概率论与数理统计第一章.docx
- 文档编号:15086644
- 上传时间:2023-06-30
- 格式:DOCX
- 页数:25
- 大小:76.66KB
概率论与数理统计第一章.docx
《概率论与数理统计第一章.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率论与数理统计第一章.docx(25页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
概率论与数理统计第一章
第一章概率论的基本概念
【基本要求】1、理解随机事件和样本空间的概念,熟练掌握事件之间的关系与基本运算;
2、理解事件频率的概念,了解随机现象的统讣规律性;
3、理解古典概率的定义,了解概率的定义
4、掌握概率的基本性质,会应用这些性质进行概率计算;
5、理解条件概率的概念,掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式,并会应用这
些公式进行概率计算;
6、理解事件独立性的概念,会应用事件的独立性进行概率计算。
【本章重点】理解概率的定义、性质;掌握概率的讣算及事件的独立性
【本章难点】判别事件概率的类型;注意'有放回抽样’与'无放回抽样’的区别:
条件概率、
全概率公式及贝叶斯公式的应用
【学时分配】16学时
【授课内容】
引言
1•确定性现象与不确定性现象(随机现象):
在自然界与人类社会生活中,存在着两类截然不同的现象:
一类是确定性现象。
例如:
早晨
太阳必然从东方升起;在标准大气压下,纯水加热到100摄氏度必然沸腾;边长为a,b的矩形,
其面积必为ab等。
对于这类现象,其特点是:
在试验之前就能断定它有一个确定的结果,即在
一定条件下,重复进行试验,其结果必然出现且唯一。
另一类是随机现象:
例如:
某地区的年降
雨量;打靶射击时,弹着点离靶心的距离;投掷一枚均匀的硬币,可能出现“正面”,也可能出
现“反面”,事先不能作出确定的判断。
因此,对于这类现象,其特点是可能的结果不止一个,
即在相同条件下进行重复试验,试验的结果事先不能唯一确定。
就一次试验而言,时而出现这个
结果,时而出现那个结果,呈现出一种偶然性。
概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支。
其研究对象为:
竝机现象
研究内容为:
随机现象的统讣规律件。
2.随机现象的统讣规律性:
以前,山于随机现象事先无法判定将会出现那种结果,人们就以为随机现象是不可捉摸的,但是后来人们通过大量的实践发现:
在相同条件下,虽然个别试验结果在某次试验或观察中可以出现也可以不出现,但在大量试验中却呈现出某种规律性,这种规律性称为统计规律性。
例如:
在投掷一枚硬币时,既可能出现正面,也可能出现反面,预先作出确定的判断是不可能的,但是假如硬币均匀,直观上出现正面与出现反面的机会应该相等,即在大量的试验中出现正面的频率应接近50%,这正如恩格斯所指出的:
“在表面上是偶然性在起作用的地方,这种偶然性始终是受内部的隐藏着的规律支配的,而问题只是在于发现这些规律。
”因此,人们买彩票经常不能中奖,总是抱怨运气不好,其最主要的原因就是没有进行大量的重复试验,从而也就不能发现其内部隐藏着的规律。
§1.1随机试验
下面具一些试验的例子:
厶:
抛一枚硬币,观察正面H,反面T出现的情况。
E,:
将一枚硬币抛掷三次,观察正面H,反面T出现的情况。
£3:
将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数。
e4:
抛一颗骰子,观察出现的点数。
e5:
电话总机在单位时间内接到的呼唤次数
e6:
在一批灯泡中任意抽取一次,测试它的寿命。
e7:
记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。
上面举出了七个试验的例子,它们有着共同的特点。
例如,试验Z有两种可能的结果,出现H或者出现T,但在抛掷之前不能确定出现H还是出现T,这个试验可以在相同的条件下重复地进行。
乂如试验瓦,我们知道灯泡的寿命(以小时计)/no,但在测试之前不能确定它的寿命有多长。
这一试验也可以在相同的条件下重复进行。
概括起来,这些试验具有以下的特点:
1可以在相同的条件下重复进行;
2每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;
3进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
在概率中,我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验。
简而言之,就是对随机现象的一
次观察或试验。
通常用大写的字母’E'表示。
本书中以后提到的试验都是指随机试验。
我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。
§1.2样本空间.随机事件
(一)样本空间
山随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S.样本空间的元素,即
••
E的每个结果,称为样本点。
下面写出§1.1中试验瓦伙=1,2,…,7)的样本空间S「
Sy{H,T}
S‘:
{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
■
S3:
{0,1,2,3}
S4:
{1,2,3,4,5,6}
S5:
{0,1,2,3,■••}
S6:
{/lr>0}
S?
