《常微分方程》答案习题22.docx
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《常微分方程》答案习题22
习题2.2
求下列方程的解彳dy
1.=ysinx
dx
解:
y=edx(sinxe'Xdxc)
=ex[--e^(sinxcosx)+c]
2
1
=cex-(sinxcosx)是原方程的解。
_3t/15t、
=e(—e+c)
5
1
=ce^t+1e2t是原方程的解。
5
3.竺=-scost+1sin2tdt2
解:
-costdt13dt
s=e(•严tedtc)
=e_sint(sintcostesintdtc)
.sintsintsint
=e(sinte-ec)
=ce_sint•sint-1是原方程的解。
4.-x^exxn,n为常数.
dxn
解:
原方程可化为:
矽=xyexxn
dxn
-dx■■ndx
y=e*(exxnexdxc)
二xn(exc)是原方程的解.
5.少+』_1=0dxx
解:
原方程可化为:
dy_—yJ
dx
2
x
写dx学血
=ex(exdxe)
(Inx2」)_lnx2_J_
=e2(exdxe)
i
=x2(1eex)是原方程的解.
6.
dy
dx
43
xx
2~~xy
解:
dy
x4x3
dxxy2
3
xp+y
dy
dx
=uX史
dx
du=
x
dx
2u
du_
1
dx
2u
u2du
二dx
13u
=xe
3
u3-3x=x
则
y=ux
x
c
因此:
u
(*)
将—=u带入(*)中
x
得:
y3-3x4二ex3是原方程的解.
7•孚卓=(x1)
dxx1
解:
史=空(x1)3
dxx1
P(x)2,Q(x)=(x1)3x+1
ePE乂冷十.i)2
方程的通解为:
P(x)dx_P(x)dx
y=e(eQ(x)dxc)
=(x+1)(
2-2*(x+1)dx+c)
(x1)2
=(x+1)(
2
(x+1)dx+c)
=(x+1)
2
2((xc)
2
即:
2y=c(x+1)2+(x+1)4为方程的通解
8型二亠
dxxy
dxx+y12
解:
-xy2
dyyy
1
则P(y)=丄,Q(y)=y2
y
P(y)dyydy
eey=y
方程的通解为:
x=e
P(y)dy-P(y)dy
(Je」Q(y)dy+c)
即x=
3
二+cy是方程的通解
且y=0也是方程的解。
9世二ay~,a为常数dxxx
解:
Rx)二a,Q(x)二U
--
肿a
=ex=x
10.xdyy=x3
dx
解:
dy=-lyx3
dxx
13
P(x),Q(x)=x3
x
P(x)dx--dx
eex
方程的通解为:
y=
P(x)dxe
方程的通解为:
(
13
(x*xdxc)x
3
1£
4x
3
xc
y=——
4x
—P(x)dx
eQ(x)dxc)
「dy33
11.xy=xydx
解:
dy=-xyx3y3dx
两边除以y3
dy23
rxyxy3dx
dy-2o3
2(-xy,x3)dx
令y^z
3
2(-xzx)dx
P(x)=2x,Q(x)二-2x
方程的通解为:
z=
Xdx(e^XdxQ(x)dxc)
=e
x2J3
(e(-2x)dxc)
=x
2x2
ce1
故方程的通解为:
y2(x2cex1^1,且y=0也是方程的解。
cInx1
12.(yInx—2)ydx=xdy-x
424
解:
巴=卩yJ!
dxxx
两边除以y2
dy
Inx
2yJ
y2dx-
x
x
dy1
Inx
2yJ
dx
x
x
令y
1
z
dz2
Inz-一
x
dxxx
Inx
2
P(x),Q(x)
x
方程的通解为:
P(x)dx-P(x)dx
z=e(eQ(x)dxc)
餌-|dxInx21Inx
z=e'(fe•(—)dx+c)=x([字
(一)dx+c)
xXX
c2Inx1x
424
方程的通解为:
y(cx2•皿」)=1,且y=0也是解。
424
13
2xydy=(2y2-x)dx
2
dy_2y-x_y1dx2xyx2y
这是n=-1时的伯努利方程。
1
两边同除以丄,
y
P(x)=2Q(x)=-1
x
由一阶线性方程的求解公式
dx
ey3x
由一阶线性方程的求解公式
二dx_13dx
二e*(—exdxc)
x
_312
=x(xc)
2
1J.2
=xcx
2
z(」cx;)=1
2
y1■!
