数学二次函数中考压轴题平行四边形解析精选.docx
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数学二次函数中考压轴题平行四边形解析精选
二次函数中考压轴题(平行四边形)解析精选
【例一】(2013•嘉兴)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=(x﹣m)2﹣m2+m的顶点为A,与y轴的交点为B,连结AB,AC⊥AB,交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC,连结BD.作AE∥x轴,DE∥y轴.
(1)当m=2时,求点B的坐标;
(2)求DE的长?
(3)①设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式?
②过点D作AB的平行线,与第(3)①题确定的函数图象的另一个交点为P,当m为何值时,以,A,B,D,P为顶点的四边形是平行四边形?
考点:
二次函数综合题.3718684
专题:
数形结合.
分析:
(1)将m=2代入原式,得到二次函数的顶点式,据此即可求出B点的坐标;
(2)延长EA,交y轴于点F,证出△AFC≌△AED,进而证出△ABF∽△DAE,利用相似三角形的性质,求出DE=4;
(3)①根据点A和点B的坐标,得到x=2m,y=﹣m2+m+4,将m=代入y=﹣m2+m+4,即可求出二次函数的表达式;
②作PQ⊥DE于点Q,则△DPQ≌△BAF,然后分(如图1)和(图2)两种情况解答.
解答:
解:
(1)当m=2时,y=(x﹣2)2+1,
把x=0代入y=(x﹣2)2+1,得:
y=2,
∴点B的坐标为(0,2).
(2)延长EA,交y轴于点F,
∵AD=AC,∠AFC=∠AED=90°,∠CAF=∠DAE,
∴△AFC≌△AED,
∴AF=AE,
∵点A(m,﹣m2+m),点B(0,m),
∴AF=AE=|m|,BF=m﹣(﹣m2+m)=m2,
∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE,∠AFB=∠DEA=90°,
∴△ABF∽△DAE,
∴=,即:
=,
∴DE=4.
(3)①∵点A的坐标为(m,﹣m2+m),
∴点D的坐标为(2m,﹣m2+m+4),
∴x=2m,y=﹣m2+m+4,
∴y=﹣•++4,
∴所求函数的解析式为:
y=﹣x2+x+4,
②作PQ⊥DE于点Q,则△DPQ≌△BAF,
(Ⅰ)当四边形ABDP为平行四边形时(如图1),
点P的横坐标为3m,
点P的纵坐标为:
(﹣m2+m+4)﹣(m2)=﹣m2+m+4,
把P(3m,﹣m2+m+4)的坐标代入y=﹣x2+x+4得:
﹣m2+m+4=﹣×(3m)2+×(3m)+4,
解得:
m=0(此时A,B,D,P在同一直线上,舍去)或m=8.
(Ⅱ)当四边形ABDP为平行四边形时(如图2),
点P的横坐标为m,
点P的纵坐标为:
(﹣m2+m+4)+(m2)=m+4,
把P(m,m+4)的坐标代入y=﹣x2+x+4得:
m+4=﹣m2+m+4,
解得:
m=0(此时A,B,D,P在同一直线上,舍去)或m=﹣8,
综上所述:
m的值为8或﹣8.
点评:
本题是二次函数综合题,涉及四边形的知识,同时也是存在性问题,解答时要注意数形结合及分类讨论.
【例二】已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一交点为B。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形,求D点的坐标;
(3)连接OA、AB,如图②,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得△OBP与△OAB相似?
若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由。
【例三】(2013•湘潭)如图,在坐标系xOy中,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0,2),抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l.当l移动到何处时,恰好将△ABC的面积分为相等的两部分?
(3)点P是抛物线上一动点,是否存在点P,使四边形PACB为平行四边形?
若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
考点:
二次函数综合题.
分析:
如解答图所示:
(1)首先构造全等三角形△AOB≌△CDA,求出点C的坐标;然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式;
(2)首先求出直线BC与AC的解析式,设直线l与BC、AC交于点E、F,则可求出EF的表达式;根据S△CEF=S△ABC,列出方程求出直线l的解析式;
(3)首先作出▱PACB,然后证明点P在抛物线上即可.
解答:
解:
(1)如答图1所示,过点C作CD⊥x轴于点D,则∠CAD+∠ACD=90°.
∵∠OBA+∠OAB=90°,∠OAB+∠CAD=90°,
∴∠OAB=∠ACD,∠OBA=∠CAD.
∵在△AOB与△CDA中,
∴△AOB≌△CDA(ASA).
∴CD=OA=1,AD=OB=2,
∴OD=OA+AD=3,
∴C(3,1).
∵点C(3,1)在抛物线y=x2+bx﹣2上,
∴1=×9+3b﹣2,解得:
b=﹣.
∴抛物线的解析式为:
y=x2﹣x﹣2.
(2)在Rt△AOB中,OA=1,OB=2,由勾股定理得:
AB=.
∴S△ABC=AB2=.
设直线BC的解析式为y=kx+b,∵B(0,2),C(3,1),
∴,
解得k=﹣,b=2,
∴y=﹣x+2.