:
{(x,y)l7;SxS)V7;},这里x表示最低温度,y表示最高温度。
并设这一地区的温度不会小于7;也不会大于7?
注:
①样本空间是一个集合,它是由样本点构成。
其表示方法,可以用列举法,也可以用描述法。
2在样本空间中,样本点可以是一维的,也可以是多维的;可以是有限个,也可以是无限个。
3在同一试验中,当试验的目的不同时,样本空间往往是不同的,但通常只有一个会提供最多的信息。
例如,在E?
和&中同时将一枚硬币连抛三次,由于试验的目的不一样,其样本空间也不一样。
(二)随机事件
我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件,简称事件。
用字母A,B,C等表示。
显然它是山部分样本点构成的。
如在上面试验◎中,若我们关心出现一次正面的情况,满足这一条件的样本点组成S,的一
■■个子集A二{HTT,THT,TTH},那么A称为试验E,的一个随机试验。
■
下面了解以下儿个概念:
1.事件发生:
在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生。
2.基本事件:
由一个样本点组成的单点集,称为基本事件。
例如,试验厶有两个基本事件{H}和{T};「有8个基本事件。
■
3.必然事件:
样本空间S所包含所有的样本点,它是S自身的子集,在每次试验中它总是
发生的,称为必然事件。
4.不可能事件:
空集①不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件。
例如,在上述掷骰子的试验中,“点数小于7”是必然事件,“点数大于6”是不可能事件。
注:
严格来讲,必然事件与不可能事件反映了确定性现象,可以说它们并不是随机事件,但为了研究问题的方便,我们把它们作为特殊的随机事件。
有了上述讨论,可见事件与集合之间建立了一定的对应关系,从而可用集合的一些术语、符号去
描述事件之间的关系与运算,
(三入事件间的关系
1•事件的包含:
当事件A发生时必然导致事件B发生,则称A包含于B或B包含茁记为AuB或Bz>Ao
即AuBo{若owA,则qwB},用文(Venn)图表示为:
反之,BzdA<=>若B不发生,则必然A也不会发生。
显然,对任意事件A有:
(l)AuA;
(2)eu4uG;(3)若AuB,BuC,则AuC。
2.事件的相等:
若事件A的发生能导致B的发生,且B的发生也能导致A的发生,则称A与B相等。
记为A
=B,
即A与B有相同的样本点。
显然有A=BOAuB且BuA
3•事件的互斥(互不相容):
若事件A与B不能同时发生,则称A与B互斥,
记为AB=①。
显然有:
(1)基本事件是互斥的;⑵①与任意事件互斥。
(四入事件的运算(和、差、积、逆运算)
1•事件的和(并九
两个事件A、B中至少有一个发生的事件,称为事件A与事件B的并(或和),记为2B(或A+B)o
即2B={3/3胡或3胡}
显然有:
(1)AuA=A;
(2)AuAuB,BuAuB;
⑶若AuB,则A5=B°特别地,==
2•事件的积(交):
两个事件A与B同时发生的事件,称为事件A与事件B的积(或交)。
记为AcB(或AB)
即AcB={q/owA且ewB}o
显然有:
(l)AcBuA,AcBuB;
⑵若AuB,则AcB=A,特别地AQ=A;
⑶若A与B互斥,则AB=d,特另I」地QA=
)。
注:
事件之间的和、积运算可以推广到有限个和可列无穷多个事件的情形。
U4=={co/coeAx^ccoe-A,}
*■】
□0
U4=A】3…uA”u・・・={co/coe人或3UA?
或・••或3wAj・・}
n
QA.=A}r>A2c…={o/coe厲且3w且…且cowA”}
*■】
X
QA.=&c…cA”c・・・={co/coe&且cowA?
