1、热传导方程求解应用物理软件训练MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据 可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLA和Simulink两大部分。MATLA是矩阵实验室(Matrix Laboratory )的简称，和 Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLA可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其 他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像 处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。本部分主要介绍如何
2、根据所学热 传导方程的理论知识进行MATLA数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学 热传导方程的理论知识进行MATLA数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所 学热传导方程的理论知识进行MATLA数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行 MATLA数值实现可视化。题目：热传导方程的求解一、 参数说明 .1二、 基本原理 .1三、 MATLAB 程序流程图 3四、 源程序 .3五、 程序调试情况 6六、 仿真中遇到的问题 9七、 结束语 9八、 参考文献 10、参数说明U=zeros(21,101) 返回一个 21*101 的零矩阵x=li nspace(0,1,1
3、00); 将变量设成列向量meshz(u)绘制矩阵打的三维图 axis(0 21 0 1); 横坐标从0到21，纵坐标从0到1eps是MATLA默认的最小浮点数精度X,Y=pol2cart(R,TH);效果和上一句相同waterfall(RR,TT,w n) 瀑布图二、基本原理1、一维热传导问题(1)无限长细杆的热传导定解问题I Uf = Clurx(pX利用傅里叶变换求得问题的解是:/+OC冰)(X)取得初始温度分布如下2af7d 4a0.U(X. t = J .Jo 2avtfF(2)有限长细杆的热传导定解问题(0 1)(a? 1)这是在区间0到1之间的高度为1的一个矩形脉冲，于是得1 計
4、24佝(其中2(0 x 1)2 Cl xx其中0冬x冬20，即L=20,取a=10且2、二维热传导问题 定解问题Ut=kA2(Uxx+Uyy) ( 0 x a,0 乞 y 乞 b)解析解是U (x,y,t=O ) =03、三维热传导问题球体内的热传导令u=w+Uo则w的定解问题是Wt= wwW( r=ro ) =0W(t=to)=uo-Uo解为QUO - UO) J.： ( -1)ne2冷 / r2o_ e r n丄 nr为空间变量，并用x, y表示。三、MATLA程序流程图四、源程序1、一维有限长细杆的热传导x=0:20;t=0:0.01:1;a2=10;r=a2*0.01;u=zeros(
5、21,101);u(10:11,1)=1; 是把上述矩阵中的第10行，11行的第一列全部设成1for j=1:100u(2:20,j+1)=(1-2*r)*u(2:20,j)+r*(u(1:19,j)+u(3:21,j);Plot(u(:,j);axis(0 21 0 1); 横坐标0到21,纵坐标0到1pause(0.1) 暂停 0.1 秒endmeshz(u)2、非齐次方程的定解问题a2=50;b=5;L=1;x,t=meshgrid(0:0.01:1,0:0.000001:0.0005);Anfun=inlin e(2/L*(x-L/2).A2.*exp(-b*x/2/a2).*si n
6、(n *pi*x/L),x,n,L,b,a2);% 定义内联函数u=0;for n=1:30An=quad(Anfun,0,1,n,L,b,a2);%inline 函数中定义 x为向量，其它为标量un=An *exp(-( n*n *pi*pi*a2/L/L+b*b/4/a2/a2).*t).*exp(b/2/a2.*x).*si n(n *pi*x/L);u=u+un;size(u);mesh(x,t,u);%x,t ，u都为501 行 101 列的矩阵figuresubplot(2,1,1)plot(u(1,:)subplot(2,1,2)plot(u(e nd,:)end差分法dx=0.
