高中数学必修4教案相等向量与共线向量.docx
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高中数学必修4教案相等向量与共线向量
相等向量与共线向量
教学目标:
掌握相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量
通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力
教学重点:
理解并掌握相等向量、共线向量的概念,
教学难点:
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
教学思路:
一、情景设置:
.
.
(一)、复习
1、数量与向量有何区别?
(数量没有方向而向量有方向)
2、如何表示向量?
3、有向线段和线段有何区别和联系?
分别可以表示向量的什么?
4、长度为零的向量叫什么向量?
长度为1的向量叫什么向量?
5、满足什么条件的两个向量是相等向量?
单位向量是相等向量吗?
6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
(二)、新课学习
1、有一组向量,它们的方向相同、大小相同,这组向量有什么关系?
2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗?
这组向量有什么关系?
三、探究学习
1、相等向量定义:
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明:
(1)向量a与b相等,记作a=b;
(2)零向量与零向量相等;
(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关.
2、共线向量与平行向量关系:
平行向量就是共线向量,因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).
说明:
(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;
(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
四、理解和巩固:
例1.如图,设
O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量
OA、OB、OC相
等的向量.
变式一:
与向量
OA长度相等的向量有多少个?
(
11个)
变式二:
是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?
(存在)
变式三:
与向量共线的向量有哪些?
(
CB,DO,FE)
例2判断:
(1)不相等的向量是否一定不平行?
(不一定)
(2)与零向量相等的向量必定是什么向量?
(零向量)
(3)两个非零向量相等的当且仅当什么?
(长度相等且方向相同)
(4)共线向量一定在同一直线上吗?
(不一定)
例3下列命题正确的是(
)
A.a与b共线,b与c共线,则a与
c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解:
由于零向量与任一向量都共线,所以
A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,
所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,
而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平
行四边形的四个顶点,所以
B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否
相同无关,所以D不正确;对于
C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考
虑,假若a与b不都是非零向量,
即a与b至少有一个是零向量,
而由零向量与任一向量都
共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选
C.
课堂练习:
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
①向量AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;
②单位向量都相等;
③任一向量与它的相反向量不相等;
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB=DC
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;
⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.
解:
①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量AB、
AC在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正
确.如图AC与BC共线,虽起点不同,但其终点却相同.
2.书本77页练习4题
三、小结:
描述向量的两个指标:
模和方向.
2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、共线向量与平行向量关系、相等向量。
四、课后作业:
《习案》作业十八。
2.2.1向量的加法运算及其几何意义
教学目标:
掌握向量的加法运算,并理解其几何意义;
会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解决问题
的能力;
通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法;
教学重点:
会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点:
理解向量加法的定义.
教学思路:
一、设置情景:
复习:
向量的定义以及有关概念
强调:
向量是既有大小又有方向的量
.长度相等、方向相同的向量相等
.因此,我们研究的向
量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,
移到任何
位置
情景设置:
(1)某人从A到B,再从B按原方向到C,则两次的位移和:
AB
BC
AC
(2)若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,则两次的位移和:
AB
BCAC
(3)某车从A到B,再从B改变方向到C,则两次的位移和:
AB
BC
AC
(4)船速为AB,水速为BC,则两速度和:
ABBC
AC
C
A
B
C
C
二、探索研究:
C
A
B
1、向量的加法:
求两个向量和的运算,叫做向量的加法
.
A
B
A
B
2、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)
如图,已知向量
a、b.在平面内任取一点
A,作AB=a,BC=b,则向量
AC叫做a与
b的和,记作a+b,即
a+b
AB
BC
AC,
规定:
a+0-=0+a
a
a
a
C
b
b
探究:
(1)两
a
a+b
个数的和有什
b
A
a+b
b
两向量的和仍
a
B
(2)当向量a
|a+b|<|a|+|b|;什么时候|a+b|=|a|+|b|,什么时候|a+b|=|a|-|b|,
向量的和与两么关系?
是一个向量;
与b不共线时,
当向量a与b不共线时,a+b的方向不同向,且|a+b|<|a|+|b|;
当a与b同向时,则a+b、a、b同向,且|a+b|=|a|+|b|,
当a与b反向时,若|a|>|b|,则a+b的方向与a相同,且|a+b|=|a|-|b|;
若|a|<|b|,则a+b的方向与b相同,且|a+b|=|b|-|a|.
