数学建模第四版答案.docx
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数学建模第四版答案
数学建模第四版答案
【篇一:
数学建模课后答案】
t>第二章
(1)(2012年12月21日)
1.学校共1000名学生,235人住在a宿舍,333人住在b宿舍,432人住在c宿舍.学生们
要组织一个10人的委员会,试用下列办法分配各宿舍的委员数:
(1).按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;
(2).1中的q值方法;
(3).d’hondt方法:
将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,?
?
相除,其商数如下表:
将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线,表中a、b、c行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗?
如果委员会从10个人增至15人,用以上3种方法再分配名额,将3种方法两次分配的结果列表比较.
解:
先考虑n=10的分配方案,
p1?
235,p2?
333,p3?
432,方法一(按比例分配)
?
p
i?
1
3
i
?
1000.
q1?
p1n
?
p
i?
1
3
?
2.35,q2?
p2n
i
?
p
i?
1
3
?
3.33,q3?
p3n
i
?
p
i?
1
3
?
4.32
i
分配结果为:
n1?
3,n2?
3,n3?
4方法二(q值方法)
9个席位的分配结果(可用按比例分配)为:
n1?
2,n2?
3,n3?
4
第10个席位:
计算q值为
235233324322
q1?
?
9204.17,q2?
?
9240.75,q3?
?
9331.2
2?
33?
44?
5
q3最大,第10个席位应给c.分配结果为n1?
2,n2?
3,n3?
5
方法三(d’hondt方法)
此方法的分配结果为:
n1?
2,n2?
3,n3?
5
此方法的道理是:
记pi和ni为各宿舍的人数和席位(i=1,2,3代表a、b、c宿舍).
pi
是ni
每席位代表的人数,取ni?
1,2,?
从而得到的近.
pip
中选较大者,可使对所有的i,i尽量接nini
再考虑n?
15的分配方案,类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下:
2.试用微积分方法,建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.解:
设录像带记数器读数为n时,录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.
考虑t到t?
?
t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度,可得vdt?
(r?
wkn)2?
kdn,两边积分,得
?
t
vdt?
2?
k?
(r?
wkn)dn
n
2?
rk?
wk22n2
2vv
第二章
(2)(2008年10月9日)
15.速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上,空气密度是?
,用量纲分析方法确定风车
获得的功率p与v、s、?
的关系.
解:
设p、v、s、?
的关系为f(p,v,s,?
)?
0,其量纲表达式为:
[p]=mlt
2
?
3
[v]=lt
?
1
[s]=l,[?
]=ml,这里l,m,t是基本量纲.
2?
3
量纲矩阵为:
1?
2?
10a=?
?
?
?
3?
1(p)(v)
齐次线性方程组为:
2?
3?
(l)01?
?
(m)00?
?
(t)(s)(?
?
?
2y1?
y2?
2y3?
3y4?
0?
?
y1?
y4?
0
?
?
3y?
y?
0
12?
它的基本解为y?
(?
1,3,1,1)由量纲pi定理得
?
?
p?
1v3s1?
1,?
p?
?
v3s1?
1,其中?
是无量纲常数.
16.雨滴的速度v与空气密度?
、粘滞系数?
和重力加速度g有关,其中粘滞系数的定义是:
运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比,比例系数为粘滞系
数,用量纲分析方法给出速度v的表达式.
解:
设v,?
?
g的关系为f(v,?
?
g)=0.其量纲表达式为[v]=lmt,[?
]=lmt,
0-1
-3
[?
]=mlt(ltl)l=mlltt=lmt,[g]=lmt,其中l,m,t是基本量纲.
-2
-1-1
-1-2
-2-2
-1
-1
0-2
量纲矩阵为
?
1?
3?
11?
(l)
?
0?
(m)110?
a=?
?
?
?
10?
1?
2(t)?
?
(v)(?
)(?
)(g)
齐次线性方程组ay=0,即
?
y1-3y2-y3?
y4?
0?
?
0?
y2?
y3
?
-y-y-2y?
0
34?
1
的基本解为y=(-3,-1,1,1)由量纲pi定理得
*
?
?
v?
3?
?
1?
g.?
v?
?
?
g
,其中?
是无量纲常数.?
16.雨滴的速度v与空气密度?
、粘滞系数?
、特征尺寸?
和重力加速度g有关,其中粘
滞系数的定义是:
运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比,比例系数为粘滞系数,用量纲分析方法给出速度v的表达式.
解:
设v,?
?
?
,g的关系为f(v,?
?
?
g)?
0.其量纲表达式为
[v]=lmt,[?
