18版高中数学第三章指数函数和对数函数3.1正整数指数函数学案北师大版必修1.doc
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3.1 正整数指数函数
1.了解正整数指数函数模型的实际背景.
2.了解正整数指数函数的概念.(重点)
3.理解具体的指数函数的图像特征.(重点)
4.会用正整数指数函数解决某些实际问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理 正整数指数函数的概念
阅读教材P61~P63有关内容,完成下列问题.
1.一般地,函数y=ax(a>0,a≠1,x∈N+)叫作正整数指数函数,其中x是自变量,定义域是正整数集N+.
2.正整数指数函数的图像特点
前面我们学习过的一次函数与二次函数,它们的图像是连续不间断的,而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点.
4.指数型函数
把形如y=kax(k∈R,a>0,且a≠1)的函数称为指数型函数.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正整数指数函数的定义域为N.( )
(2)正整数指数函数的图像是间断的.( )
(3)函数y=2·3x,x∈N+是正整数指数函数.( )
【答案】
(1)×
(2)√ (3)×
[小组合作型]
正整数指数函数的定义
(1)下列函数中是正整数指数函数的是( )
A.y=10x+1,(x∈N+) B.y=(-2)x,(x∈N+)
C.y=5·2x,(x∈N+) D.y=x,(x∈N+)
(2)函数y=(a2-3a+3)ax是正整数指数函数,则a=________.
【精彩点拨】 明确正整数指数函数的结构形式是求解本例的关键.
【尝试解答】
(1)A中y=10x+1的指数为x+1,而不是x,故不是正整数指数函数;
B中y=(-2)x的底数-2<0,故不是正整数指数函数;
C中y=5·2x的系数为5,不是1,故不是正整数指数函数;
D中y=x符合正整数指数函数的定义.
(2)由正整数指数函数定义知解得∴a=2.
【答案】
(1)D
(2)2
1.正整数指数函数解析式的基本特征:
ax前面的系数必须是1,自变量x∈N+,且x在指数的位置上,底数a是大于零且不等于1的常数.
2.要注意正整数指数函数y=ax(a>0,a≠1,x∈N+)与幂函数y=xa的区别.
[再练一题]
1.正整数指数函数f(x)过点,则f(x)=______.
【导学号:
04100039】
【解析】 设f(x)=ax(a>0,a≠1),∴a2=,
∴a=,
∴f(x)=x,x∈N+.
【答案】 x,x∈N+
正整数指数函数的图像与性质
(1)画出函数y=x(x∈N+)的图像,并说明函数的单调性;
(2)画出函数y=3x(x∈N+)的图像,并说明函数的单调性.
【精彩点拨】 使用描点法画图像,但因为函数的定义域是N+,所以图像应是一些孤立的点,画图像时就没有“连线”步骤了.
【尝试解答】
(1)函数y=x(x∈N+)的图像如图①所示,从图像可知,函数y=x(x∈N+)是单调递减的.
(2)函数y=3x(x∈N+)的图像如图②所示,从图像可知,函数y=3x(x∈N+)是单调递增的.
① ②
1.正整数指数函数是函数的一个特例,它的定义域是由一些正整数组成的集合,它的图像是由一些孤立的点组成的.
[再练一题]
2.若函数y=x的定义域为{1,2,3,4,5},则函数的值域为________.
【解析】 当x=1时,f(x)=,
当x=2时,f
(2)=2=,
当x=3时,f(3)=3=,
当x=4时,f(4)=4=,
当x=5时,f(5)=5=.
所以函数f(x)的值域为.
【答案】
[探究共研型]
正整数指数函数的应用
探究1 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一直分裂下去,你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5时,得到的细胞个数吗?
用图像表示呢?
【提示】
分裂次数(n)
1
2
3
4
5
细胞个数(y)
2
4
8
16
32
探究2 请你写出探究1中得到的细胞个数y与分裂次数n之间的函数关系式.
【提示】 细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为y=2n,n∈N+.
雾霾对人的身体健康的危害日益严重,患呼吸道疾病的人数明显增多,据不完全统计,某地从2009年到2013年间平均每年上升2%.若按这个增长率进行研究,设从2008年开始经过x(x∈N+)年,患呼吸道疾病的人数为y人,若2013年患病人数为11万人:
(参考数据1.023≈1.06,1.025≈1.1)
(1)试计算出2008年患呼吸道疾病的人数;
(2)写出x,y之间的关系式,并计算2016年患呼吸道疾病的人数.
【精彩点拨】 利用正整数指数型函数模型,列出关系式,计算.
【尝试解答】
(1)设2008年患病人数为a万人,则a(1+2%)5≈11,即a×1.025≈11.
∵1.025≈1.1,∴a≈10(万人),∴2008年患呼吸道疾病的人数约10万人.
(2)2009年患病的人数为10(1+20%),
2010年患病的人数为10(1+20%)+10(1+2%)×2%=10(1+2%)2,
2011年患病的人数为10(1+20%)2+10(1+2%)2×2%=10(1+2%)3.
…
x年后患病的人数为10(1+20%)x.
故y=10(1+2%)x=10×1.02x(x∈N+),
在2016年,x=8,故患病人数y≈10×1.028=10×1.025×1.023≈10×1.1×1.06=11.66(万人).
∴2016年患呼吸道疾病的人数约11.66万人.
1.由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段.
2.在实际问题中,对于平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值或总产量y,可以用公式y=N(1+p)x表示.
[再练一题]
3.日本福岛核电站爆炸中释放的碘131不断衰变,每经过8天(周期)剩留的这种物质是原来的50%,写出这种物质的剩留量y随时间x(周期)变化的函数解析式.
【解】 设这种物质最初的质量是1,经过x个周期,剩留量是y.
经过1个周期,剩留量y=1×50%=0.51;
经过2个周期,剩留量y=(1×50%)×50%=0.52;
…
经过x个周期,剩留量y=0.5x(x∈N+).
1.给出下列函数:
①y=πx;②y=4-x;③y=x3;④y=(1-)x.当x∈N+时,是正整数指数函数的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】 由正整数指数函数的定义,知①y=πx,
②y=4-x=x是正整数指数函数.
【答案】 B
2.函数y=x,x∈N+是( )
A.增函数 B.减函数
C.奇函数 D.偶函数
【解析】 正整数指数函数,不具备奇偶性,故C、D错误,因为函数y=x,x∈N+的底数0<<1,故此函数是减函数.
【答案】 B
3.指数型函数y=2x,x∈{1,2,3,4,5}的值域为________.
【解析】 当x=1,2,3,4,5时,y=2,4,8,16,32,
故y=2x,x∈{1,2,3,4,5}的值域为{2,4,8,16,32}.
【答案】 {2,4,8,16,32}
4.某药品经过两次降价,每瓶的零售价由100元降为81元,已知两次降价的百分率相同,设为x,则求两次降价的百分率列出的方程为________.
【导学号:
04100040】
【解析】 由题意,两次降价后的药品价格满足100(1-x)2=81.
【答案】 100(1-x)2=81
5.由于某款手机的制作成本不断降低,若五年内每年手机价格降低原来的,设现在的手机价格为8100元.
(1)写出手机价格y随年数x的变化的关系式,并写出定义域;
(2)画出其函数图像.
【解】
(1)y=8100x=8100x(1≤x≤5,x∈N+),
∴y与x的关系式是y=8100×x.
其定义域为{x|1≤x≤5,x∈N+}.
(2)作图:
6
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