高考数学复习《直线平面平行的判定及其性质》讲解及练习.docx
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高考数学复习《直线平面平行的判定及其性质》讲解及练习
第三节 直线、平面平行的判定及其性质
[最新考纲] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
⇒l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
⇒a∥b
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
⇒α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
⇒a∥b
平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( )
(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )
(3)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( )
(4)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( )
[答案]
(1)×
(2)× (3)√ (4)×
二、教材改编
1.已知直线a与直线b平行,直线a与平面α平行,则直线b与平面α的关系为( )
A.平行
B.相交
C.直线b在平面α内
D.平行或直线b在平面α内
D [依题意,直线a必与平面α内的某直线平行,又a∥b,因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内.]
2.下列命题中正确的是( )
A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α
D [A错误,a可能在经过b的平面内;B错误,a与α内的直线平行或异面;C错误,两个平面可能相交.]
3.平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D [若α∩β=l,a∥l,a⊄α,a⊄β,则a∥α,a∥β,故排除A;若α∩β=l,a⊂α,a∥l,则a∥β,故排除B;若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则a∥β,b∥α,故排除C;故选D.]
4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为.
平行 [如图所示,连接BD交AC于F,连接EF,则EF是△BDD1的中位线,
∴EF∥BD1,
又EF⊂平面ACE,
BD1⊄平面ACE,
∴BD1∥平面ACE.]
考点1 与线、面平行相关命题的判定
判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理,无论是单项选择还是含有选择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除,再逐步判断其余选项.
1.(2019·全国卷Ⅱ)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
B [由面面平行的判定定理知:
α内两条相交直线都与β平行是α∥β的充分条件,由面面平行性质定理知,若α∥β,则α内任意一条直线都与β平行,所以α内两条相交直线都与β平行是α∥β的必要条件,故选B.]
2.(2017·全国卷Ⅰ)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A [A项,作如图①所示的辅助线,其中D为BC的中点,则QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ=Q,∴QD与平面MNQ相交,
∴直线AB与平面MNQ相交.
B项,作如图②所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,
∴AB∥MQ.
又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.
C项,作如图③所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,
∴AB∥MQ.
又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.
D项,作如图④所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥NQ,
∴AB∥NQ.
又AB⊄平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.故选A.]
解答此类问题时,特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情况,可通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
考点2 直线与平面平行的判定与性质
直线与平面平行的判定
证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点).
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α).
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β).
(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).
[一题多解]如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.
求证:
GF∥平面ADE.
[证明] 法一:
(线线平行,则线面平行)如图,取AE的中点H,连接HG,HD,
又G是BE的中点,
所以GH∥AB,且GH=
AB.
又F是CD的中点,
所以DF=
CD.
由四边形ABCD是矩形得
AB∥CD,AB=CD,
所以GH∥DF,且GH=DF,
从而四边形HGFD是平行四边形,
所以GF∥DH.
又DH⊂平面ADE,GF⊄平面ADE,
所以GF∥平面ADE.
法二:
(面面平行,则线面平行)如图,取AB的中点M,连接MG,MF.
又G是BE的中点,可知GM∥AE.
又AE⊂平面ADE,GM⊄平面ADE,
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中,
由M,F分别是AB,CD的中点得MF∥AD.
又AD⊂平面ADE,MF⊄平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因为GM∩MF=M,GM⊂平面GMF,MF⊂平面GMF,
所以平面GMF∥平面ADE.
因为GF⊂平面GMF,
所以GF∥平面ADE.
证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,解题的思路是利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行,注意内外平行三条件,缺一不可.
如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=3,F是棱PA上的一个动点,E为PD的中点,O为AC的中点.
(1)证明:
OE∥平面PAB;
(2)若AF=1,求证:
CE∥平面BDF;
(3)若AF=2,M为△ABC的重心,证明FM∥平面PBC.
[证明]
(1)由已知四边形ABCD为菱形,
又O为AC的中点,所以O为BD的中点,
又E为PD的中点,
所以OE∥PB.
又OE⊄平面PAB,PB⊂平面PAB,
所以OE∥平面PAB.
(2)过E作EG∥FD交AP于G,连接CG,FO.