]=lmt,[?
]=mlt(ltl)l=mlltt=lmt,[?
]=lm0t0,[g]=lmt
0-1
-3
-2
-1-1
-1-2
-2-2
-1
-1
0-2
其中l,m,t是基本量纲.量纲矩阵为
?
1?
0a=?
?
?
?
1(v)
齐次线性方程组ay=0即
1?
3?
100
10
1?
(l)10?
?
(m)?
1?
2?
?
(t)
(?
)(?
)(?
)(g)
?
y1?
y2?
3y3?
y4?
y5?
0
?
y3?
y4?
0?
?
?
y1?
y4?
2y5?
0?
的基本解为
11?
y?
(1,?
0,0,?
)?
1
22?
31
?
y2?
(0,?
?
1,1,?
)
22?
得到两个相互独立的无量纲量
?
?
1?
v?
?
1/2g?
1/2
?
?
3/2?
1?
1/2
?
?
g?
?
2?
?
即v?
?
1
)g1,?
3/2?
g1/2?
?
1?
?
2?
1.由?
(?
1,?
2)?
0,得?
1?
?
(?
2
?
?
?
g(?
3/2?
g1/2?
?
1),其中?
是未定函数.
20.考察阻尼摆的周期,即在单摆运动中考虑阻力,并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式,然后讨论物理模拟的比例模型,即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.解:
设阻尼摆周期t,摆长l,质量m,重力加速度g,阻力系数k的关系为
f(t,l,m,g,k)?
0
其量纲表达式为:
[t]?
l0m0t,[l]?
lm0t0,[m]?
l0mt0,[g]?
lm0t?
2,[k]?
[f][v]?
1?
mlt?
2(lt?
1)?
1
?
l0mt?
1,其中l,m,t是基本量纲.
量纲矩阵为
?
0?
0a=?
?
?
1(t)
10
0?
(l)
0101?
?
(m)00?
2?
1?
?
(t)
1
(l)(m)(g)(k)
齐次线性方程组
y2?
y4?
0?
?
y3?
y5?
0?
?
y?
2y?
y?
0
45?
1
的基本解为
11?
y?
(1,?
0,,0)?
1
22?
11
?
y2?
(0,,?
1,?
1)
22?
得到两个相互独立的无量纲量
?
tl?
1/2g1/2?
?
1
?
1/2?
1?
1/2
?
lmgk?
?
2
∴t?
kl1/2l
?
1,?
1?
?
(?
2),?
2?
1/2
gmg
∴t?
lkl1/2
(1/2),其中?
是未定函数.gmg
考虑物理模拟的比例模型,设g和k不变,记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为
lkl?
1/2()t,t;l,l;m,m.又t?
?
1/2gm?
g
当无量纲量
m?
lt?
lgl时,就有?
.?
?
?
mltgll
《数学模型》作业解答
第三章1(2008年10月14日)
1.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货
批量.证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样,而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少.
【篇二:
数学模型第四版课后习题4—1答案】
题:
某银行经理计划用一笔资金进行有价证劵的投资,可供购进的证劵以及其信用等级,到期年限,收益如表所示。
按照规定,市政证劵的收益可以免税,其他证劵的收益需按50%的税率纳税。
除外还有以下限制:
(1)政府及代办机构的证劵总共至少要购进400万元。
(2)所购证劵的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小,信用程度越
高);
(3)所购证劵的平均到期年限步超过5年。
(1)若该经理有1000万元资金,应如何投资?
(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金,该经理该如何操作?
(3)在1000万元资金情况下,若证劵a的税前收益增加为4.5%。
投资应否改变?
若证劵c的税前收益减少为4.8%,投资应否改变?