且…且cowA”・・・}
3.事件的差:
事件A发生而事件B不发生的事件,称为事件A与事件B的差,记为A-B。
即A-B<=>{6?
eA而eg8}。
显然有:
(1)不要求AnB,才有A—B,若AuB,则A・B=①:
⑵若A与B互斥,贝ijA-B=A,B-A=B;
(3)A-B=A-AB(证明:
利HlA—BuA—AB且A—ABuA—B);
(4)q-(3—C)H4-3+C(左边为A的子事件,而右边不是)。
4•事件的逆(对立事件人
若事件A与事件B满足AuB=①且AB= 即A={co/cogA,cdeQ} 显然有: (1)A (2)A-B=AB(证明: A—B=A—AB=A(Q~B)=AB) 注: 互逆事件与互斥事件的区别: 互逆必定互斥,互斥不一定互逆;互逆只在样本空间只有两个 事件时存在,互斥还可在样本空间有多个事件时存在。 例如,在抛硬币的试验中,设A={出现正面},B={出现反面},则A与B互斥且A与B互为对立事件;而在掷骰子的试验中,设A二{出现1点},B={出现2点},则A与B互斥,但A与B不是对立事件。 (五)、事件的运算性质(规律) 山前面可知,事件之间的关系与集合之间的关系建立了一定的对应法则,因而事件之间的运算法则与布尔代数中集合的运算法则相同。 1.交换律: A5=B5,AB=BA 2.结合律: Au(3uC)=(AoB)uC,A(BC)=(AB)C 3. 分配律: Ac(3uC)=(AB)u(AC),A=B)(AuC) 4•徳莫根(对偶)定律: ®Ua=Aa(和的逆=逆的积) /-I/-1 ②qa=UA(积的逆=逆的和) r-l1-1 (六)、举例 例1: 设A、B、C为任意三个事件,试用A、B、C的运算关系表示下列各事件: 1三个事件中至少一个发生 2没有一个事件发生ABC=AuBuC(由对偶律) 3恰有一个事件发生ABCABCABC 4至多有两个事件发生(考虑其对立事件) {ABC.ABCkJABC){ABCABCABC)kJ(ABC)=ABC=AB 5至少有两个事件发生ABCABCABCuABC=AB^BC^CA §1.3频率与概率 随机事件在一次试验中,可能发生也可能不发生,具有偶然性。 但是,人们从实践中认识到,在相同的条件下,进行大量的重复试验中,试验的结果具有某中内在的规律性,即随机事件发生的可能性大小是可以比较的,是可以用一个数字进行度量的。 例如,在投掷一枚均匀的骰子试验中,事件A'掷出偶数点',B'掷出2点',显然事件A比事件B发生可能性要大。 对于一个随机试验,我们不仅要知道它可能出现哪些结果,更重要的是研究各种结果发生的可能性的大小,从而揭示其内在的规律性。 为此,首先引入频率,它描述了事件发生的频繁程度,进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数一一概率。 (一)频率 (1)定义: 在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数心称为事件 A发生的频数,比值鼻为事件A发生的频率,记为九“)。 (2)频率的性质: ⑴非负性: 对任意A,有l>//r(A)>0 ⑵规范性: £(S)=1 ⑶可加性: 若是两两不相容的事件,贝9 A(A心•…心)=£(£)+£(%)+…+£(G (3)频率的稳定性: 在大量的重复试验中,频率常常稳定于某个常数,称为频率的稳定性。 通过大量的实践,我们还容易看到,若随机事件A出现的可能性越大,一般来讲,其频率人(A)也越大。 由于事件A发生的可能性大小与其频率大小有如此密切的关系,加之频率乂有稳定性,故而可通过频率来定义概率。 (二)概率 (1)定义: 设E是随机试验,S是它的样本空间.对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率,如果集合函数P(・)满足下列条件: 1.非负性: 对任意A,P(A)>0 2.规范性: P(S)=1 3.可列可加性(完全可加性): 设A,,…,是两两互不相容的事件,即对于 i丰j,A,Aj=0,J=1,2,…, 890 则有p(Uaj=£p(4) 1-1 (2)概率的性质 ①P(①)=0 由公理1,P(①)=P(①)+…+P(①)+…,・・・P(①)为非负实数…•・P(①)=0 2有限可加性: 若A,A2,…,A”两两互不相容,即A.=0(/7), 则有P(ClA)=fHA) i-lr-1 证明: 因为CjA,=[l4u①u①u...,利用公理一有 i-lr-l p(乙4)=p(乙…)=p(A.)