因为EG∥FD,EG⊄平面BDF,FD⊂平面BDF,
所以EG∥平面BDF,
因为底面ABCD是菱形,O是AC的中点,
又因为E为PD的中点,所以G为PF的中点,
因为AF=1,PA=3,所以F为AG的中点,
所以OF∥CG.
因为CG⊄平面BDF,OF⊂平面BDF,
所以CG∥平面BDF.
又EG∩CG=G,EG,CG⊂平面CGE,
所以平面CGE∥平面BDF,
又CE⊂平面CGE,所以CE∥平面BDF.
(3)连接AM,并延长,交BC于点Q,连接PQ,
因为M为△ABC的重心,所以Q为BC中点,且
=
.又AF=2,所以
=
.所以
=
,所以MF∥PQ,又MF⊄平面PBC,PQ⊂平面PBC,
所以FM∥平面PBC.
直线与平面平行的性质
应用线面平行的性质定理的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.
如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证:
AP∥GH.
[证明] 如图所示,连接AC交BD于点O,连接MO,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴O是AC的中点,
又M是PC的中点,∴AP∥MO.
又MO⊂平面BMD,AP⊄平面BMD,
∴AP∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD=GH,
且AP⊂平面PAHG,∴AP∥GH.
要证线线平行,可把它们转化为线面平行.即在应用性质定理时,一般遵循从“高维”到“低维”的转化,即从“线面平行”到“线线平行”;而解决线面平行的判定时其顺序恰好相反.
[教师备选例题]
如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,点M在棱PB上,PD∥平面MAC,求证:
M为PB的中点.
[证明] 连接BD,设AC与BD的交点为E,连接ME.
因为PD∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME,
所以PD∥ME.
因为四边形ABCD是正方形,所以E为BD的中点,
所以M为PB的中点.
如图,四棱锥PABCD中,AD∥BC,AB=BC=
AD,E,F,H分别是线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.求证:
(1)AP∥平面BEF;
(2)GH∥平面PAD.
[证明]
(1)连接EC,
∵AD∥BC,BC=
AD,E是AD的中点,
∴BC
AE,
∴四边形ABCE是平行四边形,
∴O为AC的中点.
又∵F是PC的中点,∴FO∥AP.
∵FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,
∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH,OH,
∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD.
∵PD⊂平面PAD,FH⊄平面PAD,
∴FH∥平面PAD.
又∵O是AC的中点,H是CD的中点,∴OH∥AD.
又∵AD⊂平面PAD,OH⊄平面PAD,
∴OH∥平面PAD.
又∵FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.
考点3 平面与平面平行的判定与性质
证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的定义.
(2)利用面面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”.
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行”.
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.
如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[证明]
(1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
∴GH是△A1B1C1的中位线,GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC,
∴GH∥BC,
∴B,C,H,G四点共面.
(2)在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G
EB,
∴四边形A1EBG是平行四边形,则A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.
[母题探究]
1.在本例条件下,若点D为BC1的中点,求证:
HD∥平面A1B1BA.
[证明] 如图所示,连接HD,A1B,
∵D为BC1的中点,H为A1C1的中点,
∴HD∥A1B.
又HD⊄平面A1B1BA,
A1B⊂平面A1B1BA,
∴HD∥平面A1B1BA.
2.在本例条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,求证:
平面A1BD1∥平面AC1D.
[证明] 如图所示,连接A1C交AC1于点M,
∵四边形A1ACC1是平行四边形,
∴M是A1C的中点,连接MD,
∵D为BC的中点,
∴A1B∥DM.
∵A1B⊂平面A1BD1,DM⊄平面A1BD1,
∴DM∥平面A1BD1,
又由三棱柱的性质知,D1C1
BD,
∴四边形BDC1D1为平行四边形,
∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1,
BD1⊂平面A1BD1,∴DC1∥平面A1BD1.
又∵DC1∩DM=D,
DC1,DM⊂平面AC1D,
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
本例的证明应用了三种平行关系之间的转化
其中线面平行是核心,线线平行是基础,要注意它们之间的灵活转化.
如图所示,四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
[证明]
(1)如图所示,设DF与GN交于点O,
连接AE,则AE必过点O,连接MO,
则MO为△ABE的中位线,
所以BE∥MO.
