《概率论与数理统计》习题及标准答案第一章.docx
- 文档编号:15792040
- 上传时间:2023-07-07
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:64.11KB
《概率论与数理统计》习题及标准答案第一章.docx
《《概率论与数理统计》习题及标准答案第一章.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《概率论与数理统计》习题及标准答案第一章.docx(15页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
《概率论与数理统计》习题及标准答案第一章
《概率论与数理统计》习题及答案--第一章
作者:
日期:
《概率论与数理统计》习题及答案
第一章
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点:
(1)掷一颗骰子,记录出现的点数•A'出现奇数点’;
(2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数.A'两次点数之和为10',B'第一次的点数,比第二次的点数大2
(3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为123,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A'球的最小号码为1';
(4)将a,b两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,
A'甲盒中至少有一球’;
(5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A'通过汽车不足5台’,
B'通过的汽车不少于3台’。
解
(1)S{0,62,03®,€56}其中e‘出现i点’i1,2,L,6,
A{e1,e3,€5}。
(2)S{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),
(2,2),
(2,3),
(2,4),
(2,5),
(2,6)
(3,1),
(3,2),
(3,3),
(3,4),
(3,5),
(3,6)
(4,1),
(4,2),
(4,3),
(4,4),
(4,5),
(4,6)
(5,1),
(5,2),
(5,3),
(5,4),
(5,5),
(5,6)
(6,1),
(6,2),
(6,3),
(6,4),
(6,5),
(6,6)};
A{(4,6),
(5,5),
(6,4)}
;
B{(3,1),
(4,2),
(5,3),
(6,4)}
。
(3)S{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)
(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}
A{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}
(4)S{(ab,,),(,ab,),(,,ab),(a,b,),(a,,b),(b,a,),
(b,,a),(,a,b,),(,b,a)},其中‘’表示空盒;
A{(ab,,),(a,b,),(a,,b),(b,a,),(b,,a)}。
(5)S{0,1,2,L},A{0,1,2,3,4},B{3,4,L}。
2•设A,B,C是随机试验E的三个事件,试用代B,C表示下列事件:
(1)仅A发生;
(2)A,B,C中至少有两个发生;
(3)A,B,C中不多于两个发生;
(4)A,B,C中恰有两个发生;
(5)A,B,C中至多有一个发生。
解
(1)ABC
(2)ABUACUBC或ABCUABCUABCUABC;
(3)AUBUC或ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC;
(4)ABCUABCUABC;
(5)ABUACUBC或ABCUaBCUABCUABC;
3.一个工人生产了三件产品,以A(i1,2,3)表示第i件产品是正品,试
用A表示下列事件:
(1)没有一件产品是次品;
(2)至少有一件产品是次品;
(3)恰有一件产品是次品;(4)至少有两件产品不是次品。
解
(1)A1A2A3;
(2)A1UA2UA3;(3)A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3;
(4)A1A2UA!
A3UA2A3。
4.在电话号码中任取一个电话号码,求后面四个数字全不相同的概率。
设A'任取一电话号码后四个数字全不相同'
,则
P(A)
P4
104
126
250
0.504
5.一批晶体管共40只,其中3只是坏的,今从中任取5只,求
(1)5只全是好的的概率;
(2)5只中有两只坏的的概率。
解
(1)设A‘5只全是好的’,贝U
c37
P(A)37B0.662;
C40
(2)设B‘5只中有两只坏的’,则
C2C3
P(B)0.0354.
C40
6.袋中有编号为1到10的10个球,今从袋中任取3个球,求
(1)3个球的最小号码为5的概率;
(2)3个球的最大号码为5的概率.
解
(1)设A‘最小号码为5',则
P(A)
c5
Clo
(2)设B‘最大号码为
5'则
P(B)
c2i
CO20
7.
(1)教室里有r个学生,求他们的生日都不相同的概率;
(2)房间里有四个人,求至少两个人的生日在同一个月的概率
(1)设A
P(A)
'他们的生日都不相同'
志5
365r
,则
设B'至少有两个人的生日在同一个月'
P(B)
C4C12R
C:
Ci22
C:
P
124
则
41;
96;
P(B)1P(B)1
P:
124
41
96
6个人的生日都集中在一个星
&设一个人的生日在星期几是等可能的,求期中的某两天,但不是都在同一天的概率.
设A'生日集中在一星期中的某两天,但不在同一天’,则
C2(262)
P(A)760.01107.?
?
?
?
为什么
9•将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少?
解1设A'恰好排成SCIENCE'
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件,所有的排法:
2
字母C在7个位置中占两个位置,共有C7种占法,字母E在余下的5个位置中占两个位置,共有Cs种占法,字母I,N,C剩下的3个位置上全排列的方法
22
共3!
种,故基本事件总数为C7C53!
1260,而A中的基本事件只有一个,
P(A)
11
c2c23!
1260
解2七个字母中有两个E,两个C,把七个字母排成一排,称为不尽相异元素的全排列。
一般地,设有n个元素,其中第一种元素有山个,第二种元素
有n2个…,第k种元素有.nk个(niLmn),将这n个元素排成一排
称为不尽相异元素的全排列。
不同的排列总数为
n!
nj!
n2!