7、01;dt=0.000001;a2=50;b=5;c=a2*dt/dx/dx;x=li nspace(0,1,100);% 将变量设成列向量uu(1:100,1)=(x-0.5)A2;% 初温度为零figuresubplot(1,2,1)% 初始状态plot(x,uu(:,1),li newidth,1);axis(0,1,0,0.25);subplot(1,2,2)% 演化图h=plot(x,uu(:,1),li newidth,1);set(h,EraseMode,xor)for j=2:200uu(2:99,2)=(1-2*c)*uu(2:99,1)+c*(uu(1:98,1)+ uu(
8、3:100,1)-. b*dt/dx*(uu(3:100,1)-uu(2:99,1);uu(1,2)=0;uu(100,2)=0;% 边界条件uu(:,1)=uu(:,2);uu(:,1)set(h,YData,uu(:,1);draw now;pause(0.01)end三维热传导问题U0=2; u0=0; a2=2; N=10;r=eps:0.05:1; theta=li nspace(0,2*pi,100);t=0.1:0.001:0.2;RR,TT=meshgrid(r,t);figure(1)R,TH=meshgrid(theta,r);X,Y=pol2cart(R,TH);for
9、tt=1:100un=O;for k=1:Nunn=2*(U0-u0)*(-1Fk.*si n( k.*pi.*(X.A2+Y.A2).A0.5).*.exp(-kA2*piA2*a2*t(tt)./(pi.*(X.A2+Y.A2).A0.5);un=unn+un;endmesh(X,Y,u n);axis(-1 1-1 1 -0.4 0);pause(0.1)endfigure(2)wn=0;for k=1:Nwnn=2*(U0-u0)*(-1)Ak.*si n(k. *pi.*RR).*.exp(-kA2*piA2*a2*TT)./(pi*k.*RR);wn=wnn+wn;endwater
10、fall(RR,TT,w n)xlabel(r)ylabel(t)五、程序调试情况1、有限长细杆的热传导开始时一段时间后2、（1）非齐次方程的解析解（讨整体图 （b）初始状态 （c）最后状态（2）非齐次方程的数值解（差分法）（町初始状态，（b）最后状态.3、二维热传导问题4、三维热传导问题解析解的动画图解析解的瀑布图六、仿真中遇到的问题几乎所有的工程问题都能转化成数学模型来解，而且借助 MATLAB大多数的模型的数值解的精确度均能满足要求。但是，存在的问题也不少。首先，数值 解法存在许多局限性，一个解只能适用于一个或几个模型，或者一个或几个方程。 而解析解的得到能使我们得出所有同类问题的通解，
11、并且精确度高于数值解。这 是由于数学的发展程度还不足以满足自然科学的发展要求， 数值解法只是一个权宜之计。其次，MATLAB!然能处理大量的数学问题，但其命令繁多，再加上各 种工具箱，要完全学会和很好的使用 MATLA不是一件容易的事情，在编辑和阅 读程序时通常要借助工具书查询相关命令， 这样就增加了使用难度，使得MATLAB 不能广泛的普及。再者，要合理的使用 MATLAB解决数学问题，必需是建立在 良好的数学基础之上的，这就势必要求 MATLAB勺使用者有扎实的数学功底，这 又给MATLAB勺普及带来了挑战。最后，由于工程中的导热问题的数学模型并不 一都能很顺利的建立，这就给使用 MATL
12、A解决导热问题增加了难度。七、结束语在这短短的一周内从开始的一头雾水， 到自己看书学习，到同学讨论，再进 行整个题目的理论分析和计算，参考课程上的代码，写出自己的代码。我们也明白了学无止尽的道理，在我们所查的很多参考书中，很多知识是我 们从没有接触过的，我们对它的了解还仅限于皮毛，对它的很多功能以及函数还 不是很了解，所以在这个学习的过程中我们穿越在知识的海洋中， 一点一点吸取着它的知识。在MATLA编程中需要很多的参考书，要尽量多的熟悉 matlab自带 的函数及其作用，因为 matlab的自带函数特别多，基本上能够满足一般的数据 和矩阵的计算，所以基本上不用你自己编函数。 这一点对程序非常
13、有帮助，可以 使程序简单，运行效率高，可以节省很多时间。本次课设中用了很多 MATLAB!带的函数，使程序变得很简单。把基本的知识看过之后，就需要找一个实际的程序来动手编一下， 不要等所 有的知识都学好之后再去编程，你要在编程的过程中学习，程序需要什么知识再 去补充，编程是一点一点积累的，所以你要需做一些随手笔记什么的。在编写程序代码时，需要什么函数，需要什么模块就应该去着重看那个知识 点，不要一步登天，一步一步学，如果太急于把所有东西都学到，也是不好的，更是实现不了的。所以那时一天一天积累的，慢慢地学通这个软件八、参考文献清华大学出版社蒿凤有编著哈尔滨工业数学物理方程的MATLAB军法与可视化彭芳麟著量子物理学中的常用算法与程序 井孝功赵永芳大学出版社计算物理基础彭芳麟著高等教育出版社