因为BE⊄平面DMF,
MO⊂平面DMF,
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,
所以DE∥GN.
因为DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点,
所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN.
因为BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,
所以BD∥平面MNG.
因为DE∩BD=D,BD,DE⊂平面BDE,
所以平面BDE∥平面MNG.
如何学好高中数学,熟记一下方法
网络资源对于大多数高中生而言,想必高中数学科目是最大难题,尤其是函数部分,想要在高考中拿到理想的分数,尤其是冲刺145+,有时仅仅靠个人的苦学死学是远远不够的,还要掌握一定的解题和应试技巧,只要合理运用,一定会成功迎战未来的高考。
提高高中数学学习成绩的关键:
初中学生学数学,靠的是一个字:
练!
高中学生学数学,靠的也是一个字:
悟!
下面就为如何学好高中数学,提供一些好的高中数学学习方法,供大家参考!
1.先看笔记后做作业。
有的同学感到,老师讲过的,自己已经听得明明白白了。
但是为什么你这么做有那么多困难呢?
原因是学生对教师所说的理解没有达到教师要求的水平。
因此,每天做作业之前,我们必须先看一下课本的相关内容和当天的课堂笔记。
能否如此坚持,常常是好学生与差学生的最大区别。
尤其是当练习不匹配时,老师通常没有刚刚讲过的练习类型,因此它们不能被比较和消化。
如果你不重视这个实施,在很长一段时间内,会造成很大的损失。
2.2.做题之后加强反思。
学生一定要明确,现在正做着的题,一定不是考试的题目。
但使用现在做主题的解决问题的思路和方法。
因此,我们应该反思我们所做的每一个问题,并总结我们自己的收获。
要总结出:
这是一道什么内容的题,用的是什么方法。
做到知识成片,问题成串。
日复一日,建立科学的网络系统的内容和方法。
俗话说:
有钱难买回头看。
做完作业,回头细看,价值极大。
这一回顾,是学习过程中一个非常重要的环节。
我们应该看看我们做得对不对;还有什么解决办法;问题在知识体系中的地位是什么;解决办法的实质是什么;问题中的知识是否可以与我们所要求的交换,以及我们是否可以作出适当的补充或删除。
有了以上五个回头看,解题能力才能与日俱增。
投入的时间虽少,效果却很大。
可称为事半功倍。
有人认为,要想学好数学,只要多做题,功到自然成。
数学要不要刷题?
一般说做的题太少,很多熟能生巧的问题就会无从谈起。
因此,应该适当地多刷题。
但是,只顾钻入题海,堆积题目,在考试中一般也是难有作为的。
要把提高当成自己的目标,要把自己的活动合理地系统地组织起来,要总结反思,进行章节总结是非常重要的。
3.主动复习总结提高。
进行章节复习总结是非常重要的。
初中时是教师替学生做总结,做得细致,深刻,完整。
总结自己做高中,老师不仅不做,据说,,没有复习时间,也没有说什么时候总结。
那么怎样做章节总结呢?
(1)要把课本,笔记,区单元测验试卷,校周末测验试卷,都从头到尾“读”一遍。
在标记它们的同时读取它们,并指出稍后要提取哪些内容。
养成在任何时候标记材料的习惯,并告诉自己下次阅读材料时要读什么。
临时坚持这个习惯,学生就能由博反约,把厚书读成薄书。
积累起自己独特的,也就是最适合自己复习的材料。
(2)把本章节的内容一分为二,一部分是基础知识,一部分是典型问题。
的使用总结),列进这两部分中的一部分,不要遗漏。
(3)在基础知识的疏理中,要罗列出所学的所有定义、定理、法则、公式。
要做到三会两用。
即:
会代字表述,会符号表述,会推导证明。
同时可以从积极和消极两个方面的应用。
(4)把重要的,典型的各种问题进行编队。
要尽量地把题型分类,找出它们之间的关系,总结出问题间的来龙去脉。
就像我们喜欢集体健美操表演一样,我们不能只看一个人,看看他去哪里,做什么。
我们必须向下看,看看观众的结构和变化。
不然的话,陷入题海,徒劳无益。
这是提高高中数学水平的关键。
⑤总结那些尚未归类的问题,作为备注进行补充说明。
⑥找一份适当的测验试卷,比如德智教育官网的本节试卷,一定要计时测验。
然后再对照答案,查漏补缺。
4.重视改错错不重犯。
一定要重视改错的这份工作,做到错不再犯。
初中数学教学中采用的方法是告诉学生所有可能的错误,只要有一个人犯了错误,就应该提出,以便所有的学生都能从中吸取教训。
这叫“一人有病,全体吃药。
”高中数学课没有那么多时间,除了一小部分那几种典型错,其它错误,不能一一顾及。
只能谁有病,谁吃药。
如果学生“生病”而忘了吃药,那么没有人会一次又一次地提醒他要注意什么。
如果能及时改错,那么错误就可能转变为财富,成为预防针。
但是,如果不能及时改错,这个错误就将形成一处“地雷”,迟早要惹祸。
有的学生认为,自己考试成绩上不去,是因为太粗心。
其实,原因并非如此。
打一个比方。
比如说,学习开汽车。
右脚下面,往左踩,是踩刹车。
往右踩,是踩油门。
其机械原理,设计原因,操作规程都可以讲的清清楚楚。
如果初学驾驶的人真正掌握了这一套,请问,可以同意他开车上路吗?
