第一讲线段角的计算证明问题.docx
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第一讲线段角的计算证明问题
2020中考重难点专题讲座
第一讲线段,角的计算证明问题
第一部份真题精讲
【例1】(2020,崇文,一模)
如图,梯形
中,
,
.求
的长.
【思路分析】线段,角的计算证明大体都是放在梯形中,利用三角形全等相似,直角三角形性质和勾股定理等知识点进行考察的。
因此这就要求咱们对梯形的性质有专门好的明白得,而且熟知梯形的辅助线做法。
这道题中未知的是AB,已知的是AD,BC和△BDC是等腰直角三角形,因此要把未知的AB也放在已知条件当中去考察.做AE,DF垂直于BC,那么很轻易发觉咱们将AB带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下.
【解析】
作
于
于
,
四边形
是矩形.
是
的
边上的中线.
在
中,
【例2】(2020,海淀,一模)
已知:
如图,在直角梯形
中,
∥
,
,
于点O,
,求
的长.
【思路分析】这道题给出了梯形两对角线的关系.求梯形上底.关于这种对角线之间或和其他线段角有特殊关系(例如对角线平分某角)的题,一样思路是将对角线提出来构造一个三角形.关于此题来讲,直接将AC向右平移,构造一个以D为直角极点的直角三角形.如此就将AD转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一,而另一条线段BC是已知的.于是问题迎刃而解.
【解析】
过点
作
交
的延长线于点
.
∴
.
∵
于点
∴
.
∴
.
∵
,
∴四边形
为平行四边形.
∴
.
∵
,
∴
.
∵
,
∴
.
∴
【例3】(2020,东城,一模)
如图,在梯形
中,
,
,
,
为
中点,
.求
的长度
【思路分析】这道题是东城的解答题第二部份第一道,确实是咱们所谓提难度的门坎题。
乍看之下好象直接过D做垂线之类的方式不行.那该如何做辅助线呢?
答案就隐藏在E是中点那个条件中.在梯形中,一腰中点是很特殊的.一方面中点本身是多对全等三角形的公共点,另一方面中点和其他底,腰的中点连线确实是一些三角形的中线,利用中点的比例关系就能够够将已知条件代入.比如这道题,过中点E做BC的垂线,那么这条垂线与AD延长线,BC就组成了两个全等的直角三角形.而且这两个直角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的.于是得解.
【解析】
过点
作
的垂线交于
点
,交
的延长线于点
.在梯形
中,
,
是
的中点,
∴
在
和
中,
∴
.
∴
∵
,∴
.
在
中,
,
∴
.
在
中,
【总结】以上三道真题,都是在梯形中求线段长度的问题.这些问题一样都是要靠做出精妙的辅助线来解决.辅助线的整体思路确实是将梯形拆分或填充成矩形+三角形的组合,从而达到利用已知求未知的目的.一样来讲,梯形的辅助线要紧有以下5类:
一、过一底的两头做另一底的垂线,拆梯形为两直角三角形+一矩形
二、平移一腰,分梯形为平行四边形+三角形
3、延长梯形两腰交于一点构造三角形
4、平移对角线,转化为平行四边形+三角形
五、连接极点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形
以上五种方式确实是梯形内线段问题的一样辅助线做法。
关于角度问题,其实思路也是一样的。
通过做辅助线使得已知角度通过平行,全等方式转移到未知量周围。
之前三道例题主若是和线段有关的计算。
咱们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。
【例4】(2020,延庆,一模)
如图,在梯形
中,
,
平分
,过点
作
,交
的延长线于点
,且
,
,
,求
的长.
