第二十一章一元二次方程教案.docx
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第二十一章一元二次方程教案.docx
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第二十一章一元二次方程教案
课时教案
课时进度
第一周第1课时(学期第01课时)
课题
21、1一元二次方程
(1)
教学目标
1.通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c=0(a≠0),分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.
2.了解一元二次方程的解的概念,会检验一个数是不是一元二次方程的解.
教学重点
通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c=0(a≠0)和一元二次方程的解等概念,并能用这些概念解决简单问题.
教学难点
一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别.
课型
新授课
教具
多媒体
教法、学法及
个性化设计
教
学
内
容
与
过
程
活动1 复习旧知
1.什么是方程?
你能举一个方程的例子吗?
2.下列哪些方程是一元一次方程?
并给出一元一次方程的概念和一般形式.
(1)2x-1
(2)mx+n=0 (3)
+1=0 (4)x2=1
3.下列哪个实数是方程2x-1=3的解?
并给出方程的解的概念.
A.0 B.1 C.2 D.3
活动2 探究新知
根据题意列方程.
1.教材第2页 问题1.
(1)正方形的大小由什么量决定?
本题应该设哪个量为未知数?
(2)本题中有什么数量关系?
能利用这个数量关系列方程吗?
怎么列方程?
(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗?
请说出整理之后的方程.
2.教材第2页 问题2.
(1)本题中有哪些量?
由这些量可以得到什么?
(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系?
如果有5个队参赛,每个队比赛几场?
一共有20场比赛吗?
如果不是20场比赛,那么究竟比赛多少场?
(3)如果有x个队参赛,一共比赛多少场呢?
活动3 归纳概念
(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点?
(2)类比一元一次方程,我们可以给这一类方程取一个什么名字?
(3)归纳一元二次方程的概念.
1.一元二次方程:
只含有________个未知数,并且未知数的最高次数是________,这样的________方程,叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),
(1)一元二次方程的一般形式有什么特点?
等号的左、右分别是什么?
(2)为什么要限制a≠0,b,c可以为0吗?
3.一元二次方程的解(根):
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根).
活动4 例题与练习
例1 在下列方程中,属于一元二次方程的是________.
(1)4x2=81;
(2)2x2-1=3y;(3)
+
=2;
(4)2x2-2x(x+7)=0.
例2 教材第3页 例题.
例3 以-2为根的一元二次方程是( )
A.x2+2x-1=0B.x2-x-2=0
C.x2+x+2=0D.x2+x-2=0
练习:
1.若(a-1)x2+3ax-1=0是关于x的一元二次方程,那么a的取值范围是________.
2.将下列一元二次方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)4x2=81;
(2)(3x-2)(x+1)=8x-3.
3.教材第4页 练习第2题.
4.若-4是关于x的一元二次方程2x2+7x-k=0的一个根,则k的值为________.
活动5 课堂小结与作业布置
课堂小结:
我们学习了一元二次方程的哪些知识?
一元二次方程的一般形式是什么?
一般形式中有什么限制?
你能解一元二次方程吗?
作业布置:
教材第4页 习题21.1第1~7题.
板
书
设
计
21、1一元二次方程
(1)
一元二次方程:
只含有1个未知数,且未知数的最高次数是2的方程。
一般形式:
ax2+bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的根:
课
后
反
思
课时教案
课时进度
第一周第2课时(学期第02课时)
课题
21、1一元二次方程
(2)
教学目标
1、会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念。
2、会估算实际问题中方程的解,并理解方程解的实际意义。
教学重点
一元二次方程解的探索。
教学难点
一元二次方程近似解的探索。
课型
新授课
教具
多媒体
教法、学法及
个性化设计
教
学
内
容
与
过
程
一、自主学习感受新知
【问题1】把方程3x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
【问题2】判断下列方程哪些是一元二次方程?
为什么?
3x2+4x+
=0②x2+3x-2=x2
③x2-2xy-3=0④ax2+bx+c=0
二、自主交流探究新知
【探究】猜测方程
的解是什么?