'3
e(xcx)=12
--x1eycey
2
15叭一^
dxxyxy
dx33
yxyx
dy
这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以x3舞宦y3
令x2
dzc3dx
2x
dydy
齐七y2y—yz如PTQ(y)=-2y3
由一阶线性方程的求解公式
z=e2河(:
_2y3e_c)
22
=e』(-2y3eydyc)
2
=-y21ce^
x2(-y21ce*)=1
222
x2ey(-y2Tce=)二eye"(1-x2x2y2)二ex2
x
16y=ex+j0y(t)dt
dy=exy(x)
dx
dyxye
dx
P(x)=1Q(x)=ex由一阶线性方程的求解公式
pdx_pdx
y=e(eedxc)
=ex(exe~dxc)
=ex(xc)
c=1
y=ex(xc)
17设函数:
(t)于-x (t+s)=: (tV: (s)试求此函数。 令t=s=0得: (0+0)=: (0)「(0)即: (0)=: (0)2故: (0)=0或: (0)二1 (1) 当「(0)=0时: (t)=t0>: t()(即"t)=0 (2) 于是.八(0): (t)变量分离得—: (0)dt积分;: =ce: (Ot) 由于(0)=1,即t=0时=1仁ce0=c=1故®(沪严 20试证: (1)一阶非齐线性方程(2.28)的任两解之差必为相应的齐线性方程(2.3) 之解; (3)若y=y(x)是(2.3)的非零解,而y=y(x)是(2.28)的解,则方程(2.28)的通解可表为y=cy(x)y(x),其中c为任意常数. (4)方程(2.3)任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程(2.3)的 解. 证明: d^^P(x)yQ(x)(2.28 dx dyP(x)y(2.3) dx (1)设y,y是(2.28)的任意两个解 贝U単二p(xMqx) (1) dx 学二P(xMQ(x) (2)dx (1)- (2)得 dyi-y2 -—二P(x)(%-y2)dx 即y=yi-丫2是满足方程(2.3)所以,命题成立。 (2)由题意得: 弩红P(x)y(3) dx L dv(x) P(x)y(x)Q(x)(4) dx L 1)先证y=cy■y是(2.28)的一个解。 于是c34得 LL 型业二cP(x)yP(x)yQ(x)dxdx L d(cyy) dx L =P(x)(cyy)Q(x) 故y=cy•y是(2.28)的一个解。 2)现证方程(4)的任一解都可写成cy;的形式 设yi是(2.28的—个解 则业=P(x)yiQX)(4') dx 于是(4')-(4)得 L =P(x)(yi-y) L d(yi-y) dx P(x)dx 从而%-y=cecy (3) 所以,命题成立。 设y3,y4是(2.3)的任意两个解 则学二P(x)y3(5) dx dy4=P(x)V4(6) dx 于是(5)c得业二cP(x)y3 dx 即虫型二P(x)(cy3)其中c为任意常数 dx 也就是y=cy3满足方程(2.3) (5)一(6)得 乎一乎二P(x)y3_P(x)y4dxdx 即咛"卩⑴厲“dx 也就是y二y3-科4满足方程(2.3) 所以命题成立。 21试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。 解: 设p(x,y)为曲线上的任一点,则过p点曲线的切线方程为 Y-y=y'(X-x) 从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(x-丄,0),(0,y-xy')y' 纵截距为y-xy' 由题意得: 2 (5)y-xyx 方程变形为 dy xy—x dx dy1y—xdxx 于是 11dx()dx y=ex((-x)exdxc) 二e1”x((-xeIxdxc) =x(J(-x)xdxC =x((-k1)dx0 x =x(_xc) 二伙2cx 所以,方程的通解为yr-x2・cx X+V (6)y-xy'=亍 方程变形为 x史/丄 dx22 dy 11 y-- dx2x2 于是y-e2^ 1 Fdx (c2)e2xdxc) 2lnH1~2 -e(.(-2归dxc) 11~2 2( (2)xdx =x2(-x2c) 所以,方程的通解为y=-x•cx2 22求解下列方程。 (1)(x2-1)W-xy=0 xdx c) /x2-1/2 =c一/1-x2/x ysinxcosx-y「sinx=0 dyysin2x dxsinxcosxcosx P(x)= 1 sinxcosx Q(x)= .2 sinx cosx dxsinxcosx/y=e( 由一阶线性方程的求解公式 ・2f1. 竺x^sinxcosxXdxc)cosx sinxcosx (sinxdxc) sinx/、 (-cosxc)cosx =tgxc-sinx
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