高二数学向量及向量的加减法.docx
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高二数学向量及向量的加减法
高二数学向量及向量的加减法
附录向量及向量的加减法
一、教学内容分析
向量的概念对学生而言并不陌生,在物理中早有矢量的学习,所以入门并不困难。
同时向量又是数形结合的重要桥梁,在解析几何和立体几何中都有重要的应用,所以向量的一些基本概念及基本运算的掌握至关重要。
二、教学目标设计
1.理解向量的概念,会区分标量与向量。
2.理解向量的模、相等的向量、零向量、负向量、平行的向量等概念。
3.掌握向量加法、减法的概念,会利用平行四边形法则或三角形法则作两个向量的和。
4.理解向量加法所满足的运算率。
5.理解向量减法是向量加法的逆运算。
三、教学重点及难点
重点:
向量的概念、向量加法的概念
难点:
平行四边形法则和三角形法则
四、教学用具准备
直尺、投影仪、多媒体
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、向量
1.设置情境
师:
(边画图边讲解)美国"小鹰"号航空母舰导弹发射处接到命令:
向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹(精度10米左右,射程超过2000公里),试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标?
生:
不能,因为没有给定发射的方向.
师:
现实生活中还有哪些量既有大小又有方向?
哪些量只有大小没有方向?
生:
力、速度、加速度等有大小也有方向,温度和长度只有大小没有方向.
师:
对!
力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.数学中用点表示位置,用射线表示方向.常用一条有向线段表示向量.在数学中,通常用点表示位置,用射线表示方向.
(1)意义:
既有大小又有方向的量叫向量。
例:
力、速度、加速度、冲量等
(2)向量的表示方法:
①几何表示法:
点和射线
有向线段--具有一定方向的线段
有向线段的三要素:
起点、方向、长度
符号表示:
以A为起点、B为终点的有向线段记作(注意起讫).
②字母表示法:
可表示为(印刷时用黑体字)
例用1cm表示5nmail(海里)
(3)模的概念:
向量的大小--长度称为向量的模。
记作:
||,模是可以比较大小的
注意:
①数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初,向量就成为一套优良通性的数学体系,用以研究空间性质。
2.探索研究(学生自学概念)
(1)介绍向量的一些概念
师:
长度为零的向量叫什么向量?
如何表示?
长度为1的向量叫做什么向量?
是不是只有一个?
(学生看书回答)
生:
长度为零的向量叫做零向量,表示为:
0;长度等于1的向量叫做单位向量,有许多个,每个方向都有一个.
师:
满足什么条件的两个向量是相等向量?
符号如何表示?
单位向量是相等向量吗?
生:
如果两个向量大小相等且方向相同,那么这两个向量叫做相等向量,a=b单位向量不一定是相等向量,单位向量的方向不一定相同.
师:
有一组向量,它们的方向相同或相反,那么这组向量有什么关系?
生:
平行.
师:
对!
我们把方向相同或相反的两个向量叫做平行向量,符号如何表示?
如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点,这时它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
生:
是平行向量,a//b,各向量的终点都在同一条直线上.
师:
对!
由此,我们把平行向量又叫做共线向量.
(2)例题分析
【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案
(1)平行向量的方向一定相同?
(2)不相等的向量一定不平行.
(3)与零向量相等的向量是什么向量?
(4)与任何向量都平行的向量是什么向量?
(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?
(6)两个非零向量相等的充要条件是什么?
(7)共线向量一定在同一直线上吗?
解:
(1)根据定义:
平行向量可以方向相反,故命题
(1)为假;
(2)平行向量没有长、短要求,故命题
(2)为假;
(3)只有零向量;
(4)零向量;
(5)平行向量;
(6)模相等且方向相同;
(7)不一定,只要它能被平移成共线就行.
说明:
零向量是向量,只不过它的起、终点重合.依定义、其长度为零.
【例2】如图1,设是正六边形的中心,分别写出图中与向量、,相等的向量.
解:
练习:
(投影)在上题中
变式一,与向量长度相等的向量有多少个?
(11个)
变式二,是否存在与向量长度相等,方向相反的向量?
(存在)
变式三,与向量共线的向量有哪些?
(有、和)
3.演练反馈(投影)
(1)下列各量中是向量的是()
A.动能B.重量
C.质量D.长度
(2)等腰梯形中,对角线与相交于点,点、分别在两腰、上,过且,则下列等式正确的是()
A.B.
C.D.
(3)物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共线向量
参考答案:
(1)B;
(2)D;(3)相等,相反
4.总结提炼
(1)描述一个向量有两个指标:
模、方向.
(2)平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植,这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量,它与长度无关,它与是否真的不在一条直线上无关.
(3)向量的图示,要标上箭头及起、终点,以体现它的直观性.
二、向量的加法
1.设置情境
请同学看这样一个问题:
(投影)
(1)由于大陆和台湾没有直航,因此2003年春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和时什么?
(2)如图1
(2),飞机从到,再改变方向从到,则两次位移的和是,应该是_____________.
(3)如图1(3),船的速度是,水流速度是则两个速度的和是应该是___________.
生:
(1)这人两次的位移的和是从台北到上海;
(2)飞机两次位移的和是;(3)两个速度的和是.
师:
很好!
两人向量的和仍是一个向量.本节课就来研究两个向量的和(板书课题:
向量的加法).