【归纳】使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解,又叫作一元二次方程的根.
【问题3】下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
【分析】要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式,使等式两边相等即可.
解:
将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足方程的等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.
【问题4】认真观察下列方程的结构形式,试写出下列方程的根,并说出你的理由。
⑴x2-16=0⑵(x+3)(x-2)=0
⑶(x-2)2=49⑷x2-2x+1=25
【分析】要求出方程的根,就是要求出满足等式的数,可用直接观察结合平方根或两个数的积为0的意义来思考解题.
三、自主应用巩固新知
【例1】若x=2是方程
的一个根,你能求出a的值吗?
【分析】根据根的定义可以知道,若一个数是方程的根,那么把这个数代入方程后,等号必定成立,于是可以构造出关于a的一元一次方程,进而解即可.
【例2】若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值。
【分析】如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解。
【练习】Р2812
四、自主总结拓展新知
1、一元二次方程根的概念;
2、要会判断一个数是否是一元二次方程的根;
3、要会用一些方法求一元二次方程的根.
五、课堂作业
1、方程x(x-1)=2的两根为A.x1=0,x2=1B.x1=0,x2=-1C.x1=1,x2=2D.x1=-1,x2=2
2、方程x2-81=0的两个根分别是x1=________,x2=__________.
3、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为________.
4、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1,则a+b+c=;若有一个根是-1,则b与a、c之间的关系为;若有一个根为0,则c=。
复习巩固一元二次方程的相关概念。
探究一元二次方程根的概念以及作用.
进一步巩固方程的根的含义.
方程的根可以起到检验的作用——检验一个数是否是方程的根.
板
书
设
计
21、1一元二次方程
(2)
一元二次方程的根:
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解,又叫作一元二次方程的根.
课
后
反
思
课时教案
课时进度
第一周第3课时(学期第03课时)
课题
21、1一元二次方程(3)
教学目标
1、使学生进一步掌握一元二次方程的一般形式及其有关概念.
2、了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.
3、能根据问题列出方程,化为一元二次方程的一般形式,列式求解;由解给出根的概念;再由根的概念判定一个数是否是根.同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题.。
教学重点
一元二次方程的一般形式及有关概念。
教学难点
会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.
课型
复习课
教具
小黑板
教法、学法及
个性化设计
教
学
内
容
与
过
程
一、知识梳理:
1、什么叫做一元二次方程?
2、一元二次方程的一般形式是什么?
3、什么叫做一元二次方程的解?
二、知识运用:
1、判断下列方程是否为一元二次方程?
(1)3x+2=5y-3
(2)x2=4(3)3x2-
=0
(4)x2-4=(x+2)2(5)ax2+bx+c=0
2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
3.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的
一个根,求代数式2007(a+b+c)的值。
4、关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根
为0,则求a的值。
5.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?
(1)x2-64=0
(2)3x2-6=0(3)x2-3x=0
6、写出两个一元二次方程,使每个方程都有一个根为0,并且二次项系数都为1:
.
7、方程
的解是 .
8、方程
的解是 .
9、方程
的解是
、
.
10、若方程
有整数根,则
的值可以是 (只填一个).
11、若关于
的方程
的一根为2,则另一根为 ,
的值为 .
12、已知一元二次方程有一个根为
,那么这个方程可以是______________(只需写出一个方程).
13、已知
是方程
的一个根,则代数
的值等于()
A.-1 B.0 C.1 D.2
三、反思评价:
这节课你有什们收获?
板
书
设
计
21、1一元二次方程(3)
只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,
叫做一元二次方程.
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形
式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.
课
后
反
思
课时教案
课时进度
第一周第4课时(学期第04课时)
课题
21、2解一元二次方程21、2、1配方法(1、直接开平方法)
教学目标
1、理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.
2、提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
教学重点
运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想.
教学难点
通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
课型
新授课
教具
多媒体
教法、学法及
个性化设计
教
学
内
容
与
过
程
一、复习引入
学生活动:
请同学们完成下列各题.
