八年级上册数学知识点.docx
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八年级上册数学知识点
八年级上册数学整理总结
第一章勾股定理
1、勾股定理
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a2b2c2
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c有关系a2b2c2,那么这个三角形是直角三角形
3、勾股数:
满足a2b2c2的三个正整数,称为勾股数。
第二章实数
、实数的概念及分类
1、实数的分类
y[正有理数}
r有理数」零有限小数和无限循环小数
实数_负有理数
■正无理数.
无理数无限不循环小数
负无理数
2、无理数:
无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时,要抓住无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如-7,32等;
(2)有特定意义的数,如圆周率n或化简后含有n的数,^口匹+8等;
3
(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;
(4)某些三角函数值,如sin60°等
、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=O,a=—b,反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。
(囘为)。
零的绝对值是
它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a^O;若|a|=-a,则a包)。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
5、估算
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地,0的算术平方根是0。
表示方法:
记作va”读作根号a。
性质:
正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
2、平方根:
一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平
方根(或二次方根)
表示方法:
正数a的平方根记做“梟”读作正、负根号a”
性质:
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
开平方:
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
注意..a的双重非负性:
3、立方根
般地,如果一个数x的立方等于a,即x=a那么这个数x就叫做a的立方根(或三次
方根)。
表示方法:
记作3a
性质:
一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
注意:
3a3a,这说明三次根号的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小:
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:
设a、b是实数,
ab0ab,
ab0ab,
ab0ab
aaa
(3)求商比较法:
设a、b是两正实数,1ab;1ab;_
bbb
(4)绝对值比较法:
设a、b是两负实数,则abab。
(5)平方法:
设a、b是两负实数,则a2b2ab。
五、算术平方根有关计算(二次根式)
1、含有二次根号旷”;被开方数a必须是非负数。
2、性质:
(1)(、a)2a(a0)
厂a(a0)
(2)Ja2a-x
匚a(a0)
(3)ab.a?
.b(a0,b0)(、a?
、.b.ab(a0,b0))
(4):
;:
(a°'b0)(:
aV(a°'b0))
3、运算结果若含有“a”形式,必须满足:
(1)被开方数的因数是整数,
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
(1)六种运算:
力□、减、乘、除、乘方、开方
(2)实数的运算顺序
先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。
(3)运算律
加法交换律abba
加法结合律(ab)ca(bc)
1ab;
因式是整式;
(2)
乘法交换律abba
乘法、加法的分配律a(bc)abac
第三章位置的确定
一、在平面,确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念
1、平面直角坐标系
在平面,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系。
其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为向;x轴和y轴统称坐标轴。
它们的公共原点0称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:
x轴和y轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念
对于平面任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线,垂足在上x轴、y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标。
点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有,’”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面点的坐标是有序实数对,当ab时,(a,b)和®,a)是两个不同点的坐标。
平面点的与有序实数对是对应的。
4、不同位置的点的坐标的特征
(1)、各象限点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
x
0,y
0
点P(x,y在第二象限
x
0,y
0
点P(x,y在第三象限
x
0,y
0
点P(x,y在第四象限
x
0,y
0
(2)、坐标轴上的点的特征
点P(x,y在x轴上y0,x为任意实数
点P(x,y在y轴上x0,y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)即原点
(3)、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上x与y相等
点P(x,y到坐标轴及原点的距离:
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于|y
(2)点P(x,y)到y轴的距离等于|x
(3)点P(x,y)到原点的距离等于x2y2
三、坐标变化与图形变化的规律:
坐标(x,y)的变化
图形的变化
xXa或yXa
被横向或纵向拉长(压缩)为原来的a倍
xXa,yXa
放大(缩小)为原来的a倍
xX(-1)或yX(-1)
关于y轴或x轴对称
xX(-1),yX(-1)
关于原点成中心对称
x+a或y+a
沿x轴或y轴平移a个单位
x+a,y+a
沿x轴平移a个单位,再沿y轴平移a
个单位
第四章一次函数
、函数:
一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。
二、自变量取值围
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值围。
一般从整式(取全体实数),
分式(分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。
三、函数的三种表示法及其优缺点
(1)关系式(解析)法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这
种表示法叫做关系式(解析)法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤
(1)列表:
列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:
以表中每对对应值为坐标,在坐标平面描出相应的点
(3)连线:
按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
五、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,若两个变量x,y间的关系可以表示成ykxb(k,b为常数,k0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。
特别地,当一次函数ykxb中的b=0时(即ykx)(k为常数,k0),称y是x的正
比例函数。
2、一次函数的图像:
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数ykxb的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数ykx的图像是经过原点
(0,0)的直线
k的符
号
B的符
号
函数图像
图像特征
k>0
b>0
/
卜y
/
图像经过一、二、三象限,
y随x的增大而增大。
/
x
0
b<0
J
•y
/・
图像经过一、三、四象限,
y随x的增大而增大。
/
x
/
0
K<0
b>0
\
图像经过一、二、四象限,
y随x的增大而减小
x
\
0
b<0
\
I
y
图像经过二、三、四象限,
y随x的增大而减小。
\
0x
注:
当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地,正比例函数ykx有下列性质:
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地,一次函数ykxb有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大
(2)当k<0时,y随x的增大而减小
6正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式ykx(k0)中的常数k。
确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式ykxb(k0)中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法。
7、一次函数与一元一次方程的关系:
任何一个一元一次方程都可转化为:
kx+b=0(k、b为常数,k和)的形式.而一次
函数解析式形式正是y=kx+b(k、b为常数,k旳).当函数值为0时,?
即kx+b=0就与一元一次方程完全相同.
结论:
由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k、b为常数,kMD)的形式.所以解
一元一次方程可以转化为:
当一次函数值为0时,求相应的自变量的值.
从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.
第五章二元一次方程组
1、二元一次方程
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程
2、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解
3、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组。
4二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
(1)代入(消元)法
(2)加减(消元)法
6、一次函数与二元一次方程(组)的关系:
(1)一次函数与二元一次方程的关系:
直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx-y+b=O的解
的图象的交点
当函数图象有交点时,说明相应的二元一次方程组有解;当函数图象(直线)平行即无交点时,说明相应的二元一次方程组无解。
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