北师版八年级数学下册131线段的垂直平分线的性质 培优训练含答案.docx
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北师版八年级数学下册131线段的垂直平分线的性质培优训练含答案
北师版八年级数学下册
1.3.1线段的垂直平分线的性质
培优训练
一、选择题(共10小题,3*10=30)
1.如图,已知直线l垂直平分线段AB,P是l上一点,已知PA=1,则PB()
A.等于1B.小于1
C.大于1D.不能确定
2.如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为()
A.48°B.36°
C.30°D.24°
3.如图,在等腰△ABC中,一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G,若已知AB=10,△GBC的周长为17,则底BC的长为()
A.10B.9
C.7D.5
4.如图,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm,则BC的长为( )
A.1cmB.2cm
C.3cmD.4cm
5.如图,AC=AD,BC=BD,则有()
A.AB垂直平分CD
B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
6.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,AC于D,E两点,且AC=10,BC=4,则△BCE的周长为()
A.6B.14
C.18D.24
7.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部,那么,这个三角形是()
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
8.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于点D,E为垂足,连接CD,若BD=1,则AC的长是()
A.2
B.2
C.4
D.4
9.已知MN是线段AB的垂直平分线,C,D是MN上任意两点,则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是( )
A.∠CAD<∠CBDB.∠CAD=∠CBD
C.∠CAD>∠CBDD.无法确定
10.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD=4,BC=3,分别以点A,C为圆心,大于
AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE,且BE交AD于点F,交AC于点O,若点O是AC的中点,则CD的长为( )
A.2
B.4
C.3D.
二.填空题(共8小题,3*8=24)
11.如图,AB垂直平分线段CD,若BC=3cm,AD=5cm,则四边形ADBC的周长是_______cm .
12.如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线交BC于点E,∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C=______度.
13.△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°,则此等腰三角形的顶角为_________.
14.如图,在△ABC中,AB=M,AC=N,BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E,则△AEC的周长等于__________.
15.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线相交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则∠OEC为______度.
16.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,BC于E,D两点,EC=4,△ABC的周长为23,则△ABD的周长为_________.
17.△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于E,交BC于F.若FC=3cm,则BF=_________.
18.如图,已知在△ABC中,AB=AC=10,DE垂直平分AB,垂足为E,DE交AC于D,若△BDC的周长为16,则BC=__________.
三.解答题(共7小题,46分)
19.(6分)如图,在△ABC中,AC<AB<BC.已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证:
∠APC=2∠B.
20.(6分)在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于D,E.若∠CAE=∠B+30°,求∠AEB的度数
21.(6分)如图所示,OE是△ABC的边AC的垂直平分线,OA平分∠BAC,EO交AB的延长线于点D,连接CD.求证:
OC平分∠ACD.
22.(6分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CF∥AB,交ED的延长线于点F.
(1)求证:
△BDE≌△CDF.
(2)当AD⊥BC,AE=1,CF=2时,求AC的长.
23.(6分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.求证:
CF=AD.
24.(8分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE,BE,BE⊥AE,延长AE,BC交于点F.求证:
(1)AD=FC;
(2)AB=BC+AD.
25.(8分)如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
连接EF交AD于点O.
(1)求证:
AD垂直平分EF;
(2)若∠BAC=60°,写出DO与AD之间的数量关系,并证明.
参考答案
1-5AACCA6-10BCABA
11.16
12.24
13.50°或130°
14.M+N
15.108
16.15
17.6cm
18.6
19.证明:
∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,
∴PA=PB.
∴∠B=∠BAP.
∵∠APC=∠B+∠BAP,
∴∠APC=2∠B.
20.解:
∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴∠B=∠EAB.
∵∠C=90°,∠CAE=∠B+30°,
∴∠B+30°+∠B+∠B=90°,
∴∠B=20°,
∴∠AEB=180°-20°-20°=140°.
21.证明:
∵DE垂直平分AC,
∴DA=DC,OA=OC.
∴∠DAC=∠DCA,∠OAC=∠OCA.
∴∠DAO=∠DCO.
∵∠DAO=∠OAC,∠OAC=∠OCA,
∴∠DCO=∠OCA.
∴OC平分∠ACD.
22.
(1)证明:
∵CF∥AB,
∴∠B=∠FCD,∠BED=∠F.
∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD.∴△BDE≌△CDF(AAS).
(2)解:
∵△BDE≌△CDF,∴BE=CF=2.
∴AB=AE+BE=1+2=3.
∵AD⊥BC,BD=CD,∴AC=AB=3.
23.证明:
∵AD∥BC,∴∠ECF=∠D.
∵E为CD的中点,
∴CE=DE.
在△CEF和△DEA中,
∴△CEF≌△DEA(ASA).
∴CF=AD.
24.证明:
(1)∵AD∥BC,∴∠D=∠ECF.
∵E为CD的中点,∴DE=CE.
又∵∠AED=∠FEC,
∴△ADE≌△FCE(ASA).∴AD=FC.
(2)由
(1)知△ADE≌△FCE,
∴AE=FE.
又∵BE⊥AF,∴AB=FB.
∵CF=AD,∴AB=FB=BC+CF=BC+AD.
25.
(1)证明:
∵AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°,
在△AED和△AFD中,
∴△AED≌△AFD,∴AE=AF,DE=DF,
∴点A,D都在EF的垂直平分线上,∴AD垂直平分EF
(2)解:
DO=
AD.证明:
∵AD为△ABC的角平分线,∠BAC=60°,
∴∠EAD=30°,∴DE=
AD,∵∠EAD=30°,DE⊥AB,
∴∠DEO=30°,∴OD=
DE,∴DO=
AD
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