热传导方程求解.docx
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热传导方程求解.docx
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热传导方程求解
应用物理软件训练
MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件,用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境,主要包括
MATLA和Simulink两大部分。
MATLA是矩阵实验室(MatrixLaboratory)的简称,和Mathematica、Maple
并称为三大数学软件。
它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。
MATLA可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等,主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。
本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLA数值实现可视化。
本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLA数值实现可视化。
本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLA数值实现可视化。
本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLA数值实现
可视化。
题目:
热传导方程的求解
一、参数说明..1
二、基本原理..1
三、MATLAB程序流程图3
四、源程序.3
五、程序调试情况6
六、仿真中遇到的问题9
七、结束语9
八、参考文献10
、参数说明
U=zeros(21,101)返回一个21*101的零矩阵
x=linspace(0,1,100);将变量设成列向量
meshz(u)绘制矩阵打的三维图axis([02101]);横坐标从0到21,纵坐标从0到1
eps是MATLA默认的最小浮点数精度
[X,Y]=pol2cart(R,TH);效果和上一句相同
waterfall(RR,TT,wn)瀑布图
二、基本原理
1、一维热传导问题
(1)无限长细杆的热传导定解问题
IUf=Cl^urx
(p[X
利用傅里叶变换求得问题的解是:
/■+OC
冰)
』—(X)
取得初始温度分布如下
2a\f7d
£4a
0.
U(X.t\=J.—
Jo2avtfF
(2)有限长细杆的热传导定解问题
(0<^<1)
(a?
<0?
rr>1)
这是在区间0到1之间的高度为1的一个矩形脉冲,于是得
1計2
4佝(]£
其中
2
(0 2 —Cl^xx 其中0冬x冬20,即L=20,取a=10且 2、二维热传导问题定解问题 Ut=kA2(Uxx+Uyy)(0 解析解是 U(x,y,t=O)=0 3、三维热传导问题 球体内的热传导 令u=w+Uo则w的定解问题是 Wt=ww W(r=ro)=0 W(t=to)=uo-Uo 解为 QUO-UO)J.: (-1)ne』2冷/r2o _e■ rn丄n r为空间变量,并用x,y表示。 三、MATLA程序流程图 四、源程序 1、一维有限长细杆的热传导 x=0: 20;t=0: 0.01: 1;a2=10; r=a2*0.01; u=zeros(21,101); u(10: 11,1)=1;是把上述矩阵中的第10行,11行的第一列全部设成1 forj=1: 100 u(2: 20,j+1)=(1-2*r)*u(2: 20,j)+r*(u(1: 19,j)+u(3: 21,j)); Plot(u(: j)); axis([02101]);横坐标0到21,纵坐标0到1 pause(0.1)暂停0.1秒 end meshz(u) 2、非齐次方程的定解问题 a2=50;b=5;L=1; [x,t]=meshgrid(0: 0.01: 1,0: 0.000001: 0.0005); Anfun=inline('2/L*(x-L/2).A2.*exp(-b*x/2/a2).*sin(n*pi*x/L)','x ','n','L','b','a2');%定义内联函数 u=0; forn=1: 30 An=quad(Anfun,0,1,[],[],n,L,b,a2);%inline函数中定义x为向量,其它 为标量 un=An*exp(-(n*n*pi*pi*a2/L/L+b*b/4/a2/a2).*t).*exp(b/2/a2.*x).