同理求得直线AC的解析式为:
y=x﹣.
如答图1所示,
设直线l与BC、AC分别交于点E、F,则EF=(﹣x+2)﹣(x﹣)=﹣x.
△CEF中,CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x.
由题意得:
S△CEF=S△ABC,
即:
EF•h=S△ABC,
∴(﹣x)•(3﹣x)=×,
整理得:
(3﹣x)2=3,
解得x=3﹣或x=3+(不合题意,舍去),
∴当直线l解析式为x=3﹣时,恰好将△ABC的面积分为相等的两部分.
(3)存在.
如答图2所示,
过点C作CG⊥y轴于点G,则CG=OD=3,OG=1,BG=OB﹣OG=1.
过点A作AP∥BC,且AP=BC,连接BP,则四边形PACB为平行四边形.
过点P作PH⊥x轴于点H,则易证△PAH≌△BCG,
∴PH=BG=1,AH=CG=3,
∴OH=AH﹣OA=2,
∴P(﹣2,1).
抛物线解析式为:
y=x2﹣x﹣2,当x=﹣2时,y=1,即点P在抛物线上.
∴存在符合条件的点P,点P的坐标为(﹣2,1).
点评:
本题是二次函数综合题型,考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点.试题难度不大,但需要仔细分析,认真计算.
【例四】(2013•盘锦)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴相交于点C,点P为线段OB上的动点(不与O、B重合),过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F,点D在y轴正半轴上,OD=2,连接DE、OF.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当四边形ODEF是平行四边形时,求点P的坐标;
(3)过点A的直线将
(2)中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分,求这条直线的解析式.(不必说明平分平行四边形面积的理由)
考点:
二次函数综合题.
分析:
(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)平行四边形的对边相等,因此EF=OD=2,据此列方程求出点P的坐标;
(3)本问利用中心对称的性质求解.平行四边形是中心对称图形,其对称中心为两条对角线的交点(或对角线的中点),过对称中心的直线平分平行四边形的面积,因此过点A与▱ODEF对称中心的直线平分▱ODEF的面积.
解答:
解:
(1)∵点A(﹣1,0)、B(3,0)在抛物线y=ax2+bx+3上,
∴,
解得a=﹣1,b=2,
∴抛物线的解析式为:
y=﹣x2+2x+3.
(2)在抛物线解析式y=﹣x2+2x+3中,令x=0,得y=3,∴C(0,3).
设直线BC的解析式为y=kx+b,将B(3,0),C(0,3)坐标代入得:
,
解得k=﹣1,b=3,
∴y=﹣x+3.
设E点坐标为(x,﹣x2+2x+3),则P(x,0),F(x,﹣x+3),
∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x.
∵四边形ODEF是平行四边形,
∴EF=OD=2,
∴﹣x2+3x=2,即x2﹣3x+2=0,
解得x=1或x=2,
∴P点坐标为(1,0)或(2,0).
(3)平行四边形是中心对称图形,其对称中心为两条对角线的交点(或对角线的中点),过对称中心的直线平分平行四边形的面积,因此过点A与▱ODEF对称中心的直线平分▱ODEF的面积.
①当P(1,0)时,
点F坐标为(1,2),又D(0,2),
设对角线DF的中点为G,则G(,2).
设直线AG的解析式为y=kx+b,将A(﹣1,0),G(,2)坐标代入得:
,
解得k=b=,
∴所求直线的解析式为:
y=x+;
②当P(2,0)时,
点F坐标为(2,1),又D(0,2),
设对角线DF的中点为G,则G(1,).
设直线AG的解析式为y=kx+b,将A(﹣1,0),G(1,)坐标代入得:
,
解得k=b=,
∴所求直线的解析式为:
y=x+.
综上所述,所求直线的解析式为:
y=x+或y=x+.
点评:
本题是二次函数的综合题型,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、平行四边形的性质、中心对称的性质等知识点.第(3)问中,特别注意要充分利用平行四边形中心对称的性质,只要求出其对称中心的坐标,即可利用待定系数法求出所求直线的解析式.
【例五】(2013•沈阳)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A(,0)和点B(1,),与x轴的另一个交点为C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D在对称轴的右侧,x轴上方的抛物线上,且∠BDA=∠DAC,求点D的坐标;
(3)在
(2)的条件下,连接BD,交抛物线对称轴于点E,连接AE.
①判断四边形OAEB的形状,并说明理由;
②点F是OB的中点,点M是直线BD的一个动点,且点M与点B不重合,当∠BMF=∠MFO时,请直接写出线段BM的长.
考点:
二次函数综合题.
分析:
(1)利用待定系数法求出抛物线的函数表达式;
(2)由∠BDA=∠DAC,可知BD∥x轴,点B与点D纵坐标相同,解一元二次方程求出点D的坐标;
(3)①由BE与OA平行且相等,可判定四边形OAEB为平行四边形;
②点M在点B的左右两侧均有可能,需要分类讨论.综合利用相似三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理,求出线段BM的长度.