+…+p(4)+p(o)+…=£p(4) /—Ir—1,■] 3对任意事件A,有P(A)=1-P(A) 证明: 因为A^A=Q,AA=^>,所以P(A)+P(A)=P{A ®P(A-B)=P(A)-P(AB)O特别,若BuA,则P(A-B)=P(A)-P(8)。 证明: 因为A=(A-B) 0TP(A)=P((A-B)AB)=P(A-B)+P(AB),即证。 推论: (单调性)若BuA,WJP(B) 证明: P(A)-P(B)=P(A-B)>0 5加法公式: 对任意的事件A、B有: P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB) 特别,若A与B互斥,则有P(A^B)=P(A)+P(B) 证明: 因为A 所以P(AuB)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)(因为ABc=B) 砌: 从数字1、2、…、9中有放回地取出n个数字,求取出这些数字的乘积能被10整除的概率? 解: “符号化”令A二{取出的数字中含5},B={取出的数字中含偶数}, ____3"5n4n 则P(AB)=1一P(AB)=1一P(Au3)=1-P(A)一P(B)+P(AB)=1-—-—+— 课后作业: 1、仔细阅读P1-12; 2、作业: P292,4,5,6,7,8; 3、预习P12-24 §1.4等可能概型(古典概型) 古典概率(其产生的源泉是古典型随机试验) 1.古典概型: 一个随机试验若满足: 1样本空间中只有有限个样本点(有限性) 2样本点的发生是等可能的(等可能性) 则称该随机试验为等可能概型。 它在概率论发展初期曾是主要的研究对象,所以也称为古典概型。 等可能概型的一些概念具有直观容易理解的特点,有着广泛的应用。 2.古典概率的计算公式: 设古典型随机试验的样本空间S=*心,…,J,若事件A中含有 k(k n P(A)=-= n .A包含的基本事件数 s中基本事件的总数° 3.古典概率的性质: ⑴非负性: 对任意A,P(A)>0 ⑵规范性: P(C)=1 ⑶可加性: 若A和B互斥,则P(A^B)=P(A)+P(B) ⑷P(Q)=0 (5)P(A)=1-P(A) 例]: 从标号为1,2,…,10的10个同样大小的球中任取一个,求下列事件的概率: A: '抽中2号',B: '抽中奇数号',C: '抽中的号数不小于7'。 解: 令i表示“抽中,号”,21,2,…10,则。 ={1,2,3,.」0},所以 154 P(A)=—,P(B)=—,P(C)=— 101010 勿2从6双不同的鞋子中任取4只,求: ⑴其中恰有一双配对的概率;⑵至少有两只鞋子配成一双的概率。 解: ⑴分析: 先从6双中取出一双,两只全取;再从剩下的5双中任取两双,每双中取到一只,则⑴中所含样本点数为C: C;C;C;C; 所以所求概率P=c: c;cfc;c;/C: 2=$ ⑵设B表示'至少有两只鞋子配成一双',则: 171j P(B)=1—P(B)=1—gCQC;/C;=l或=[CWG+】/C;=「 【注】: 不能把有利事件数取为,从而出现重复事件。 这是因为,若鞋子标有号码1,2,…,6时,C: 可能取中笫i号鞋,此时可能取中丿•号一双,此时成为两双的配对为(/,J);但也存在配对(j,i),(门)与(川)是一种,出现了重复事件,即多出了C: 个事件。 例3: 将n只球随机地放入个盒子中去,试求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限) 解: 设"{每个盒子至多有一只球} N(N—l)・・(N—n+l) 7T 勿4: 设有N件产品,其中有D件次品,今从中任取n件,问其中恰有k{k 率是多少? 解: 设A二{其中恰有k件次品} KN-D\P(A)=S 上式即所谓超儿何分布的概率公式。 例5: 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这13名新生中有3名是优秀生,问 (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2)3名优秀生分配在同一班级的概率是多少? 解: (1)设A={每一个班级各分配到一名优秀生} 3! xl2! 5! 5! 5! 15! -^=0-2747 3x12! 5! 5! 5! (2)设B={3名优秀生分配在同一班级} 6/ □-—=0.0659⑸91 例6: 某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行 的,问是否可以推断接待时间是有规定的。 (反证法)假设接待站的接待时间是没有规定的。 