2.探索研究
(1)向量的加法的定义:
已知向量,在平面内任取一点A,作,则向量叫做
向量的和。
记作:
即
零向量与任意向量,有
(2)两个向量的和向量的作法:
①三角形法则:
两个向量"首尾"相接
注意:
1°三角形法则对于两个向量共线时也适用;
2°两个向量的和向量仍是一个向量
例1.已知向量,求作
向量
作法:
在平面内任取一点O,作,则
②平行四边形法则:
由同一点A为起点的两个已知向量为邻边作平行四边形ABCD,则以A为起点
的向量就是向量的和。
这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则
注意:
平行四边形法则对于两个向量共线时不适用
3.向量和与数量和的区别:
①当向量不共线时,的方向与不同向,且
②当向量同向时,的方向与同向,且
当向量反向时,若,则的方向与同向,且
;若,则的方向与反向,且
;4.向量的运算律:
①交换律:
证明:
当向量不共线时,如上图,作平行四边形ABCD,使,则,因为,所以当向量共线时,若与同向,由向量加法的定义知:
与同向,且
与同向,且,所以
若与反向,不妨设,同样由向量加法的定义知:
与同向,且
与同向,且,所以
综上,
②结合律:
学生自己验证。
由于向量的加法满足交换律和结合律,对于多个向量的加法运算就可以按照任意
的次序与任意的组合来进行了
例如:
例2.如图,一艘船从A点出发以的速度向垂直于对
岸的方向行驶,同时喝水的流速为,求船实际航行的速
度的大小与方向。
解:
设表示船垂直于对岸的速度,表示水流的速度,以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,则就是船实际航行的速度
在中,,
所以
因为
答:
船实际航行的速度的大小为,方向与水流速间的夹角为
4.演练反馈(投影)
(1)在平行四边形中,,则用、表示向量的是()
A.+B.C.0D.+
(2)若为△内一点,,则是△的()
A.内心B.外心C.垂心D.重心
(3)下列各等式或不等式中一定不能成立的个数()
①
②
③
④
A.0B.1C.2D.3
5.总结提炼
(1)是一个向量,在三角形法则下:
平移向量,使的起点与的终点重合,则就是以的起点为起点,的终点为终点的新向量.
(2)一组首尾相接的向量和:
,如图5.
(3)对任意两个向量、,任有成立.
三、向量的减法
1.设置情境
上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算:
减法(板书课题:
向量的减法)
2.探索研究
(1)向量减法
①相反向量:
与长度相等,方向相反的向量叫做相反向量。
记作
规定:
零向量的相反向量仍是零向量
注意:
1°与互为相反向量。
即
2°任意向量与它的相反向量的和是零向量。
即
3°如果、是互为相反向量,那么
②与的差:
向量加上的相反向量,叫做与的差即
③向量的减法:
求两个向量的差的运算叫做向量的减法
④的作法:
已知向量、,在平面内任取一点O,作,则。
即可以表示为从向
量的终点指向向量的终点的向量
⑤思考:
为从向量的终点指向向量的终点的向量是什么?
()
师:
还可以从加法的逆运算来定义,如图1所示,因为,所以就是,因而只要作出了,也就作出了.
要作出,可以在平面内任取一点,作,,则.
师:
若两向量平行,如何作它们的差向量?
两个向量的差仍是一个向量吗?
它们的大小如何(的几何意义)?
方向怎样?
生:
两个向量的差还是一个向量,的大小是,是连接、的终点的线段,方向指向被减向量.
练习:
(投影)
判断下列命题的真假
(1).()
(2)相反向量就是方向相反的向量.()
(3)()
(4)()
参考答案:
√、×、×、×
(2)例题分析
【例1】已知向量、、、,求作向量,
师:
已知的四个向量的起点不同,要作向量与,首先要做什么?
生:
首先在平面内任取一点,作,,,
作、,则,
【例2】如图3所示,中,,用、表示向量、.
师:
由平行四边形法则得
由作向量差的方法
得
练习:
(投影)
对例2进行变式训练
变式一,本例中,当、满足什么条件时,与互相垂直?
变式二,本例中,当、满足什么条件时,?
变式三,本例中,与有可能相等吗?
为什么?
参考答案:
变式一:
当为菱形时,即时,与垂直.
变式二:
当为长方形时,即.
变式三:
不可能,因为的对角线总是方向不同的.
3.演练反馈(投影)
(1)△中,,,则等于()
A.B.C.D.
(2)下列等式中,正确的个数是()
①;②;③;④;⑤.
A.5B.4C.3D.2
(3)已知,,则的取值范围是_____________.
参考答案:
(1)B;
(2)B;(3)[3,13]
4.总结提炼
(1)相反向量是定义向量减法的基础,减去一个向量等于加上这个向量的相反向量:
(2)向量减法有两种定义:
①将减法运算转化为加法运算:
②将减法运算定义为加法运算的逆运算:
如果,则.从作图上看这两种定义没有本质区别,前一个定义就是教材采用的定义法,但作图稍繁一点;后一种定义便于作图和记忆,两个有相同起点的向量相减,所得向量是连接两向量终点,并且指向被减向量的终点.
七、教学设计说明
作为向量这一章节的开篇,根据一般的认识规律和学生的心理特征,可以由实例引入,由浅入深,由表及里,由感性到理性的逐步深化,力求使学生很好的理解新概念、新规则。
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- 数学 向量 加减法