* sin(n*pi*x/L); u=u+un; size(u); mesh(x,t,u);%x,t,u都为501行101列的矩阵 figure subplot(2,1,1) plot(u(1,: )) subplot(2,1,2) plot(u(end,: )) end 差分法 dx=0.01;dt=0.000001;a2=50;b=5;c=a2*dt/dx/dx; x=linspace(0,1,100);%将变量设成列向量 uu(1: 100,1)=(x-0.5)A2;%初温度为零 figure subplot(1,2,1)%初始状态 plot(x,uu(: 1),'linewidth',1); axis([0,1,0,0.25]); subplot(1,2,2)%演化图 h=plot(x,uu(: 1),'linewidth',1); set(h,'EraseMode','xor') forj=2: 200 uu(2: 99,2)=(1-2*c)*uu(2: 99,1)+c*(uu(1: 98,1)+uu(3: 100,1))-...b*dt/dx*(uu(3: 100,1)-uu(2: 99,1)); uu(1,2)==0;uu(100,2)==0;%边界条件 uu(: 1)=uu(: 2); uu(: 1) set(h,'YData',uu(: 1)); drawnow; pause(0.01) end 三维热传导问题 U0=2;u0=0;a2=2;N=10; r=eps: 0.05: 1;theta=linspace(0,2*pi,100); t=0.1: 0.001: 0.2; [RR,TT]=meshgrid(r,t); figure (1) [R,TH]=meshgrid(theta,r); [X,Y]=pol2cart(R,TH); fortt=1: 100 un=O; fork=1: N unn=2*(U0-u0)*(-1Fk.*sin(k.*pi.*(X.A2+Y.A2).A0.5).*... exp(-kA2*piA2*a2*t(tt))./(pi.*(X.A2+Y.A2).A0.5); un=unn+un; end mesh(X,Y,un); axis([-11-11-0.40]); pause(0.1) end figure (2) wn=0; fork=1: N wnn=2*(U0-u0)*(-1)Ak.*sin(k.*pi.*RR).*.. exp(-kA2*piA2*a2*TT)./(pi*k.*RR); wn=wnn+wn; end waterfall(RR,TT,wn) xlabel('r') ylabel('t') 五、程序调试情况 1、有限长细杆的热传导 开始时 一段时间后 2、 (1)非齐次方程的解析解 (讨整体图(b)初始状态(c)最后状态 (2)非齐次方程的数值解(差分法) (町初始状态,(b)最后状态. 3、二维热传导问题 4、三维热传导问题 解析解的动画图 解析解的瀑布图 六、仿真中遇到的问题 几乎所有的工程问题都能转化成数学模型来解,而且借助MATLAB大多数 的模型的数值解的精确度均能满足要求。 但是,存在的问题也不少。 首先,数值解法存在许多局限性,一个解只能适用于一个或几个模型,或者一个或几个方程。 而解析解的得到能使我们得出所有同类问题的通解,并且精确度高于数值解。 这是由于数学的发展程度还不足以满足自然科学的发展要求,数值解法只是一个权 宜之计。 其次,MATLAB! 然能处理大量的数学问题,但其命令繁多,再加上各种工具箱,要完全学会和很好的使用MATLA不是一件容易的事情,在编辑和阅读程序时通常要借助工具书查询相关命令,这样就增加了使用难度,使得MATLAB不能广泛的普及。 再者,要合理的使用MATLAB^解决数学问题,必需是建立在良好的数学基础之上的,这就势必要求MATLAB勺使用者有扎实的数学功底,这又给MATLAB勺普及带来了挑战。 最后,由于工程中的导热问题的数学模型并不一都能很顺利的建立,这就给使用MATLA解决导热问题增加了难度。 七、结束语 在这短短的一周内从开始的一头雾水,到自己看书学习,到同学讨论,再进行整个题目的理论分析和计算,参考课程上的代码,写出自己的代码。 我们也明白了学无止尽的道理,在我们所查的很多参考书中,很多知识是我们从没有接触过的,我们对它的了解还仅限于皮毛,对它的很多功能以及函数还不是很了解,所以在这个学习的过程中我们穿越在知识的海洋中,一点一点吸取 着它的知识。 在MATLA编程中需要很多的参考书,要尽量多的熟悉matlab自带的函数及其作用,因为matlab的自带函数特别多,基本上能够满足一般的数据和矩阵的计算,所以基本上不用你自己编函数。 这一点对程序非常有帮助,可以使程序简单,运行效率高,可以节省很多时间。 本次课设中用了很多MATLAB! 带的函数,使程序变得很简单。 把基本的知识看过之后,就需要找一个实际的程序来动手编一下,不要等所有的知识都学好之后再去编程,你要在编程的过程中学习,程序需要什么知识再去补充,编程是一点一点积累的,所以你要需做一些随手笔记什么的。 在编写程序代码时,需要什么函数,需要什么模块就应该去着重看那个知识点,不要一步登天,一步一步学,如果太急于把所有东西都学到,也是不好的, 更是实现不了的。 所以那时一天一天积累的,慢慢地学通这个软件 八、参考文献 清华大学出版社 蒿凤有编著哈尔滨工业 《数学物理方程的MATLAB军法与可视化》彭芳麟著 《量子物理学中的常用算法与程序》井孝功赵永芳 大学出版社 《计算物理基础》彭芳麟著高等教育出版社
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- 关 键 词:
- 热传导 方程 求解