问题分析:
这个投资方案的目标是使获取的税后收益最大化,要做好决策应是用多少钱购买多少不同的证劵。
此决策共受到四个条件的限制,资金总额必购证劵,信用等级,到期年限。
按照题目将决策变量,目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来得到如下模型。
基本模型:
决策变量:
设用x1万元购买a证劵,用x2万元购买b证劵,用x3万元购买c证劵,用x4万元购买d证劵,用x5万元购买e证劵。
目标函数:
设总到期税后收益为z万元,则由给出收益率可算出
z=0.043x1+0.054x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5约束条件:
1.资金总额:
所用投资金额不超过1000万元。
即x1+x2+x3+x4+x5≤10
2.必购证劵政府及代办机构的证劵总共至少购进400万元
即x2+x3+x4≥4
3.信用等级:
所购证劵的平均信用等级都不超过1.4,即
2x1+2x2+x3+x4+5x5≤1.44.到期年限:
所购证劵的平均到期年限步超过5年,即
9x1+15x2+4x3+3x4+2x5≤55.非负约束x1≥0x2≥0x3≥0x4≥0x5≥0
为输入方便,将(3)(4)化简可得到该问题的基本模型
maxz=0.043x1+0.054x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5
(1)
x1+x2+x3+x4+x5≤10
(2)x2+x3+x4≥4(3)6x1+6x2-4x3-4x4+36x5≤10(4)
4x1+10x2-x3-2x4-3x5≤10(5)
x1≥0x2≥0x3≥0x4
≥0x5≥0(6)
模型求解:
用lingo软件求解
输入:
model:
max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;
[money]x1+x2+x3+x4+x510;
[must]x2+x3+x44;
[credit]6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x50;
[time]4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x50;
end
得到如下输出:
globaloptimalsolutionfound.
objectivevalue:
0.2983636
infeasibilities:
0.000000
totalsolveriterations:
5
variablevaluereducedcost
x12.1818180.000000
x20.0000000.3181818e-02
x37.3636360.000000
x40.0000000.6363636e-03
x50.45454550.000000
rowslackorsurplusdualprice
10.29836361.000000
money0.0000000.2983636e-01
must3.3636360.000000
credit0.0000000.6181818e-03
time0.0000000.2363636e-02
rangesinwhichthebasisisunchanged:
objectivecoefficientranges
currentallowableallowable
variablecoefficientincreasedecreasex10.4300000e-010.3500000e-02
0.1300000e-01
x20.2700000e-010.3018182e-01infinity
x30.2500000e-010.1733333e-01
0.5600000e-03
x40.2200000e-010.6363636e-03infinity
x50.4500000e-010.5200000e-01
0.1400000e-01
righthandsideranges
rowcurrentallowableallowablerhsincreasedecreasemoney10.00000infinity4.567901must4.0000003.363636infinitycredit0.0105.714320.00000time0.010.0000012.00000
最优解为x1=2.182,x2=0,x3=7.364,x4=0.454,x5=0;最优值为z=0.298;即证劵a,c,e分别投资2.182百万元,7.364百万元,0.454百万元,最大税后收益为0.298百万元。
结果分析:
(1)由于输出结果中的影子价格可知资金每增加100万元,多获收益0.0298百万元。
收差率为2.98%大于2.75%所以应进行投资,在上面约束条件的
(2)右端约束改为小于11,lingo求解结果如下:
globaloptimalsolutionfound.
objectivevalue:
0.3282000infeasibilities:
0.000000totalsolveriterations:
5
variablevaluereducedcostx12.4000000.000000
x20.0000000.3181818e-02x38.1000000.000000
rowslackorsurplusdualprice10.32820001.000000
money0.0000000.2983636e-01must4.1000000.000000
credit0.0000000.6181818e-03time0.0000000.2363636e-02由输出结果可知,a,c,e分别投资2.4百万元,8.1百万元,0.5百万元,最大收益为0.3282百万元
(2)由第一个输出结果可知a的系数允许变化范围,a得税前收益可增加0.35%,所以当证券a的税前收益增加到4.5%,不应改变投资方案,由c的系数变化范围可知c的税前收益可减少0.112%。
c最小可减少为4.88%,当c的税前收益减少为4.8%,应改变投资方案。
评注:
本题是在已知各收益率及条件基础下建立线性规划模型。
用lingo软件求解出收益最大化时的投资方案,而且利用其中影子价格和敏感性分析,可根据条件对投资方案进行调整。
【篇三:
数学建模课后习题答案】
1、路灯照明问题。
在一条20m宽的道路两侧,分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯,它们离地面的高度分别为5m和6m。
在漆黑的夜晚,当两只路灯开启时
(1)两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里?
(2)如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化,如何路面上最暗点的亮度最大?
(3)如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化,结果又如何?
解:
根据题意,建立如图模型
p1=2kwp2=3kws=20m照度计算公式:
psin?
i?
k2
r(k为照度系数,可取为1;
p为路灯的功率)
(1)设q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点,则两盏路灯在q点的照度分别为
p1sin?
1p2sin?
2
i1?
ki?
k222
r1r2
h1
?
1?
r?
h?
xsin
r1
21
21
2
?
2?
r2?
h?
(s?
x)sin
2
2
2
2
h2r2
q点的照度:
i(x)?
p1h1((h?
x)
21
23
?
p2h2
((h?
(s?
x))
22
23
?
10(25?
x)
23
?
18(36?