【思路分析】此题相对照较简单,不需要做辅助线就能够够得出结果。
可是题目中给的条件都是此类角度问题的大体条件。
例如对角线平分某角,然后有角度之间的关系。
面对这种题目仍是需要将已知的角度关系理顺。
第一依照题目中条件,尤其是利用平行线这一条件,能够得出(见以下图)角C与角1,2,3和角E的关系。
于是一系列转化事后,发觉角C=60度,即三角形DBC为RT三角形。
于是得解。
【解析】:
∵
∴
,
∵
∴
∴
∵
∴
∴梯形
是等腰梯形
∴
∵
,
∴
在
中,
∵
,
∴
【例5】(2020,西城,一模)已知:
,
,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的双侧.如图,当∠APB=45°时,求
AB及PD的长;
【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问。
若是线段角的计算出此刻中间部份,往往意味着难度并非会太高。
可是一旦出此刻压轴题,那么有的时候往往比函数题,方程题更为棘手。
这题求AB比较容易,过A做BP垂线,利用等腰直角三角形的性质,将△APB分成两个有很多已知量的RT△。
可是求PD时候就很麻烦了。
PD所在的三角形PAD是个钝角三角形,因此就需要咱们将PD放在一个直角三角形中碰运气。
构筑包括PD的直角三角形,最简单的确实是过P做DA延长线的垂线交DA于F,DF交PB于G。
如此一来,取得了△PFA△AGE等多个RT△。
于是与已求出的AB等量产生了关系,得解。
【解析】:
如图,作AE⊥PB于点E.
∵△APE中,∠APE=45°,
,
∴
,
.
∵
,
∴
.
在Rt△ABE中,∠AEB=90°,
∴
.
如图,过点P作AB的平行线,与DA的延长线交于F,设DA的延长线交PB于G.在Rt△AEG中,可得
,
(这一步最难想到,利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系)
,
.
在Rt△PFG中,可得
,
.
【总结】由此咱们能够看出,在涉及到角度的计算证明问题时,一样情形下都是要将已知角度通过平行,垂直等关系过度给未知角度。
因此,构建辅助线一样也是从那个思路动身,利用一些特殊图形中的特殊角关系(例如上题中的直角三角形斜边高分三角形的角度关系)和借助特殊角的三角函数来达到求解的目的。
第二部份发散试探
通过以上的一模真题,咱们对线段角的相关问题解题思路有了一些熟悉。
接下来咱们自己动手做一些题目。
希望考生先做题,没有思路了看分析,再没思路了再看答案。
【试探1】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,
.假设AC⊥BD,AD+BC=
,且
,求CD的长.
【思路分析】前面我已经分析过,梯形问题无非也就那么几种辅助线的做法。
此题求腰,因此自然是先将腰放在某个RT三角形中。
另外碰到对角线垂直这种问题,一样都是平移某一条对角线以构造更大的一个RT三角形,因此此题需要两条辅助线。
在这种问题中,辅助线的方式往往需要交叉运用,若是思想放不开,不敢多做,巧做,就不容易患出答案。
【试探2】如图,梯形ABCD中,AD
四边形ADFC是平行四边形,
∴
,DF=AC.
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AC=BD.∴
又∵AC⊥BD,DF∥AC,∴BD⊥DF.
∴ΔBDF是等腰直角三角形
∴
在
中,
∵
,
∴
,∴
试探2
【解析】:
延长BA,CD交于点H,连接HN,
因为∠B=30°,∠C=60°,因此∠BHC=90°
因此HN=DN(直角三角形斜边中线性质)
∠NHD=∠NDH=60°
连接MH,同理可知∠MHD=∠C=60°。
因此∠NHD=∠MHD,即H,N,M三点共线(这一点容易被遗漏,很多考生会想固然以为他们共线,其实仍是要证明一下)
因此HM=,NH=AN=
因此AD=1EF=(1+7)/2=4
试探3
【解析】⑴过点
作
,交
于点
.
∵
为
的中点
∴
为
的中点,
由
,得
,
,∴
∴
∴
∴
⑵∵
,∴
又
,∴
∵
,∴
.
试探4
【解析】:
延长ED至点G,使DG=ED,连接CG,FG.
则△CDG≌△BDE.因此CG=BE=3,∠2=∠B.
因为∠B+∠1=90°,因此∠1+∠2=∠FCG=90°.
因为DF垂直平分EG,因此FG=EF.
在Rt△FCG中,由勾股定理得
,因此EF=5.
试探5
【解析】:
证明:
如图,连结
、
.
∵
为
的中位线,
∴
,
.
同理
,
.
∴
,
,
∴四边形
为平行四边形.(有些同窗做到这一步就停了,没有继续发觉三角形全等这一特点,从而漏掉了菱形的情形,十分可惜)
在
和
中,
,
,
,
即
.
∴
.
∴
.
∴
∴四边形
为菱形.
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