐标为(0,4);
令=x+4中=0,则x+4=0,解得:
x=﹣6,
∴点A的坐标为(﹣6,0).
∵点、D分别为线段AB、B的中点,
∴点(﹣3,2),点D(0,2).
∵点D′和点D关于x轴对称,
∴点D′的坐标为(0,﹣2).
设直线D′的解析式为=x+b,
∵直线D′过点(﹣3,2),D′(0,﹣2),
∴有,解得:
,
∴直线D′的解析式为=﹣x﹣2.
令=﹣x﹣2中=0,则0=﹣x﹣2,解得:
x=﹣,
∴点P的坐标为(﹣,0).
故选.
考点3:
(2016•广西桂林•3分)已知直线=﹣x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线=﹣(x﹣)2+4上,能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有( )
A.3个B.4个.个D.6个
【考点】二次函数图象上点的坐标特征;一次函数图象上点的坐标特征;等腰三角形的判定.
【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆,交抛物线于点、、N点,连接A、B,由直线=﹣x+3可求出点A、B的坐标,结合抛物线的解析式可得出△AB等边三角形,再令抛物线解析式中=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标,发现该两点与、N重合,结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形,由此即可得出结论.
【解答】解:
以点B为圆心线段AB长为半径做圆,交抛物线于点、、N点,连接A、B,如图所示.
令一次函数=﹣x+3中x=0,则=3,
∴点A的坐标为(0,3);
令一次函数=﹣x+3中=0,则﹣x+3,
解得:
x=,
∴点B的坐标为(,0).
∴AB=2.
∵抛物线的对称轴为x=,
∴点的坐标为(2,3),
∴A=2=AB=B,
∴△AB为等边三角形.
令=﹣(x﹣)2+4中=0,则﹣(x﹣)2+4=0,
解得:
x=﹣,或x=3.
∴点E的坐标为(﹣,0),点F的坐标为(3,0).
△ABP为等腰三角形分三种情况:
①当AB=BP时,以B点为圆心,AB长度为半径做圆,与抛物线交于、、N三点;
②当AB=AP时,以A点为圆心,AB长度为半径做圆,与抛物线交于、两点,;
③当AP=BP时,作线段AB的垂直平分线,交抛物线交于、两点;
∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个.
故选A.
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