解答:
解:
(1)将A(,0)、B(1,)代入抛物线解析式y=x2+bx+c,得:
,
解得:
.
∴y=x2x+.
(2)当∠BDA=∠DAC时,BD∥x轴.
∵B(1,),
当y=时,=x2x+,
解得:
x=1或x=4,
∴D(4,).
(3)①四边形OAEB是平行四边形.
理由如下:
抛物线的对称轴是x=,
∴BE=﹣1=.
∵A(,0),
∴OA=BE=.
又∵BE∥OA,
∴四边形OAEB是平行四边形.
②∵O(0,0),B(1,),F为OB的中点,∴F(,).
过点F作FN⊥直线BD于点N,则FN=﹣=,BN=1﹣=.
在Rt△BNF中,由勾股定理得:
BF==.
∵∠BMF=∠MFO,∠MFO=∠FBM+∠BMF,
∴∠FBM=2∠BMF.
(I)当点M位于点B右侧时.
在直线BD上点B左侧取一点G,使BG=BF=,连接FG,则GN=BG﹣BN=1,
在Rt△FNG中,由勾股定理得:
FG==.
∵BG=BF,∴∠BGF=∠BFG.
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF,
∴∠BFG=∠BMF,又∵∠MGF=∠MGF,
∴△GFB∽△GMF,
∴,即,
∴BM=;
(II)当点M位于点B左侧时.
设BD与y轴交于点K,连接FK,则FK为Rt△KOB斜边上的中线,
∴KF=OB=FB=,
∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF,
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK,
∴∠BMF=∠MFK,
∴MK=KF=,
∴BM=MK+BK=+1=.
综上所述,线段BM的长为或.
点评:
本题是中考压轴题,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解方程、相似三角形、等腰三角形、平行四边形、勾股定理等知识点.难点在于第(3)②问,满足条件的点M可能有两种情形,需要分类讨论,分别计算,避免漏解.
【例六】如图,抛物线经过
三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?
若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
解析:
解:
(1)设抛物线的解析式为
,
x
y
A
O
C
B
(第26题图)
P
N
M
H
根据题意,得
,
解得
∴抛物线的解析式为:
………(3分)
(2)由题意知,点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P,则P点即为所求.
设直线BC的解析式为
,
由题意,得
解得
∴直线BC的解析式为
…………(6分)
∵抛物线
的对称轴是
,
∴当
时,
∴点P的坐标是
.…………(7分)
(3)存在…………………………(8分)
(
)当存在的点N在x轴的下方时,如图所示,∵四边形ACNM是平行四边形,∴CN∥x轴,∴点C与点N关于对称轴x=2对称,∵C点的坐标为
,∴点N的坐标为
………………………(11分)
(
)当存在的点
在x轴上方时,如图所示,作
轴于点H,∵四边形
是平行四边形,∴
∴Rt△CAO≌Rt△
∴
.
∵点C的坐标为
即N点的纵坐标为
,
∴
即
解得
∴点
的坐标为
和
.
综上所述,满足题目条件的点N共有三个,
分别为
,
,
………………………(13分)
26.(2013山西,26,14分)(本题14分)综合与探究:
如图,抛物线
与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q
(1)求点A,B,C的坐标。
(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD,BC于点M,N。
试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由。
(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
解析:
(1)当y=0时,
,解得,
∵点B在点A的右侧,
∴点A,B的坐标分别为:
(-2,0),(8,0)
当x=0时,y=-4
∴点C的坐标为(0,-4),
(2)由菱形的对称性可知,点D的坐标为(0,4).
设直线BD的解析式为y=kx+b,则
.解得,k=
,b=4.
∴直线BD的解析式为
.
∵l⊥x轴,∴点M,Q的坐标分别是(m,
),(m,
)
如图,当MQ=DC时,四边形CQMD是平行四边形.
∴(
)-(
)=4-(-4)
化简得:
.解得,m1=0,(舍去)m2=4.
∴当m=4时,四边形CQMD是平行四边形.
此时,四边形CQBM是平行四边形.
解法一:
∵m=4,∴点P是OB中点.∵l⊥x轴,∴l∥y轴.
∴△BPM∽△BOD.∴
.∴BM=DM.
∵四边形CQMD是平行四边形,∴DMCQ∴BMCQ.∴四边形CQBM为平行四边形.
解法二:
设直线BC的解析式为y=k1x+b1,则
.解得,k1=
,b1=-4
∴直线BC的解析式为y=
x-4
又∵l⊥x轴交BC于点N.∴x=4时,y=-2.∴点N的坐标为(4,-2)由上面可知,点M,Q的坐标分别为:
(4,2),Q(4,-6).
∴MN=2-(-2)=4,NQ=-2-(-6)=4.∴MN=QN.
又∵四边形CQMD是平行四边形.∴DB∥CQ,∴∠3=∠4,
又∠1=∠2,∴△BMN≌△CQN.∴BN=CN.
∴四边形CQBM为平行四边形.
(3)抛物线上存在两个这样的点Q,分别是Q1(-2,0),Q2(6,-4).
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