恐怕他知道他还缺乏练习。
一两次你能正确地完成任务,但这并不意味着你永远不会犯错误。
练习的数量不够,才是学生出错的真正原因。
大家一定要看到,如果自己的基础知识漏洞百出、隐患无穷,那么,今后的数学将是难以学好的。
5.积累资料随时整理。
要注意积累数学复习资料。
把课堂笔记。
区单元测验,各种试卷,都分门别类按时间顺序整理好。
每次阅读时,都要标记下一次阅读的关键点。
这样,复习资料才能越读越精,一目了然。
6.精挑慎选课外读物。
精挑慎选课外读物。
学生学数学,如果不注意看课外读物,一般地说,不会有什么影响。
高中很不一样。
高中数学考试是学生解决新问题的能力。
作为一个高中生,不管老师的水平有多高,如果他只围着老师转,肯定会有很大的局限性。
因此,要想学好数学,必须打开一扇门,看看外面的世界。
当然,也不要自立门户,另起炉灶。
一旦脱离学校教学和自己的教师教学体系,也会有一半的效果。
7.配合老师主动学习。
配合老师主动学习。
高一新生的学习主动性太差是一个普遍存在问题。
小学生,常常是完成作业就尽情的欢乐。
飞鸟二世高中生基本相同,听话的孩子也能学好。
高中不是这样的,虽然家庭作业比较多,但只知道做作业是绝对不够的;老师有很多话要说,但谁该做什么,老师没有一个地指定。
高中生必须提高自己学习的主动性。
为未来大学生向学习方法的转变做好准备。
8.合理规划步步为营。
高中的学习是非常紧张的。
每个学生都几乎要投入自己的全部精力。
进步很快,开发一个更长期的实际的学习目标和计划,如第一学期结束时,你的计划实现类的平均分数,第一年,实现第一个三年级等等。
此外,还要为自己制定学习计划,对自己零散的时间进行详细的安排,并及时做出合理的小调整。
9.课前预习教材。
高中生要学好数学,就可以养成课前预习的好习惯。
这是为了提前预习老师第二天要讲的内容,看看他能听懂哪些内容,不能听懂哪些内容。
只有这样,老师讲课时,才有针对性地听问题。
10.上课专心听讲。
许多高中生不擅长数学的原因往往是因为他们听不太仔细。
很多学生认为老师已经理解了,不认真听,而是在自己的时间里,但往往不做正确的问题。
上课时专心听讲往往比课后自学好。
11.准备笔记本。
高中生要准备一本笔记本,笔记本不适合你记住公式和概念,这些东西都可以在书本上找到,笔记本主要是为了记住老师给出的例子。
毕竟,教师是很有经验的,他们给出的例子是有代表性的,对数学结果的研究是很有帮助的。
12.背好数学公式。
如果你想提高你的数学成绩,你必须首先记住数学公式。
即使老师用推导出的公式也要注意背诵。
另一件最重要的事情是,老师留下的作业必须认真做。
做作业的过程是巩固你那天学的数学。
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