Lnk!
对于本题有
P(A)
7!
4
7!
1260
2!
2!
10•从0,1,2丄,9等10个数字中,任意选出不同的三个数字,试求下列事
件的概率:
A'三个数字中不含0和5'a2
'三个数字中不含0或5'A3
'三个数字中含0但不含5'
P(A)
C3
G3。
15
P(A2)
C3
C30
G30
C83
G3。
14
-c814
P(A2)1Pg1C"14,C1015
C827
P(A3)8
C3030
n堆,每堆两只,求事件A'每不同的分法共皑晋
11.将n双大小各不相同的鞋子随机地分成堆各成一双’的概率•
解n双鞋子随机地分成n堆属分组问题,
每堆各成一双共有
n!
种情况,故
n
P(A)2门!
(2n)!
12•设事件A与B互不相容,P(A)0.4,P(B)0.3,求P(AB)与
P(AUB)
解P(AB)1P(AUB)1P(A)P(B)0.3因为代B不相容,所以AB,于是
P(AUB)P(A)0.6
13•若P(AB)P(AB)且P(A)P,求P(B).
解P(AB)1P(AUB)1P(A)P(B)P(AB)由P(AB)P(AB)得
P(B)1P(A)1p
14•设事件A,B及AUB的概率分别为p,q,r,求P(AB)及P(AUB)
解P(AB)P(A)P(B)P(AUB)pqr
P(AUB)P(A)P(B)P(AB)P(A)1P(B)P(A)P(AB)
1qpqr1pr.
15•设P(A)P(B)0.7,且A,B仅发生一个的概率为0.5,求代B都发生的概率。
解1由题意有____
0.5P(ABAB)P(AB)P(AB)
P(A)P(AB)P(B)P(AB)
0.72P(AB),
所以
P(AB)0.1.
解2A,B仅发生一个可表示为AUBAB,故
0.5P(AUB)P(AB)P(A)P(B)2P(AB),
所以
P(AB)0.1.
16•设P(A)0.7,P(AB)0.3,P(BA)0.2,求P(AB)与P(AB).
解0.3P(AB)P(A)P(AB)0.7P(AB),
所以
P(AB)0.4,
故
P(AB)0.6;
0.2P(B)P(AB)P(B)0.4.
所以
P(B)0.6
P(AB)1P(AUB)1P(A)P(B)P(AB)0.1
17•设ABC,试证明P(A)P(B)P(C)1
[证]因为ABC,所以
P(C)P(AB)P(A)P(B)P(AUB)P(A)P(B)1
P(A)P(B)P(C)1.
18.对任意三事件A,B,C,试证
P(AB)P(AC)P(BC)P(A).
[证]P(AB)P(AC)P(BC)P(AB)P(AC)P(ABC)
P(ABUAC)P{A(BUC)}P(A).
证毕•
证毕•
设A,B,C是三个事件,且P(A)P(B)P(C)
】,P(AB)P(BC)0,
4
P(AC)
解
因为0
1
,求A,B,C至少有一个发生的概率。
8
P(AUBUC)
P(ABC)
P(AUBUC)
P(A)
P(AB)
31
48
20.随机地向半圆
0y
内任何区域的概率与区域的面积成正比,
P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)
0,所以P(ABC)0,于是
5
8
2ax
x2(a为正常数)内掷一点,点落在园
求原点与该点的连线与x轴的夹角小于
/4的概率•
解:
半圆域如图
y
21.把长为
'原点与该点连线与
由几何概率的定义
A的面积(丿半园的面积
x轴夹角小于
212
aa
2
12
a
2
/4'
解1设A
A的面积
P(A)S的面积
a的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率
'三段可构成三角形’,又三段的长分别为
xya,不等式构成平面域
A发生0x空,0
2
不等式确定S的子域
所以
X,y,aS.
a
2,
解2设三段长分别为x,y,z,则0xa,0ya,0za且
yza,不等式确定了三维空间上的有界平面域
Z
22:
随机地取两个正数
S.
A发生xy
不等式确定S的子域A,所以
A的面积
P(A)S的面积
x和y,这两个数中的每一个都不超过
1,试求x与
y之和不超过1,积不小于
解0x1,0y
0.09的概率.
1,不等式确定平面域S.
A'xy1,xy0.09'
充要条件为0xy1,1
等式确定了S的子域A,故
A的面积0.9
(1
S的面积。
.八
P(A)
则A发生的
xy0.09不
0.9
x——)dx
x
0.4
0.181n30.2
23.(蒲丰投针问题)在平面上画出等距离
a(a0)的一些平行线,向平面
上随机地投掷一根长丨(1a)的针,求针与任一平行线相交的概率
解设A'针与某平行线相交’,针落在平面上的情况不外乎图中的几种,
设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。
为针与平行线的夹角,则
a
0x,0,不等式确定了平面上
2
的一个区域S.
A发生xLsin,不等式确定S的子域A
2
故P(A)—-sind垒
a02a
2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 概率论与数理统计 概率论 数理统计 习题 标准答案 第一章
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)