问题1:
填空
(1)x2-8x+________=(x-________)2;
(2)9x2+12x+________=(3x+________)2;(3)x2+px+________=(x+________)2.
问题2:
目前我们都学过哪些方程?
二元怎样转化成一元?
一元二次方程与一元一次方程有什么不同?
二次如何转化成一次?
怎样降次?
以前学过哪些降次的方法?
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=9,根据平方根的意义,直接开平方得x=±3,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=9,能否也用直接开平方的方法求解呢?
(学生分组讨论)
老师点评:
即2t+1=3,2t+1=-3
方程的两根为t1=1,t2=-2
例1 解方程:
(1)x2+4x+4=1
(2)x2+6x+9=2
分析:
(1)x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.
(2)由已知,得:
(x+3)2=2
直接开平方,得:
x+3=±
即x+3=
,x+3=-
所以,方程的两根x1=-3+
,x2=-3-
解:
略.
例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2,求每年人均住房面积增长率.
分析:
设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解:
设每年人均住房面积增长率为x,
则:
10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接开平方,得1+x=±1.2
即1+x=1.2,1+x=-1.2
所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.
所以,每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问:
解一元二次方程,它们的共同特点是什么?
共同特点:
把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.
三、巩固练习
教材第6页 练习.
四、课堂小结
本节课应掌握:
由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程,那么x=±
转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程,那么mx+n=±
,达到降次转化之目的.若p<0则方程无解.
五、作业布置
教材第6页 练习
板
书
设
计
21、2、1配方法
(1)
一元二次方程:
x2=n(n≥0)
(x+m)2=n(n≥0)
课
后
反
思
课时教案
课时进度
第一周第5课时(学期第05课时)
课题
21.2.1配方法
(2)
教学目标
1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.
2、通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤.
3、通过对比、转化,总结得出配方法的一般步骤,提高学生的推理能力。
教学重点
用配方法解数字系数的一元二次方程。
教学难点
不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.
课型
新授课
教具
小黑板
教法、学法及
个性化设计
教
学
内
容
与
过
程
一、复习引入
请同学们解下列方程
(1)3x2-1=5
(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7
老师点评:
上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得
x=±
或mx+n=±
(p≥0).
如:
4x2+16x+16=(2x+4)2,你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9吗?
二、探索新知
列出下面问题的方程并回答:
(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?
(2)能否直接用上面三个方程的解法呢?
问题2:
要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少?
(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:
前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有.
(2)不能.
既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就来讲如何转化:
x2+6x-16=0移项→x2+6x=16
两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9
左边写成平方形式→(x+3)2=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5
解一次方程→x1=2,x2=-8
可以验证:
x1=2,x2=-8都是方程的根,但场地的宽不能使负值,所以场地的宽为2m,常为8m.
像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.
可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
例1.用配方法解下列关于x的方程
(1)x2-8x+1=0
(2)x2-2x-
=0
分析:
(1)显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式;
(2)同上.
解:
略
三、巩固练习
教材P33思考改为课堂练习,并说明理由.
教材P34练习12.
四、归纳小结
本节课你有什们收获?
五、布置作业
教材P42复习巩固2.3
(1)
(2)
板
书
设
计
21、2、1配方法
(2)
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.
例题:
用配方法解一元二次方程x2+6x-16=0
x2+6x-16=0移项→x2+6x=16
两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9
左边写成平方形式→(x+3)2=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5
解一次方程→x1=2,x2=-8
课
后
反
思
课时教案
课时进度
第二周第1课时(学期第06课时)
课题
21、2、1配方法(3)
教学目标
1、通过复习,进一步掌握用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
2、让学生发现不同方程的转化方式,运用已有知识解决问题的能力。
3、培养学生自主学习、合作探究的能力。
教学重点
会利用配方法解一元二次方程。
教学难点
对一元二次方程而此项是否是1的分类处理。
课型
复习课
教具
小黑板
教法、学法及
个性化设计
教
学
内
容
与
过
程
一、知识回顾:
1、什么叫做配方法?