A二{12次接待都是在周二和周四进行的} /? (A)=*=0.0000003 人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上是儿乎是不发生的”(称 之为实际推断原理)。 现在概率很小(只有千万分之三)的事件在一次试验中竟然发生了,因此有理山怀疑假定的正确性。 从而推断接待站不是每天都接待来访者。 即认为其接待时间是有规定的。 §1.5条件概率 设A、B为任意两个事件,假设事件B已发生,前面我们已经研究了P(B),而在实际问题往往需要我们去研究此时A发生的概率,为区别起见,我们把这种惜况下的概率记为P(A/B),称为事件B已经发生条件下事件A发生的条件概率。 例b考虑有两个孩子的家庭: G={(b,b),(b,g),(g,b),(g,g)} A: '家中至少有一个男孩’,则P(A)=- 4 B: '家中至少有一个女孩',则P(B) 4 而P(AB)=-所以P(A/B)丄韋=11^1 233/p(B) 这就有了: (1)、条件概率 1、定义: 设A,B是两个随机事件,且P(B)>0,称P(A/B)=P(AB)/P(B)为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率。 注: ①P(B)=O时,条件概率无意义。 (即条件不能是不可能事件) ②P(A/G)=P(AQ)/P(Q)=P(A)。 (即P(A)是特殊的条件概率) 2、条件概率亦是概率,具有概率的某些性质: 1P(①/3)=0 2P(AIB)=\-P(AIB) 3P(A, 例2: 设10件产品中有3件次品,现进行无放回地从中取出两件,求在第一次取到次品的条件下,第二次取到的也是出次品的概率。 解: (符号化)令儿表示'第i次取到次品’,i二1,2则要求的概率为 3232 />(%/£)=p(44)"(4)=(帀)(評帀=9 (2)、乘法公式 由条件概率的定义: P(A/B)=P(AB)/P(B)=>P(AB)=P(B)P(A/B)(P(3)>0) P(B/A)=P(AB)/P(A)=>P(AB)=P(A)P(B/A)(P(A)>0) 定理1(乘法公式): 一般地,对任意n个事件4,...,A”,若卩(备..观)>0,贝9 P(A,...)=P(A,)P(A/A,)P(A,/A,A2)...P(A/A,...A)(*) 证明: 因为A4-A.u£•••"U...uA]%uAx 山概率的性质4的推论(单调性)有: P(A,)>P(A,A2)>...>P{AxA2...)>0 乂山条件概率的定义有: (*)式右=卩(£)玖4/2)"(£)"1匸;<)“卩(儿人2“人)/卩(£每"心) P(A[生) =P(AlA2...All)=左 刼3: 设袋子中有r只红球,t只白球,从中任取一球,观察颜色后放回,并加进同颜色的d个球,再到第•二次,方法同上,如此进行下去,求: ①第一、二次取到红球,第三、四次取到白球的概率 解: 令$={第i次取到白球};©={第j次取到红球} 则① PRR且BJ=P(&)•P(RJRJ•P(BJR、RJP(BJRRBJ=—•丄钊\--土— t+rt+r+at+r+2at+r+3a 注意这个答案只与白球及红球出现的次数有关,而与出现的顺序无关,这个模型曾被Folya用来作为描述传染病的数学模型。 这是很一般的摸球模型,特别取°=0,则是有放回摸球,取a=-l,则是不放回摸球。 砌4: 袋中有a只口球,b只黑球,从中任意取一球,不放回也不看,再取第二次,求第二次取到口球的概率。 解: 设B={第二次取到口球},则要求P(B) 令A={第一次取到口球},则X={第一次取到黑球} AA=C,3=3cC=3c(AkjA)=BAuBA且BAcBA=① /.P(B)=P(BA^BA)=P(BA)+P(BA)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B\A) a"一1baa =1= a+ba+b-\a+ba+b-\a+b (依次类推,第n次摸到口球与第一次摸到口球的概率相等,这就是抓阉的科学性) (3)、全概率公式和贝叶斯公式(Bayes) 定文: 完备事件组: 设儿,是S的一组事件, 若\JA,=S,且=0(/^;),/-I 则称亀比,“,4为s的一个完备事件组或一个分割。 显然,任一事件A与;? 就是一个完全事件组。 定理(全概率公式): 设是S的一个完备事件组,且P(A,)>0(i=l,2,・・・,n)则对 任一事件B有P(B)=^P(A.)P(B/Af) i-1 证明: 由3=3S=3c(《4)=q4B且(=
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 概率论 数理统计 第一章