(20?
x))
23
要求最暗点和最亮点,即为求函数i(x)的最大值和最小值,所以应先求出函数的极值点
i(x)?
?
3p1h1x(h12?
x2)5
?
3p2h2(s?
x)(h22?
(s?
x)2)5
?
?
30x(25?
x2)5
?
54(20?
x)(36?
(20?
x)2)5
利用matlab求得i(x)?
0时x的值
代码:
s=solve((-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2)));s1=vpa(s,8);s1
运行结果:
s1=
19.976695819.3382991368.538304309-11.61579012*i.2848997038e-18.538304309+11.61579012*i
因为x=0,选取出有效的x值后,利用matlab求出对应的i(x)的值,如下表:
综上,x=9.33m时,为最暗点;x=19.97m时,为最亮点。
(2)路灯2的高度可以变化时,q点的照度为关于x和h2的二元函数:
i(x,h2)?
p1h1(h?
x)
21
23
?
p2h2(h?
(s?
x))
2
22
23
?
10(25?
x)
23
?
3h2
(h?
(20?
x))
22
23
与
(1)同理,求出函数i(x,h2)的极值即为最暗点和最亮点
?
ip23p2h2
?
?
?
0
223225?
h2(h2?
(s?
x))(h2?
(s?
x))
利用matlab求得x:
solve(3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0)ans=
20+2^(1/2)*h20-2^(1/2)*h
即x1=20+2^(1/2)*h(舍去)x2=20-2^(1/2)*h
?
i?
3p1h1x3p2h2(s?
x)-30(20?
2h)9h2(20?
x)?
?
?
?
?
0
22522525225?
x(h1?
x)(h2?
(s?
x))(25?
x)(h2?
(20?
x))
利用matlab求解h2
solve(-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0)ans=
7.422392889676861255710450993296514.120774098526835657369742179215因为h在3~9之间,所以h2=7.42239m再利用matlab求解x和亮度i算法:
h=7.42239;
x=20-2^(1/2)*h
i=10/((25+x^2)^(3/2))+(3*h)/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))结果:
x=
9.5032i=
0.0186
综上,x=9.5032,h2=7.42239时,最暗点的亮度最大,为0.0186w。
(3)两盏路灯的高度均可以变化时,i为关于x,h1,h2的三元函数,用同样的方法求解
i(x,h1,h2)?
p1h1(h?
x)
21
23
?
p2h2
(h?
(s?
x))
2
22
23
?
ip3p11h1
?
?
?
0
223225?
h1(h1?
x)(h1?
x)
?
ip23p2h239h2
?
?
?
?
?
0
223225223225?
h2(h2?
(s?
x))(h2?
(s?
x))(h2?
(20?
x))(h2?
(20?
x))
2
2
?
i?
3p3p2h2(s?
x)?
6h1x9h2(20?
x)1h1x?
?
?
?
?
0
225225225225?
x(h1?
x)(h2?
(s?
x))(h1?
x)(h2?
(20?
x))
h1?
1
x2
1
(20?
x)2
522
h2?
3h2(20?
x)
[h?
(20?
x)]
22
?
2h1x(h?
x)
22
x21
(x2?
x2)22
5
21
522
3
(20?
x)22
1
[((20?
x)2?
(20?
x)2]22
5
?
=
12
?
33
(20?
x)3x
利用matlab求解x,h1,h2的值:
算法:
solve(1/((20-x)^3)=2/(3*(x^3)));s1=vpa(s,6);a=(1/sqrt
(2))*s1;a1=double(a);
b=(1/sqrt
(2))*(20-s1);b1=double(b);a1,b1,s1结果:
a1=
6.59405.1883+12.0274i5.1883-12.0274ib1=
7.54828.9538-12.0274i8.9538+12.0274is1=
9.325307.33738+17.0093*i7.33738-17.0093*i
综上,h1=6.5940,h2=7.5482,x=9.32530时,最暗点的亮度最大
数据插值
山区地貌:
在某山区测得一些地点的高程如下表3.8。
平面区域为
(1200=x=4000,1200=y=3600)
试作出该山区的地貌图和等高线图,并对几种插值方法进行比较。
表3.8某山区高程表
利用matlab编程代码如下:
x=1200:
400:
4000;y=1200:
400:
3600;
[xi,yi]=meshgrid(1200:
4000,1200:
3600);z=[11301250128012301040900500700;13201450142014001300700900850;139015001500140090011001060950;15001200110013501450120011501010;15001200110015501600155013801070;15001550160015501600160016001550;1480150015501510143013001200980]
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