2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?
3、若一元二次方程的二次项系数不是1应怎样处理?
二、巩固运用:
1、填空:
(1)x2-8x+()2=(x-)2
(2)y2+5y+()2=(y+)2
(3)x2-x+()2=(x-)2
(4)x2+px+()2=(x+)2
(5)x²+6x+9=﹙ ﹚²
(6)x²-8x+16=﹙ ﹚²
(7)x²+10x+﹙﹚²=﹙x+ ﹚²
(8)x²-3x+﹙﹚²=﹙x- ﹚²
2.解下列方程:
(1)(x+1)²=4
(2)12(x-2)²-9=0
3、用配方法解下列方程:
⑴x²-6x–7=0
⑵x²+3x+1=0
⑶x²+8x–2=0
⑷x²-5x–6=
三、勇攀高峰:
1、方程3x²-12x+6=0能用配方法解吗?
若能,请求解;若不能,请说明理由。
提示:
与上题相比,有什么不同?
能否变成二次项系数是1的一元二次方程呢?
2、用配方法解下列方程:
⑴x²-3x–4=0
⑵3x²-1=6x
四、课后感悟:
通过本节课的学习,你都有那些收获?
这节课的重、难点是什么?
有哪些是你需要注意的?
五、作业布置:
1、教科书42页,习题3。
2、选做题:
用配方法解方程 2x2 -3x+1=0
3、思考:
学校要组织一次篮球比赛,每两个队之间只进行一次比赛,如果一共要安排18场比赛,组织者需要安排多少个队参加比赛?
板
书
设
计
21、2、1配方法(3)
配方法的一般步骤:
1、化二次项系数为1
2、移项
3、配方(两边同加上一次项系数一半平方)
4、开方
课
后
反
思
课时教案
课时进度
第二周第2课时(学期第07课时)
课题
21、2、2公式法
(1)
教学目标
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.
2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.
3、通过探究活动,培养学生勇于探索的良好的学习习惯,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
教学重点
求根公式的推导和公式法的应用.
教学难点
一元二次方程求根公式法的推导.
课型
新授课
教具
小黑板
教法、学法及
个性化设计
教
学
内
容
与
过
程
一、复习引入
1、前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”,比如,方程
(1)x2=4
(2)(x-2)2=7
提问1、这种解法的(理论)依据是什么?
提问2、这种解法的局限性是什么?
2.面对这种局限性,怎么办?
(使用配方法,把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。
)
(学生活动)用配方法解方程2x2+3=7x
(老师点评)略
总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).
二、探索新知
用配方法解方程
(1)ax2-7x+3=0
(2)ax2+bx+3=0
(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.
问题:
已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根x1=
,x2=
(这个方程一定有解吗?
什么情况下有解?
(1)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
(2)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
例1.用公式法解下列方程.
(1)2x2-x-1=0
(2)x2+1.5=-3x(3)x2-
x+
=0(4)4x2-3x+2=0
分析:
用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.
补:
(5)(x-2)(3x-5)=0
三、巩固练习
教材P37练习1.
(1)、(3)、(5)或
(2)、(4)、
四、拓展延伸
教材P37练习2.
五、归纳小结
谈谈这节课你的收获。
六、布置作业
教材P42复习巩固4.5.
板
书
设
计
21、2、2公式法
(1)
已知ax2+bx+c=0(a≠0),它的两个根x1=
,x2=
课
后
反
思
课时教案
课时进度
第二周第3课时(学期第08课时)
课题
21、2、2公式法
(2)
教学目标
1、进一步掌握用公式法解一元二次方程。
2、了解一元二次方程根的判别式。
3、灵活运用一元二次方程的各种解法解方程.
教学重点
掌握用公式法解一元二次方程。
教学难点
了解一元二次方程根的判别式。
课型
复习课
教具
小黑板
教法、学法及个性化设计
教
学
内
容
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- 第二十一 一元 二次方程 教案