(3)“向量平移”(自由向量):
使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到
n
个向量连加
3.例一、已知向量a、b,求作向量a+b
O
a
A
作法:
在平面内取一点,作
OA
aABb,则OBab
b
b
b
.
4.加法的交换律和平行四边形法则
a
a
B
问题:
上题中b+a的结果与a+b是否相同?
验证结果相同
从而得到:
1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)
2)向量加法的交换律:
a+b=b+a
5.你能证明:
向量加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
吗?
6.由以上证明你能得到什么结论?
多个向量的加法运算可以按照任意的
次序、任意的组合来进行.
三、应用举例:
例二(P83—84)略
变式1、一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行速
度的大小为4km/h,求水流的速度.
变式
2、一艘船从
A点出发以
v1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为
v2,
船的实际航行的速度的大小为
4km/h,方向与水流间的夹角是
60,求
v1和
v2.
练习:
P84面四、小结
1、2、3、4题
1、向量加法的几何意义;2、交换律和结合律;3、
|a+b|
≤
|a|+|b|,当且仅当方向相
同时取等号.
五、课后作业:
《习案》作业十八。
六、备用习题思考:
你能用向量加法证明:
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗?
2.2.2向量的减法运算及其几何意义
教学目标:
了解相反向量的概念;
掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义;
通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.
教学重点:
向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点:
减法运算时方向的确定.
教学思路:
复习:
向量加法的法则:
三角形法则与平行四边形法则,向量加法的运算定律:
例:
在四边形中,CB
BA
AD
.
解:
CBBAAD
CAADCD
提出课题:
向量的减法
用“相反向量”定义向量的减法
(1)“相反向量”的定义:
与
a长度相同、方向相反的向量
.记作a
(2)规定:
零向量的相反向量仍是零向量
.(
a)=a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量
.a+(
a)=0
如果a、b互为相反向量,则
a=b,
b=
a,a+b=0
(3)向量减法的定义:
向量
a加上的b相反向量,叫做a与b的差.
即:
a
b=a+(
b)
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
用加法的逆运算定义向量的减法:
向量的减法是向量加法的逆运算:
若b+x=a,则x叫做a与b的差,记作a
b
求作差向量:
已知向量
a、b,求作向量a
b
∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a
作法:
在平面内取一点
O,
a
O
a
作OA=a,
AB=b
则BA=ab
b
b
ab
即a
b可以表示为从向量
b的终点指向向量
a的终点的向量.
B
注意:
1
AB表示a
b.
强调:
差向量“箭头”指向被减数
2用“相反向量”定义法作差向量,
ab=a+(
b)
B’
B
a
b
a+(
b)
O
a
b
A
b
b
探究:
B
如果从向量a的终点指向向量
b
a.
b的终点作向量,那么所得向量是
2)若a∥b,如何作出a
b
?
a
ab
ab
b
O
B
A
B’O
B
A
a
ab
ab
例题:
b
O
A
b
BB
O
A
例一、
(
P86
例三)已知向量a、b、c、d,求作向量ab、c
d.
解:
在平面上取一点O,作OA=a,OB=b,
OC=c,OD=d,
作BA,DC,
则BA=ab,
DC=cd
A
B
D
D
C
d
b
a
c
A
B
ABCD中,AB
AD
例二、平行四边形
a,
C
AC、DB
.
b,用a、b表示向量
O
解:
由平行四边形法则得:
AC=a+b,DB=
AB
AD=ab
变式一:
当a,b满足什么条件时,
a+b与ab垂直?
(|a|=|b|)
变式二:
当a,b满足什么条件时,
|a+b|=|ab|?
(a,b互相垂直)
变式三:
a+b与ab可能是相等向量吗?
(不可能,∵
对角线方向不同)
例3.如图,已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c,
练习:
试用1。
向P量87a面、b、1c、表2示题OD.
2.在△ABC中,
BC=a,
CA=b,则AB等于(B
)
A.a+b
B.-a+(-b)
C.a-b
D.b-a
四:
小结:
向量减法的定义、作图法|
五:
作业:
《习案》作业十九
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- 高中数学 必修 教案 相等 向量 共线